漫話函數(shù)發(fā)展史

崔曉彬

回顧一下函數(shù)概念的發(fā)展史，對(duì)同學(xué)們加深理解課堂知識(shí)、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣是有益的。

最早提出函數(shù)（function）概念的是17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨。最初，他用function一詞表示冪，如x，x2，x3都叫函數(shù)。以后，他又用函數(shù)表示在直角坐標(biāo)系中曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)。

1718年，萊布尼茨的學(xué)生瑞士數(shù)學(xué)家貝努利把函數(shù)定義為：“由某個(gè)變量及任意的一個(gè)常數(shù)結(jié)合而成的數(shù)量?！币馑际欠沧兞縳和常量構(gòu)成的式子都叫作x的函數(shù)。貝努利所強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)要用公式來(lái)表示。

后來(lái)，數(shù)學(xué)家覺(jué)得不應(yīng)該把函數(shù)概念局限在只能用公式來(lái)表達(dá)上，只要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以，至于這兩個(gè)變量的關(guān)系是否要用公式來(lái)表示，就不作為判別函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)了。

1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉把函數(shù)定義為：“如果某些變量以某一種方式依賴(lài)于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱(chēng)為后面變量的函數(shù)?！痹跉W拉的定義中，就不強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示了。由于函數(shù)不一定要用公式來(lái)表示，歐拉曾把畫(huà)在坐標(biāo)系的曲線也叫函數(shù)。他認(rèn)為：“函數(shù)是隨意畫(huà)出的一條曲線?！?/p>

當(dāng)時(shí)有些數(shù)學(xué)家對(duì)于不用公式來(lái)表示函數(shù)感到很不習(xí)慣，有的數(shù)學(xué)家甚至抱懷疑態(tài)度。他們把能用公式表示的函數(shù)叫“真函數(shù)”，把不能用公式表示的函數(shù)叫“假函數(shù)”。

1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西給出了類(lèi)似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫作函數(shù)?！痹诳挛鞯亩x中，首次出現(xiàn)了自變量一詞。

1834年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基進(jìn)一步提出函數(shù)的定義，指出了對(duì)應(yīng)關(guān)系（條件）的必要性，利用這個(gè)關(guān)系以求出每一個(gè)x的對(duì)應(yīng)值。

1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是無(wú)關(guān)緊要的，所以他的定義是：“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)?！边@個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，把變量y稱(chēng)為x的函數(shù)，只需有一個(gè)法則存在，使得x取值范圍中的每一個(gè)值，有一個(gè)確定的y值和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是公式或圖像或表格或其他形式。這個(gè)定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了方便。因此，這個(gè)定義曾比較長(zhǎng)期地使用著。

自從德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾的集合論被大家接受后，用集合對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)定義函數(shù)概念就是現(xiàn)在課本里用的了。中文數(shù)學(xué)書(shū)上使用的“函數(shù)”一詞是轉(zhuǎn)譯詞，是我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》（1895年）一書(shū)時(shí)，把“function”譯成“函數(shù)”。中國(guó)古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數(shù)。”中國(guó)古代用天、地、人、物4個(gè)字來(lái)表示4個(gè)不同的未知數(shù)或變量。這個(gè)定義的含義是：凡是公式中含有變量x，則該式子叫作x的函數(shù)。所以“函數(shù)”是指公式里含有變量的意思。

在笛卡兒引入變量以后，變量和函數(shù)等概念日益滲透到科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域?？v覽宇宙、運(yùn)算天體、探索熱的傳導(dǎo)、揭示電磁秘密等，這些都和函數(shù)概念息息相關(guān)。正是在這些實(shí)踐過(guò)程中，人們對(duì)函數(shù)的概念不斷深化。我們可以預(yù)計(jì)，關(guān)于函數(shù)的爭(zhēng)論、研究、發(fā)展、拓廣將不會(huì)完結(jié)，也正是這些影響著數(shù)學(xué)及其相鄰學(xué)科的發(fā)展。

編輯/佟馨