在空間想象中展開數(shù)學(xué)意義的建構(gòu)過程

王志南

什么樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是富有意義的？這是值得許多教師在教學(xué)中予以思考的問題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容背后所蘊(yùn)涵的教學(xué)價(jià)值是什么？又該怎樣付諸具體的教學(xué)行為，去體現(xiàn)相應(yīng)學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)價(jià)值？從這個(gè)意義上講，具體的解題過程及指導(dǎo)顯然并不是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，而發(fā)掘和提煉數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心知識(shí)，從數(shù)學(xué)思想方法的層面引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)分析和思考，學(xué)生才能真正做到學(xué)得扎實(shí)、理解透徹。

【課前思考】

在教學(xué)長方體和正方體的表面積及體積計(jì)算后，練習(xí)中遇到這樣一道題：圖1是一個(gè)長方體的展開圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求出長方體的體積。

以往教學(xué)此類問題時(shí)，筆者通常是引導(dǎo)學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)，5厘米可以看作長方體的寬，3厘米其實(shí)就是長方體的高，則長方體的長可以用（20-3×2）÷2求得，然后再求長方體的體積。然而，從教學(xué)效果來看，部分學(xué)生并未能真正地理解題目的含義，進(jìn)而造成學(xué)生“被學(xué)習(xí)”，解題時(shí)“依葫蘆畫瓢”，一段時(shí)間過后，面對(duì)變化的題型就不知如何分析和思考了。

事實(shí)上，部分學(xué)生之所以在教師講解后仍未真正理解，是因?yàn)榇祟悢?shù)學(xué)問題的解決不能簡(jiǎn)單依靠記憶和模仿，而需要學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)展開圖在頭腦中進(jìn)行相應(yīng)的空間想象，想象折疊后的立體圖形，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，否則學(xué)生很難理解為什么“5厘米可以看作長方體的寬，3厘米其實(shí)就是長方體的高”？“長在哪里？怎樣求得長方體的長？”等問題的。同時(shí)，對(duì)這些問題的思考，教師僅僅引導(dǎo)部分優(yōu)秀生得出答案是不夠的，因?yàn)樵凇皢柎鹗健?的講解中學(xué)困生是無法真正參與到學(xué)習(xí)中去的。

從題目本身所蘊(yùn)涵的教學(xué)價(jià)值來看，此題可以在立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化間培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生的空間想象力。其關(guān)鍵在于求長，而要求長就必須在頭腦中想象如何折疊，發(fā)現(xiàn)寬和高的長度。同時(shí)，對(duì)于那些想象力欠缺的學(xué)生，教師還需要幫助他們積累相關(guān)的長方體展開圖的直接經(jīng)驗(yàn)，通過操作活動(dòng)豐富學(xué)生對(duì)長方體展開圖的形象、位置、關(guān)系的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行空間想象，學(xué)生的想象過程才能得以真正展開。

【教學(xué)嘗試】

師：看這幅長方體的表面展開圖，要求長方體的體積，你覺得應(yīng)先求出什么？

生：5cm和3cm中的一條是寬、一條是高，要先求長方體的長。

師：大家聽明白了嗎？（學(xué)生有點(diǎn)茫然）我怎么沒看出長方體的寬和高的長度？大家想想辦法，怎樣才能看出寬和高的長度？

生：可以想象著把這個(gè)展開圖折疊一下，就能找出長、寬、高了。

師：這個(gè)主意不錯(cuò)，你們能在頭腦中想象出這個(gè)長方體的樣子嗎？誰來描述一下？

生：我想象出的長方體的寬是3厘米，高是5厘米，長還不知道。

師：你們和他想象的一樣嗎？有不同的嗎？

生：我想象的長方體的寬是5厘米，高是3厘米，長也不知道。

師：知道為什么同樣的展開圖，想象所得的長方體的寬和高不一樣嗎？

學(xué)生若有所思，陷入思考之中。

生：第一位同學(xué)是以最下方的的小長方形為下面展開想象的，中間的四個(gè)長方形依次是前面、左面、后面、右面，最上方的小長方形正好是上面。（圖2）

生：第二位同學(xué)是以中間的大長方形為下面展開想象的，中間的四個(gè)長方形依次是上面、左面、下面、右面，還有兩個(gè)長方形正好是前面和后面。（圖3）

師：說的真好！現(xiàn)在你能求出長方體的長和體積了嗎？先小組討論，再組內(nèi)交流。

學(xué)生交流：

生：需要先求得長方體的長，按照第一種想象方法，3厘米是長方體的寬，20厘米可以看作2條長加2條寬的和。這樣，長方體的長就等于（20-3×2）÷2=7厘米，這樣就可以求得長方體的體積了。

生：我們小組發(fā)現(xiàn)，按照第二種想象方法，長方體的高是3厘米，這時(shí)的20厘米就是2條長加2條高的和。這樣，用（20-3×2）÷2也能求得長方體的長，再求出長方體的體積。

學(xué)生自主解答、匯報(bào)。

師：同學(xué)們，回顧和反思上述兩種方法，你發(fā)現(xiàn)它們之間有哪些相同之處嗎？你有什么收獲？

生：兩種方法都借助了想象，根據(jù)展開圖想象折疊后的長方體，進(jìn)而找到長、寬、高的位置。

生：兩種方法都是在尋找20厘米這條線段與長方體的長和寬（或長和高）的關(guān)系，再求出長的。

生：以后遇到類似的問題，可以先想象這個(gè)展開圖折疊后的立體圖形，然后再思考圖中數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在關(guān)系。

……

【教學(xué)思考】

部分學(xué)生屢教不會(huì)，是因?yàn)榻處煹牡谝淮谓趟麄兙蜎]有真正學(xué)會(huì)，這些學(xué)生未能理解數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)意義的自我建構(gòu)，從而導(dǎo)致教師后幾次的重復(fù)也是徒勞。如上述課例中，如果學(xué)生缺乏對(duì)長方體展開圖的規(guī)律、位置、關(guān)系的基本認(rèn)識(shí)，不進(jìn)行相應(yīng)的空間想象活動(dòng)，學(xué)生的思維就會(huì)陷入迷茫之中。那么，教師如何走出這樣的教學(xué)困境呢？

一、 展開空間想象，實(shí)現(xiàn)二維與三維的互換，尋找解題路徑

空間觀念是對(duì)空間中物體的位置及位置之間的關(guān)系的感性認(rèn)識(shí)，其本質(zhì)是空間想象力。在幾何學(xué)習(xí)過程中，想象往往伴隨著觀察、操作等活動(dòng)展開。學(xué)生通過想象能直接、有效地獲得圖形的形狀、大小、位置關(guān)系以及物體間距離的表象，形成正確的概念表征。而空間想象是小學(xué)生幾何學(xué)習(xí)活動(dòng)中重要的學(xué)習(xí)方式，是學(xué)生發(fā)展空間思維、建立空間觀念的關(guān)鍵因素。

課例中的題目，呈現(xiàn)的是一個(gè)長方體的表面展開圖，已知兩條棱的長度和四條棱的長度和。對(duì)于大部分學(xué)生而言，結(jié)合此圖理解20厘米就是長方體的2條長加2條3厘米的棱長，求出長方體的長是比較困難的，即使勉強(qiáng)接受，下次遇到類似的問題仍然會(huì)感到茫然。究其原因，教師沒有引導(dǎo)學(xué)生對(duì)展開圖進(jìn)行深加工，結(jié)合展開圖想象折疊后長方體的形狀，實(shí)現(xiàn)由二維圖與三維圖的互換。

為什么要有二維到三維的轉(zhuǎn)換？因?yàn)閷?duì)六年級(jí)學(xué)生而言，直接觀察長方體展開圖來發(fā)現(xiàn)長方體的長、寬、高仍有一定的難度，或者說，即使找到長、寬、高的相關(guān)數(shù)據(jù)也只是處于猜測(cè)階段，尤其是在面對(duì)已知5厘米和3厘米的兩條棱時(shí)，學(xué)生根據(jù)展開圖直觀判斷20厘米到底是兩條長與兩條怎樣的棱的和，學(xué)生是很茫然的。學(xué)生怎樣才能真正地理解呢？筆者以為，只有讓展開圖在頭腦中“動(dòng)”起來，想象折疊成長方體的過程，這時(shí)的長、寬、高就了然于心了。在此基礎(chǔ)上，再來觀察展開圖中20厘米的構(gòu)成就簡(jiǎn)單多了。換個(gè)角度而言，本題所考察的，不正是學(xué)生的空間想象能力嗎？

事實(shí)上，蘇教版數(shù)學(xué)教材中安排學(xué)生學(xué)習(xí)長方體、正方體、圓柱的展開圖，除了出于幫助學(xué)生理解和掌握立體圖形的特征和計(jì)算立體圖形表面積的需要，還有更深層次的考慮，就是希望借此來發(fā)展學(xué)生的空間想象力。即根據(jù)幾何體想象其展開圖或根據(jù)展開圖想象相應(yīng)的幾何體，進(jìn)而逐步建立空間觀念，發(fā)展空間想象力。在小學(xué)階段，需要進(jìn)行二維和三維轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)問題還有很多。如六年級(jí)上冊(cè)中的一道題目：“一個(gè)底面是正方形的長方體，側(cè)面展開是邊長4分米的正方形，求長方體體積?！绷昙?jí)下冊(cè)中有關(guān)于圓柱展開圖的問題：“用圖中的陰影部分恰好能做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶，這個(gè)水桶的容積是多少？”（圖4）這些數(shù)學(xué)問題的解決，都需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行空間想象，有時(shí)還可以組織學(xué)生動(dòng)手做一做，通過具體的操作活動(dòng)去感知、發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)正確的空間形式與關(guān)系，積累相應(yīng)的幾何表象和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、 結(jié)合空間想象，進(jìn)行數(shù)學(xué)分析與思考，建構(gòu)數(shù)學(xué)意義

幾何作為一種理解、描述和聯(lián)系現(xiàn)實(shí)的工具，也許是數(shù)學(xué)中最直觀、具體和真實(shí)的部分。幾何概念的內(nèi)部表征以表象為主，表象在一定程度上起到了連接概念與圖形、圖形與模型的作用。與一般表象不同，幾何表象不僅僅是事物或事件的知覺表征，它一方面反映的是圖形的相關(guān)概念，具有思維的特征；另一方面又具有一定的形象性，可以在頭腦中對(duì)它進(jìn)行各種操作，如旋轉(zhuǎn)、切割、黏合、折疊、拓展等[1]。從這個(gè)意義上講，案例中要讓學(xué)生的空間想象順利地展開，前提是學(xué)生腦海中有對(duì)立體圖形展開圖中面的排布規(guī)律、位置關(guān)系有相應(yīng)的幾何表象，即在教學(xué)正方體和長方體的展開圖時(shí)就要引導(dǎo)學(xué)生充分進(jìn)行操作活動(dòng)，通過剪、觀察、比較、分析、思考等一系列活動(dòng)，形成有關(guān)正方體和長方體展開圖的表象，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于一些空間想象力欠缺的學(xué)生，還可以指導(dǎo)其畫出相應(yīng)的展開圖，剪下來，折一折，看看和自己想象的是否相同，豐富表象的同時(shí)促進(jìn)其對(duì)數(shù)學(xué)意義的建構(gòu)。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材主編王林老師說：“教學(xué)中的難點(diǎn)難在學(xué)生不好理解，要淺說，關(guān)鍵的地方要分解。好比拍電影，拍到關(guān)鍵的地方，要拍它的慢動(dòng)作，把關(guān)鍵的地方一個(gè)一個(gè)分得很細(xì)?！卑咐?，筆者沒有急于求成，而是引導(dǎo)學(xué)生展開三個(gè)層次的思考：一是結(jié)合展開圖思考，你是怎樣看出長方體的寬和高的，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直接觀察和確定寬和高有點(diǎn)困難，需要將展開圖想象著折疊成長方體；二是組織學(xué)生以其中一個(gè)面為底面，展開空間想象，在頭腦中勾畫出折疊后長方體的形狀，由此確定長方體的長、寬、高的位置；三是引導(dǎo)學(xué)生再次回到展開圖，發(fā)現(xiàn)20厘米可以看成是2條長加2條寬（或高）的和，從而求得長方體的長。在此過程中，由于學(xué)生直接觀察和確定寬和高有點(diǎn)困難，于是產(chǎn)生了強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，借助空間想象實(shí)現(xiàn)二維平面圖向三維立體圖的轉(zhuǎn)換顯得水到渠成，通過想象確定長方體的長、寬、高的位置后，再次回到展開圖來探討20厘米的構(gòu)成，有效地突破了學(xué)生理解上的障礙，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)意義的自我構(gòu)建。

三、 進(jìn)行回顧反思，體驗(yàn)空間想象的數(shù)學(xué)價(jià)值，感悟思想方法

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)需要空間想象的數(shù)學(xué)問題往往比較害怕，在獨(dú)立解題時(shí)自主展開空間想象也有困難。這也從另一個(gè)側(cè)面反映出當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的困境：注重?cái)?shù)學(xué)分析、抽象、比較、概括等理性思維，而在學(xué)生空間想象力培養(yǎng)方面有所忽略。事實(shí)上，學(xué)生空間想象力的發(fā)展與學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)密切相關(guān)，在教學(xué)中，教師要自覺引導(dǎo)學(xué)生想象和畫圖，再現(xiàn)相應(yīng)的問題情境，借助圖形展開數(shù)學(xué)思考。同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生不滿足于找到問題的答案，而應(yīng)在得到“答案”后“回頭看”和“再思考”，體驗(yàn)空間想象對(duì)問題解決的突破和推進(jìn)作用，對(duì)問題解決過程中孕伏的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行總結(jié)和概括。

在上述案例中，教師組織學(xué)生回顧解題過程，引導(dǎo)學(xué)生思考兩種解題方法的相同之處，以及解題過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，兩種方法都是根據(jù)已知條件尋找20厘米與長方體的棱之間的關(guān)系，而這一關(guān)系的獲得必須由展開圖想象折疊后的立體圖形，進(jìn)一步體驗(yàn)想象在解題過程中的重要性。同時(shí)，教師還可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比自己解題中的錯(cuò)誤，分析自己出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，解題后在題目的旁邊進(jìn)行批注，記錄下解題的思想方法和解題要點(diǎn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1] 鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

【責(zé)任編輯：陳國慶】