我和學(xué)生有個(gè)“約定”

鄭思思

【摘要】 特殊值解決含參數(shù)函數(shù)是奇（偶）函數(shù)問題是學(xué)生在學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性后必然會(huì)碰到的一類題目，而此類題目也是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型.學(xué)生在解題中卻經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)利用不等價(jià)的轉(zhuǎn)換來進(jìn)行解題這樣的錯(cuò)誤.

【關(guān)鍵詞】 奇（偶）函數(shù)；教學(xué)；嚴(yán)密性

例如用f（0）=0來代替函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)等.對(duì)于這樣的錯(cuò)誤，作為教師的我們除了發(fā)出“講了n遍了，還是錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)”這樣的抱怨外，是不是也該反省自己的教學(xué)，與學(xué)生統(tǒng)一戰(zhàn)線，一起找尋問題的解決方案？答案是肯定的.本文就是我與學(xué)生在碰到問題后，產(chǎn)生爭(zhēng)議，通過列舉反例達(dá)成共識(shí)，最后尋找解決方法中展開的，從中也給了我自己很好的教學(xué)啟示.

解法一便捷而不嚴(yán)密的特點(diǎn)在這兩個(gè)例題中暴露了出來.給學(xué)生強(qiáng)調(diào)了解題嚴(yán)密性，讓學(xué)生選擇解法二.對(duì)問題中的運(yùn)算關(guān)鍵進(jìn)行了點(diǎn)撥之后，我在第二天作業(yè)中放入了同類問題.經(jīng)過這樣兩個(gè)反例的分析，兩個(gè)班共94人中做錯(cuò)的僅3人（得到正確答案并過程嚴(yán)謹(jǐn)）.當(dāng)我以為這個(gè)問題就這么被解決了的時(shí)候，卻在接下來的作業(yè)中發(fā)現(xiàn)，選擇解法一的人數(shù)多起來了，同學(xué)還是逐漸選擇了便利而欠缺嚴(yán)密性的解法.而且與此同時(shí)，在與其他老師關(guān)于這個(gè)問題的討論過程中也講到，其實(shí)很多題目甚至是大部分此類問題用f（0）=0來計(jì)算都是對(duì)的，那還有沒有必要完全摒棄解法一呢？

針對(duì)這一問題，我首先找了兩個(gè)班中選擇解法一的同學(xué)進(jìn)行了個(gè)別訪談，摘錄如下：

師：有關(guān)這類題目，我們之前舉過兩個(gè)反例，你還有印象嗎？（將題目展示）

生1：哦，記得.

師：那你的作業(yè)中為何還是選擇了解法一呢？

生1：因?yàn)榻夥?太煩了，而且大部分題目好像用解法一算出來的都是對(duì)的.

師：那你認(rèn)為“f（0）=0”和函數(shù)為奇函數(shù)是等價(jià)的嗎？

生1：好像不等價(jià).

師：那既然不等價(jià)，為什么還用解法一呢？

生1：因?yàn)榻夥ㄒ挥?jì)算簡(jiǎn)單啊，而且?guī)缀?5 % 的此類問題（不知道她怎么歸納出這個(gè)85 % 的）都可以這樣解決.

師：有關(guān)這類題目，我們之前舉過兩個(gè)反例，你還有印象嗎？（將題目展示）

生2：哦，記得，老師你講好之后我還重新去整理了.

師：那你的作業(yè)中為何還是選擇了解法一呢？

生2：您上次舉的兩個(gè)反例，我研究過了，其實(shí)反例1和反例2之所以用f（0）=0來算時(shí)沒有計(jì)算出正確答案是因?yàn)楸旧磉@個(gè)奇函數(shù)在x=0處沒有定義，但是作業(yè)中的那題我可以判斷出在x=0的地方一定是有定義的.

師：那你認(rèn)為“f（0）=0”和函數(shù)為奇函數(shù)是等價(jià)的嗎？

生2：好像不等價(jià).

師：那既然不等價(jià)，為什么還用解法一呢？

生2：作業(yè)中的那題我可以判斷出在x=0的地方一定是有定義的，所以f（0）一定等于0.

其他學(xué)生在訪談過程中的回答與上述兩名同學(xué)類似，不一一列舉.

結(jié)合學(xué)生所講以及與備課組老師的討論，我又重新開始思考.先回到之前所舉的兩個(gè)反例中，細(xì)審解法一出錯(cuò)的原因，反例1中只算出了a=1主要原因是當(dāng)a=-1時(shí)函數(shù)在x=0處無定義，所以無法計(jì)算出這個(gè)答案；反例2中沒有算出正確答案a=-1，究其原因也是當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)在x=0處沒有定義造成的（剛才那名同學(xué)的說法還有有點(diǎn)道理的）.但是如果再來反觀反例2的解法一，其實(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)用f（0）=0算出的值，此時(shí)函數(shù)在x=0處也有定義，但是還是不能滿足函數(shù)為奇函數(shù)的條件，而這個(gè)也正好應(yīng)證了“f（0）=0”與“f（x）是奇函數(shù)”的不等價(jià)性，并且這個(gè)不等價(jià)性的說明已排除了“函數(shù)在x=0處沒有定義”這種特殊情況.

在做好了這一些準(zhǔn)備后，我又重新拿著這些題目給學(xué)生們講了以上這些我的思考.最后提出了一個(gè)問題：那么在以后大家碰到這類問題時(shí)，會(huì)以什么樣的方式去進(jìn)行解題呢？在師生共同的努力下，達(dá)成了一個(gè)約定，解決這類問題的一個(gè)約定.約定具體內(nèi)容如下：

（1）拿到這類問題先判斷函數(shù)在x=0處是否有定義；若有，參看第2條，若無或不確定參看第3條；

（2）利用f（0）=0來算，但所得結(jié)果需要檢驗(yàn)；

（3）利用f（-x）=-f（x）來進(jìn)行計(jì)算，一般無須檢驗(yàn).

學(xué)生們都很開心，解數(shù)學(xué)題還可以按照約定來，挺新鮮.可是卻馬上又發(fā)現(xiàn)這個(gè)約定是有漏洞的.題目如下：

f（x）=log 1 2 1-ax x-1 是R上的奇函數(shù)，求a，b的值.

學(xué)生的解法大致如下：

解法一 考慮到函數(shù)在x=0時(shí)有定義，所以f（0）=0，可以先解得a=1，然后再利用f（-x）=-f（x）（比解法2中的運(yùn)算量少）或f -1 =-f 1 （或者其他特殊值來算，運(yùn)算量較?。缓筮M(jìn)行檢驗(yàn)，可得出最后答案a=1，b=e.

解法二 直接利用f（-x）=-f（x）即f（-x）+f（x）=0來算.將式子化簡(jiǎn)后可得a=±1，而檢驗(yàn)后可發(fā)現(xiàn)正確答案只有a=-1；因?yàn)楫?dāng)a=1時(shí)，f（x）=log 1 2 1-x x-1 ，對(duì)任意的x∈ R 均是沒有意義的.

題目做完講解后，學(xué)生就鬧開了花，吵著爭(zhēng)著“老師，你看我們定的約定不對(duì)了！怎么辦？”

怎么辦？改唄！于是師生共同又將約定改為了如下版本：

（1）拿到這類問題先判斷函數(shù)在x=0處是否有定義；若有，參看第2條，若無或不確定參看第3條；

（2）利用f（0）=0來算，但所得結(jié)果需要檢驗(yàn)；

（3）利用f（-x）=-f（x）來進(jìn)行計(jì)算，也需要檢驗(yàn)，尤其是出現(xiàn)兩解時(shí).

而在之后的解題中，大家又發(fā)現(xiàn)了一道此類問題，但又與眾不同：已知函數(shù)f（x）= a-ex b+ex+1 是 R 上的奇函數(shù)，求a，b的值.

此題的與眾不同在于題中有兩個(gè)參數(shù)a，b，若只用f（0）=0來計(jì)算只能算出一個(gè)值即a=1，若要繼續(xù)求b的值則需要再取一個(gè)特定值如f -1 =-f 1 （結(jié)果是需要檢驗(yàn)的），或者將a=1代入f（-x）=-f（x）來進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)然也有學(xué)生選擇的方法是直接用f（-x）=-f（x）來計(jì)算，但是后面的運(yùn)算量很大，導(dǎo)致很多學(xué)生放棄此題；而一小部分堅(jiān)持對(duì)式子化簡(jiǎn)并得到結(jié)果a=1，b=e或a=-1，b=-e的同學(xué)有鮮少有人檢驗(yàn)出a=-1，b=-e這組答案是錯(cuò)誤的，因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)的定義域不是 R .

針對(duì)這樣的情況，我們?cè)俅握{(diào)整了約定內(nèi)容：

（1）拿到這類問題先判斷函數(shù)在x=0處是否有定義；若有，參看第2條和第3條，若無或不確定參看第5條；

（2）若函數(shù)解析式中只含一個(gè)參數(shù)，則參看第3條；若函數(shù)解析式中含有兩個(gè)參數(shù)，則參看第4條；

（3）利用f（0）=0來算，但所得結(jié)果需要檢驗(yàn)；

（4）借助f（0）=0和另一個(gè)特定值如f -1 =-f 1 結(jié)合求解，所得結(jié)果需檢驗(yàn)；或者借助f（0）=0和f（-x）=-f（x）來求解；

（5）利用f（-x）=-f（x）來進(jìn)行計(jì)算，也需要檢驗(yàn)，尤其是出現(xiàn)兩解時(shí).

后 記

這類問題無論是對(duì)高中數(shù)學(xué)教師還是對(duì)學(xué)生來講，都不陌生.學(xué)生在做題時(shí)一定會(huì)碰到此類問題，而教師就更不用說了.但是我在之前的教學(xué)中，雖然也了解學(xué)生解決此類問題時(shí)會(huì)出現(xiàn)的問題和錯(cuò)誤，但都沒有認(rèn)真地去對(duì)待，而是把學(xué)生的錯(cuò)誤當(dāng)作一種理所當(dāng)然，并沒有去關(guān)注這問題和錯(cuò)誤的背后所隱藏的原因.所以錯(cuò)了講，講了再錯(cuò)，錯(cuò)了再講，……如此惡性循環(huán)，不光沒有解決問題，還加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，著實(shí)不是種好的教學(xué)方法.我想我們的教育應(yīng)該要更貼近學(xué)生，采取學(xué)生愿意的也能接受的方式來開展教學(xué)，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的同時(shí)也把問題搞明白了，一舉兩得不是更好嗎？與此同時(shí)，教師也應(yīng)在平時(shí)教學(xué)中關(guān)注學(xué)生運(yùn)算化簡(jiǎn)能力的培養(yǎng)和提高.

通過大半個(gè)學(xué)期與此類問題的戰(zhàn)斗，也對(duì)如何教學(xué)這類問題以及其他問題有了一個(gè)自己的認(rèn)識(shí)，與大家分享，不當(dāng)之處請(qǐng)指正.