如何引導(dǎo)初一學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探索數(shù)學(xué)規(guī)律

衛(wèi)拴科

[摘 要] 學(xué)生升入初中之后，學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)態(tài)度都會(huì)發(fā)現(xiàn)很大的變化，學(xué)生與學(xué)生之間的差距更明顯，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要探索數(shù)學(xué)規(guī)律，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后綜合運(yùn)用，這樣，才能進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī).

[關(guān)鍵詞] 初一；數(shù)學(xué)規(guī)律；途徑

數(shù)學(xué)規(guī)律就是指數(shù)學(xué)元素（數(shù)與數(shù)、數(shù)與形、形與形等）之間的內(nèi)在聯(lián)系. 探索數(shù)學(xué)規(guī)律，就是探索數(shù)學(xué)各個(gè)元素之間的相互聯(lián)系. 布魯納說過：“探索是數(shù)學(xué)的生命線，沒有探索便沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展. ”初一學(xué)生剛剛升入初中，對(duì)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律往往一頭霧水，如墜十里云霧之中，一臉迷茫，不知如何下手. 毛主席說：“入門既不難，深造也是辦得到的. ”那么，如何使學(xué)生入得其門呢？關(guān)鍵是教師要引導(dǎo)學(xué)生如何透過現(xiàn)象看本質(zhì)，如何找到探究問題的切入點(diǎn)，這才是至關(guān)重要的. 初一數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)規(guī)律問題雖說千變?nèi)f化，卻萬變不離其宗，還是有規(guī)律可循的. 事實(shí)上，探索數(shù)學(xué)規(guī)律就是對(duì)事物（數(shù)學(xué)元素之間）進(jìn)行一般化的表示. 也就是如何對(duì)事物的內(nèi)在聯(lián)系從具體和特殊入手，經(jīng)過觀察、類比、分析、歸納、猜想、驗(yàn)證的過程，再到抽象、一般的過程. 認(rèn)識(shí)到“普遍性”寓于“特殊性”之中，也就是尋找藏在“個(gè)性”當(dāng)中的“共性”. 沒有特殊性就沒有普遍性. 人的認(rèn)識(shí)過程往往要經(jīng)歷由特殊到一般，再由一般到特殊兩個(gè)階段，然后建立通式化的數(shù)學(xué)模型，這就要求教師要引導(dǎo)學(xué)生從觀察問題入手，觀察不同的數(shù)、形和前后左右的數(shù)、形之間有什么關(guān)聯(lián)，經(jīng)過分析比較，在頭腦中有一個(gè)初步的猜想，再把它歸納概括和數(shù)學(xué)化，得出結(jié)論，然后驗(yàn)證結(jié)論的合理性，最后得出規(guī)律性的東西. 在這個(gè)過程中，觀察是先導(dǎo)，切入是關(guān)鍵，發(fā)現(xiàn)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，它是學(xué)生感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)的飛躍. 因此，在教學(xué)中，教師的作用就是引導(dǎo)學(xué)生從何處來切入，如何在山重水復(fù)無路之地找到柳暗花明的另一村.

從圖形上觀察、比較、猜想，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律

觀察數(shù)學(xué)圖形可通過對(duì)數(shù)學(xué)圖形的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分割，尋找圖形的上下、左右、內(nèi)外等之間的某種聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

例如，觀察直角三角形的內(nèi)角和、銳角三角形的內(nèi)角和、鈍角三角形的內(nèi)角和都是180°（特殊圖形），從而猜想任意三角形（一般三角形）的內(nèi)角和也是180°. 然后通過把任意一個(gè)三角形的三個(gè)角剪下來拼在一起去驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論. 學(xué)生在實(shí)驗(yàn)當(dāng)中不知道應(yīng)該去觀察圖形的什么：是頂點(diǎn)，是三邊關(guān)系，內(nèi)角和，外角和還是觀察其他的什么. 此時(shí)教師就要引導(dǎo)他們從三角形的內(nèi)角和去切入，去入手. 因?yàn)樵绞鞘煜さ臇|西，人們往往越熟視無睹. 然后，可以引導(dǎo)學(xué)生再由淺入深、由表及里地去觀察三角形的外角和，三邊之間的關(guān)系，三角形的內(nèi)心、外心、垂心、重心、旁心等，進(jìn)一步由此及彼對(duì)四邊形、五邊形等進(jìn)行觀察、分析、歸納. 這正像一位哲人說的，“這世界并不缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛. ”因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索數(shù)學(xué)規(guī)律的切入點(diǎn). 事實(shí)上，自然界有很多規(guī)律并不難發(fā)現(xiàn)，而是難于不知從何處切入.

從數(shù)的特點(diǎn)去切入，去發(fā)現(xiàn)

數(shù)的前后左右上下內(nèi)外之間有時(shí)乍看無規(guī)律可循，但經(jīng)仔細(xì)觀察，看它們之間是否有奇偶關(guān)系、平方關(guān)系、立方關(guān)系、和差關(guān)系等，往往會(huì)靈機(jī)一動(dòng)，靈感突至，有意想不到的收獲. 因此，對(duì)初一的學(xué)生來說，教師在引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律之前，平時(shí)要多注重學(xué)生對(duì)偶數(shù)（2n）、奇數(shù)（2n-1，2n+1）等一些特殊數(shù)的表示的知識(shí)積累和鋪墊，這樣才能不至于有“書到用時(shí)方恨少”的感嘆. 其次，教師還要引導(dǎo)和幫助學(xué)生分析給定的一列數(shù)是否是等差數(shù)列或等比數(shù)列. 再看分子、分母之間有什么關(guān)系，或分子與分子、分母與分母之間有什么關(guān)系，再進(jìn)一步看它們之間和序號(hào)有沒有平方、立方、和差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系，這樣，復(fù)雜的問題也會(huì)變得輕而易舉和得心應(yīng)手.

例1 觀察下面一系列等式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請(qǐng)用代數(shù)式表示這個(gè)規(guī)律.

32-12=8=8×1；

52-32=16=8×2；

72-52=24=8×3；

92-72=32=8×4

…

分析 經(jīng)過觀察不難發(fā)現(xiàn)，等式的左邊是1，3，5，7，9…的平方，而左邊的底數(shù)1，3，5，7，9…是奇數(shù)，此刻立即想到奇數(shù)可表示成2n-1，2n+1，又結(jié)合序號(hào)，便想到等式的左邊可表示成：（2n+1）2-（2n-1）2. 等式右邊是8的1倍、2倍……，結(jié)合序號(hào)，可寫成8n（n為自然數(shù)）.

例2 找出下面數(shù)列的規(guī)律，并填空.

（1）2，7，12，17，______，…，______（第n個(gè)數(shù)）；

（2）1，8，27，64，______，…，______（第n個(gè)數(shù)）.

分析 （1）中相鄰的兩個(gè)數(shù)都相差5，是一個(gè)等差數(shù)列，故第n個(gè)數(shù)就等于首項(xiàng)+5（n-1），即5n-3，這也是它的通項(xiàng).

（2）中的數(shù)為1，8，27，64…因?yàn)?3=1，23=8，33=27，43=64，…由此可知下一個(gè)數(shù)是53，即125，自然，第n個(gè)數(shù)就是n3.

通過列表，分析數(shù)據(jù)特點(diǎn)和聯(lián)系

通過列表，把數(shù)據(jù)列出來，分析數(shù)據(jù)的特點(diǎn)（平方關(guān)系、立方關(guān)系等），再找出數(shù)據(jù)與序號(hào)之間存在著怎樣的關(guān)系，便可探究出這一類題的規(guī)律，收到觸類旁通的效果. 例如折紙、拉面問題等.

例3 將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，可得到一條折痕，繼續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行. 連續(xù)對(duì)折6次后，可以得到幾條折痕？想象一下，如果對(duì)折10次，有多少條折痕？那么對(duì)折n次呢，會(huì)有多少條折痕？

分析 因?yàn)閺牡诙握郫B起，每一次折痕的條數(shù)等于在保留前面折痕的條數(shù)的基礎(chǔ)上，再加上上一次新增的折痕條數(shù)的2倍，列表如表1.

分析圖形關(guān)系，培養(yǎng)探究能力

對(duì)于圖形問題，主要引導(dǎo)學(xué)生分析并尋找圖形中的包含關(guān)系、對(duì)稱關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系、遞增關(guān)系、衍生關(guān)系等，“快刀斬亂麻”，透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、探究能力.

例4 圖1中的圖形是由邊長(zhǎng)為1的小正方形按照某種規(guī)律排列而成的.

觀察圖形，填寫下表：

分析 教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察這組圖形中的任意一個(gè)是以中間這一列長(zhǎng)方形（由小正方形構(gòu)成）為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形. 中間這一列長(zhǎng)方形中小正方形的個(gè)數(shù)是序號(hào)加1，即中間這一列有（n+1）個(gè)小正方形，中間這一列長(zhǎng)方形的每一邊（左、右）都有2n+1個(gè)小正方形，兩邊共有2（2n+1）個(gè)小正方形，因此圖中小正方形的總數(shù)是（n+1）+2（2n+1）=5n+3. 而圖形的周長(zhǎng)的計(jì)算方法則有多種. 這里只舉一種：圖形的周長(zhǎng)等于橫的正方形組成的這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)加上三個(gè)豎的長(zhǎng)方形（不包括已算過的橫的長(zhǎng)方形中的小正方形）的長(zhǎng)的6倍. 圖形中橫排長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2n+3，三個(gè)豎排長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為n，因此圖形的周長(zhǎng)就等于（2n+3+1）×2+6n=10n+8.

例5 如圖2，圖①中互不重疊的三角形共有4個(gè)；圖②中互不重疊的三角形共有7個(gè)，圖③中互不重疊的三角形共有10個(gè)，………則第n個(gè)圖形中，互不重疊的三角形共有______個(gè)（用含n的代數(shù)式表示）.

分析 在這個(gè)題中，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)每一個(gè)圖形中最里面的一個(gè)三角形，在下一個(gè)圖形中又包含（3+1）個(gè)三角形，這樣不斷衍生下去，我們就不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律：

運(yùn)用綜合分析的方法，幫助和引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)規(guī)律

在圖形難以直觀和一目了然的情況下，我們要幫助學(xué)生另辟蹊徑，尋找探究數(shù)學(xué)規(guī)律的方法. 但這種綜合分析的方法對(duì)學(xué)生思維的要求較高，學(xué)生不易掌握. 但一經(jīng)掌握，便能左右逢源，使許多數(shù)學(xué)問題迎刃而解，這對(duì)學(xué)生來說獲益匪淺.

例6 在同一平面內(nèi)，3條直線兩兩相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；那么4條直線兩兩相交，最多有______個(gè)交點(diǎn)；8條直線兩兩相交，最多有______個(gè)交點(diǎn)；n條直線兩兩相交，最多有______個(gè)交點(diǎn).

總而言之，初一數(shù)學(xué)有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律方面的問題林林總總、包羅萬象，教師要引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)規(guī)律，就必須首先幫助和引導(dǎo)學(xué)生尋找問題的切入點(diǎn)，這是探究數(shù)學(xué)規(guī)律的突破口. 其次，教師要鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展有條理的思考. 只有這樣，才能使學(xué)生有的放矢，有章可循，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探究數(shù)學(xué)規(guī)律.