Banach空間中廣義f-投影算子連續(xù)性的應(yīng)用

張冬楊，蘇亞坤

(渤海大學(xué)，遼寧 錦州　121000)

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Banach空間中廣義f-投影算子連續(xù)性的應(yīng)用

張冬楊，蘇亞坤

(渤海大學(xué)，遼寧 錦州121000)

摘要：在自反嚴(yán)格凸且光滑的Banach空間中，利用廣義f-投影算子的連續(xù)性求解了GVIT(K，T，f)廣義變分不等式。

關(guān)鍵詞：廣義f-投影算子；GVIT(K，T，f)廣義變分不等式；對偶變換；連續(xù)性

1預(yù)備知識

首先給出對偶映射J的一些性質(zhì)[1]：

1) X是自反的，當(dāng)且僅當(dāng)J是滿射；

2) X是嚴(yán)格凸的，當(dāng)且僅當(dāng)J是單射；

3) X是光滑的，當(dāng)且僅當(dāng)J是單值映射；

4) 如果X是光滑的Banach空間，那么J:X→X*是弱星連續(xù)的；

5) 如果X是自反嚴(yán)格凸且光滑的Banach空間，那么J∶X→X*是X*中的對偶映射且J-1=J*,JJ*=I。

對任意給定的ρ>0，令G:X*×K→R∪{+∞}，定義

下面介紹G函數(shù)的性質(zhì)[2]：

2) 對于φ而言，如果x是固定的，那么G(φ,x)是凸的和連續(xù)的；

3) 對于x而言，如果φ是固定的，那么G(φ,x)是凸的和下半連續(xù)的。

在已有G函數(shù)的基礎(chǔ)上，Wu和Huang[2]在一致凸一致光滑的Banach空間中定義了廣義f-投影算子，即：

文獻(xiàn)[3]給出Banach空間中廣義變分不等式GVI(K,T,f)的定義，即：對任意的x∈K, ρ>0，存在u∈Tx，如果滿足

其中T∶K→X*是集值變換。

另一方面，作為應(yīng)用，文獻(xiàn)[4]證明了在自反嚴(yán)格凸且光滑的Banach空間中廣義f-投影算子是單值且連續(xù)的，并應(yīng)用該性質(zhì)求解廣義變分不等式：

其中，任意ξ∈X*,A:K→X*。迭代結(jié)構(gòu)為

本文在上述文獻(xiàn)的啟發(fā)下，在自反嚴(yán)格凸且光滑的Banach空間中，利用廣義f-投影算子的弱對強(qiáng)連續(xù)性，求解廣義變分不等式GVI(K,T,f)。

本研究需要以下引理[2]：

引理3若X為自反嚴(yán)格凸且光滑的Banach空間，則

引理4如果是任意給定的實(shí)數(shù)r>0，那么X是一致凸的Banach空間，當(dāng)且僅當(dāng)存在嚴(yán)格遞增的凸函數(shù) g∶R+→R+，且g(0)=0，使得

其中?x,y∈Br,λ∈[0,1]。

2主要結(jié)果

定理1令X是一致凸且光滑的Banach空間，K是X中非空緊凸子集，且0∈K,T∶K→X*是上半連續(xù)且閉的， f∶K→R是真凸下半連續(xù)的，假設(shè)存在β>0，使得J-βT∶K→X*是緊的。假設(shè)：對?x∈K, f (x)>0且 f (0)=0;對?x∈K,u∈Tx,都有

(1)

令x0∈K，且{xn}是由下述迭代結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的：

(2)

其中{αn}滿足下列條件：

1) 0≤αn≤1;

那么廣義變分不等式GVI(K,T, f)存在近似解x*∈K,且存在{xni}?{xn}，使得當(dāng)i→∞時(shí)，xni→x*。

由引理3和式(1)可得

(3)

另一方面，由G函數(shù)的定義及引理2可得

(4)

(5)

由引理4可知：存在連續(xù)且嚴(yán)格遞增的凸函數(shù)g∶R+→R+，且g(0)=0,那么

當(dāng)n=1,2,3,…,m時(shí)，對上面的不等式兩端加和，可得

當(dāng)n→∞時(shí)，上式也就是

(6)

(7)

由g函數(shù)的性質(zhì)可知

由于{xni}是有界的，且J-βT在K上是緊的，那么{Jxn-βun}有子列強(qiáng)收斂于φ∈X*。不失一般性，假設(shè)存在子列{Jxn-βun}，且Jxn-βun→φ0∈X*,由于X是一致凸的，那么X有H性質(zhì)，且根據(jù)引理5可知：廣義f-投影算子是連續(xù)的。從而可得

(8)

(9)

因此結(jié)合式(7)～(9)可得

(10)

參考文獻(xiàn)：

[1]WU K Q， HUANG N J. The generalized f-projection operator with an application,in Bull Austral[J]. Math Soc,2006,73:307-317.

[2]WU K Q, HUANG N J.Properties of the generalized f-projection operator and its applications in Banach spaces[J]. Computers and Methematice with Applications,2007,54:399-400.

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[8]肖鵑，謝榮華，鄧?yán)?Banach空間中有限漸近擬非擴(kuò)張映射族的收斂定理[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,36(2):87-91.

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(責(zé)任編輯陳艷)

Application of Generalized f-Projection Operation’s Continuity in Banach Spaces

ZHANG Dong-yang, SU Ya-kun

(Bohai University, Jinzhou 121000, China)

Abstract:We solved GVI(K,T,f) generalized variational inequality by the continuous of the generalized f-projection operation in reflexive strictly convex and smooth Banach space.

Key words:generalized f-projection operation; GVI(K,T,f) generalized variational inequality; duality mapping; continuity

中圖分類號：O177.2

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 1674-8425(2016)03-0149-04

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.03.025

作者簡介：張冬楊(1987—)，女，黑龍江人，碩士研究生，主要從事運(yùn)籌學(xué)與控制論研究。

基金項(xiàng)目：遼寧省教育廳基金資助項(xiàng)目(64603043)

收稿日期：2015-06-28

引用格式：張冬楊，蘇亞坤.Banach空間中廣義f-投影算子連續(xù)性的應(yīng)用[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(3):149-152.

Citation format：ZHANG Dong-yang, SU Ya-kun.Application of Generalizedf-Projection Operation’s Continuity in Banach Spaces[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(3):149-152.