用好“變式”理解概念

【摘要】變式教學(xué)是在教學(xué)中使學(xué)生確切掌握概念的重要方法之一，其中直觀變式有利于“形成”概念，正例變式有利于“同化”概念，反例變式有利于“精致”概念。用好“變式”教學(xué)，能使數(shù)學(xué)概念的理解和概括精確化，提高概念教學(xué)的有效性。

【關(guān)鍵詞】變式；理解；概念

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）11-0038-02

【作者簡介】黃偉星，江蘇省無錫市教育科學(xué)研究院（江蘇無錫，214000），高級教師，無錫市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

數(shù)學(xué)概念是對客觀事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式或結(jié)構(gòu)關(guān)系的特征概括，是對一類數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的反映。小學(xué)數(shù)學(xué)中有大量的概念，它們是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，也是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)。變式教學(xué)則是在教學(xué)中使學(xué)生確切掌握概念的重要方法之一，即在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事例說明概念的本質(zhì)屬性，或變換概念的非本質(zhì)特征以突出本質(zhì)特征，使學(xué)生理解概念的本質(zhì)特征，辨別其非本質(zhì)特征，從而形成概念。下面，筆者就小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的“變式”教學(xué)談點看法。

一、通過直觀變式突出概念的本質(zhì)屬性，形成數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念的一個基本特征是抽象性，但許多數(shù)學(xué)概念又直接來自具體的感性經(jīng)驗，因此，概念形成的關(guān)鍵是建立感性經(jīng)驗與抽象概念之間的聯(lián)系。

顧泠沅的研究表明，影響學(xué)生掌握幾何概念的主要因素有三個：已具備的圖形經(jīng)驗、概念的敘述以及掌握概念所依據(jù)的圖形變式。以學(xué)習(xí)蘇教版四下三角形概念為例，教師通常會借助于下面兩類變式：一是通過日常生活中的直觀材料組織已有的感性經(jīng)驗，使學(xué)生理解概念的具體含義；二是利用不同的圖形變式，作為直觀材料與抽象概念之間的過渡，使學(xué)生原有的感性經(jīng)驗從具體直觀上升到圖形直觀材料的水平，進(jìn)而掌握概念圖形的基本特征，準(zhǔn)確地把握概念的外延空間。具體步驟如下：（1）分化出概念例證中的各種屬性。學(xué)生在引入環(huán)節(jié)已經(jīng)感知生活中的各種三角形，此時教師就需要引導(dǎo)學(xué)生抽取出大小、三條線段、三個角、角有大小、圖形封閉等各種屬性。（2）概括出例證的共同屬性，并提出關(guān)于它們的共同本質(zhì)屬性的種種假設(shè)。上例中，共同屬性有：三條線段、三個角、角有大小、圖形封閉、平面圖形。共同本質(zhì)屬性可以假設(shè)為：三條線段，三個角，圖形封閉，平面圖形，等等。這里，提出本質(zhì)屬性假設(shè)的方法是一條或幾條共同屬性的結(jié)合。（3）檢驗假設(shè)，確認(rèn)關(guān)鍵屬性。檢驗過程中，采用變式是一種有效手段。如上例中，通過變式可以發(fā)現(xiàn)，三個假設(shè)在各種變式中均出現(xiàn)，因而都可以確認(rèn)為共同本質(zhì)屬性。（4）完成本質(zhì)屬性的概括，形成概念。驗證了假設(shè)以后，把本質(zhì)屬性抽象出來，并區(qū)分出有從屬關(guān)系的本質(zhì)屬性，用語言概括成為概念的定義。

這里必須強調(diào)的是，在概念的形成階段，具體或直觀變式的主要作用是建立感性經(jīng)驗與抽象概念之間的聯(lián)系。由于數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)是抽象的，因此，在教學(xué)的適當(dāng)階段還應(yīng)盡可能擺脫具體或直觀的背景，使概念上升到抽象水平。

二、通過正例變式突出概念的外延，同化數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念的建立一般有兩種教學(xué)方式：一種是以概念形成方式進(jìn)行教學(xué)（如上例中三角形概念的學(xué)習(xí)），一種是以概念同化方式進(jìn)行教學(xué)。如果采用概念同化方式進(jìn)行教學(xué)，則需要完成如下幾個步驟：（1）對概念進(jìn)行特殊的分類，討論這個概念所包含的各種特例，突出概念的本質(zhì)屬性。（2）揭示概念的關(guān)鍵屬性，給出概念的定義、名稱和符號。（3）使新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的有關(guān)概念建立聯(lián)系，把新概念納入到已有的概念體系中，同化新概念。（4）用肯定例證與否定例證讓學(xué)生辨認(rèn)，使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念分化。

同化概念學(xué)習(xí)過程中的教學(xué)變式主要包括兩類：一類是屬于概念的外延集合的變式，稱為正例變式，其中又可以根據(jù)其在教學(xué)中的作用分為概念的標(biāo)準(zhǔn)變式和非標(biāo)準(zhǔn)變式；另一類是不屬于概念的外延集合的變式，但與概念對象有某些共同的非本質(zhì)屬性的變式，其中包括用于揭示概念對立面的反例變式。在兩種正例變式中，標(biāo)準(zhǔn)變式雖然有利于學(xué)生對概念的準(zhǔn)確把握，但也容易限制學(xué)生的思維，從而人為地縮小概念的外延，解決這個問題的方法之一就是充分利用非標(biāo)準(zhǔn)變式，通過變換概念的非本質(zhì)屬性，突出其本質(zhì)屬性。以“三角形的分類”教學(xué)為例，用好、用足正例變式。在學(xué)生獲得三角形的概念后，學(xué)生學(xué)習(xí)銳角三角形，直角三角形和鈍角三角形等概念，就屬于概念的同化方式，這是由一般到特殊，經(jīng)演繹方式獲得概念的一種形式。教學(xué)設(shè)計如下：（1）分類。呈現(xiàn)多個三角形，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到三角形中的角有大小，并數(shù)出三角形中各有幾個銳角、直角和鈍角；接著填寫表格，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察和分類。（2）下定義。根據(jù)分類，發(fā)現(xiàn)銳角、直角、鈍角三角形中角的本質(zhì)特點，給出定義。（3）同化。通過比較，進(jìn)一步明晰概念，并理解這三類三角形和所有三角形的關(guān)系，即把所有的三角形看作一個整體，銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形都是這個整體的一部分。（4）變式。可以設(shè)計這樣一些練習(xí)，首先是直觀判斷練習(xí)，練習(xí)形式有畫一畫，連一連，圍一圍等。其次是操作練習(xí)，練習(xí)形式有折一折，剪一剪，畫一畫等。例如：在直角三角形中畫一條線段，把它分成兩個三角形。最后是拓展練習(xí)，練習(xí)形式有猜一猜。例如，先呈現(xiàn)三角形中的一個鈍角，使學(xué)生體會到如果三角形中有一個角是鈍角，那么這個三角形是鈍角三角形；再呈現(xiàn)三角形中的一個直角，使學(xué)生體會到如果三角形中有一個角是直角，那么這個三角形是直角三角形；最后呈現(xiàn)三角形中的一個銳角，使學(xué)生體會到光憑三角形中的一個銳角是無法判斷的，還要看其他兩個角，如果三角形中的三個角都是銳角，那么這個三角形是銳角三角形。進(jìn)一步讓學(xué)生體會到，如果三角形中最大的一個角是銳角，那么這個三角形也是銳角三角形。通過正例變式，學(xué)生掌握了這些“如果……那么……”形式的句子，就掌握了三角形分類的概念。

三、通過反例變式明確概念的內(nèi)涵，精致數(shù)學(xué)概念

概念的內(nèi)涵與外延是對立而統(tǒng)一的，內(nèi)涵明確則外延清晰，反之亦然。因此，概念的教學(xué)要在內(nèi)涵上下功夫，使學(xué)生對概念所包含的對象集合有一個清晰的邊界。

不管是形成概念還是同化概念，教學(xué)中都要善于應(yīng)用反例變式精致概念，一方面可以幫助學(xué)生建立相關(guān)概念之間的聯(lián)系；另一方面也可以預(yù)防或者澄清學(xué)生在概念理解時可能出現(xiàn)的混淆，從而確切地把握概念變式的本質(zhì)特征。這類反例變式一般有兩個來源：一是來自概念之間的邏輯關(guān)系；二是基于學(xué)生常見的錯誤。還有一種形式是讓學(xué)生舉出不合某屬性的例子。例如，高年級的學(xué)生都能認(rèn)識到正多邊形的各邊相等，各角相等。教學(xué)中，可以出示“各邊都相等的多邊形是正多邊形”這一命題引導(dǎo)學(xué)生判斷是否正確，如果正確，請說明理由，如果不正確，請舉一反例。在去掉本質(zhì)屬性“各角相等”后，學(xué)生需要對各邊都相等的多邊形進(jìn)行多次的檢驗、選擇、批判，從而明白哪些是本質(zhì)特征，哪些是非本質(zhì)特征，再舉出反例，典型的反例是“菱形的各邊都相等，但它不是正四邊形”。這一思考過程，學(xué)生思維的批判性和創(chuàng)造性也得到了很好的培養(yǎng)。從而明確如果一個多邊形的各邊相等，各角相等，那么這個多邊形是正多邊形；反之如果一個多邊形是正多邊形，那么這個多邊形各邊相等，各角相等。通過反例變式，再次使學(xué)生掌握“如果……那么……”形式的句子，理解正多邊形的本質(zhì)特征。

總之，在數(shù)學(xué)概念的理解和掌握過程中，直觀變式有利于“形成”概念，正例變式有利于“同化”概念，反例變式有利于“精致”概念，從而盡可能避免非本質(zhì)屬性泛化的錯誤，使數(shù)學(xué)概念的理解和概括精確化，提高概念教學(xué)的有效性。