一類具有時(shí)滯的非線性SIRS傳染病模型的分析

石棟梁,李必文,龔純浩,黃華英

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石　435002)

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一類具有時(shí)滯的非線性SIRS傳染病模型的分析

石棟梁,李必文,龔純浩,黃華英

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石435002)

摘要：研究了一個(gè)具有時(shí)滯的非線性 SIRS傳染病模型，首先確定模型的基本再生數(shù)，并利用線性化，Hurwitz 定理和漸進(jìn)穩(wěn)定判定理分析了無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，然后運(yùn)用時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性理論對(duì)正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性進(jìn)行討論，從而推斷出達(dá)到相應(yīng)平衡狀態(tài)的充分條件。結(jié)果表明在傳播過程中引入時(shí)滯會(huì)破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定，當(dāng)時(shí)滯作為分支參數(shù)時(shí)周期解也會(huì)產(chǎn)生Hopf 分支。6

關(guān)鍵詞：SIRS模型；時(shí)滯；非線性發(fā)生率；穩(wěn)定性

在流行病學(xué)上，用數(shù)學(xué)模型深入探索傳染病的傳播已然經(jīng)過了一個(gè)多世紀(jì)。 Anderson和May總結(jié)了傳染病的演化和基本模型理論.眾所周知，傳染病的傳播過程涉及到很多相關(guān)因素，比如致病源、傳染方式、潛伏期、感染期、易感染期和免疫期.近幾十年已經(jīng)產(chǎn)生了各種各樣的傳染病模型，比如具有或者不具有時(shí)滯的 SIR,SIS,SEIR模型[1～4]。

近年來自從發(fā)現(xiàn)時(shí)滯能改變系統(tǒng)的定性行為時(shí)滯模型被廣泛關(guān)注，比如它能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定和最終導(dǎo)致 Hopf分支的周期解[1～6].因此，本文考察的是時(shí)滯對(duì)于一個(gè)具有非線性SIRS傳染率傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為。

本文在文獻(xiàn)[7]的建模思想基礎(chǔ)之上，建立了一類具有時(shí)滯的非線性SIRS傳染病模型，確定了模型的基本再生數(shù)，并討論了模型的無病平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

1不帶時(shí)滯的SIRS模型

S(t)表示易感者的數(shù)量，I(t)表示感染者的數(shù)量，R(t) 表示恢復(fù)者的數(shù)量。假設(shè)非線性傳染率是βSI/(1+αI) ，其中βI是感染力和 1/(1+αI) 是當(dāng)感染者數(shù)目增加或者感染者擁擠時(shí)控制易感者行為變化的抑制力，當(dāng)α=0時(shí)，傳染率就是雙線性傳染率βSI.那么在這種假設(shè)情況下，具有非線性傳染率的SIR模型如下：

(1)

這里 Λ表示種群的常數(shù)輸入率； β是單位時(shí)間內(nèi)感染者適度接觸的平均數(shù)；假設(shè)自然死亡率是常數(shù) μ； γ是感染者的恢復(fù)率以及 α是抑制率； p表示染病者得生育能力，其取值范圍為 0≤p≤1； q表示染病者所生的新生兒中為然病者得比例，其取值范圍為 0≤q≤1.后面的研究中帶有時(shí)滯 τ，其表示為疾病的感染期；模型(1)中的所有相關(guān)參數(shù)和狀態(tài)變量都是非負(fù)數(shù)。從生物學(xué)的角度考慮，我們可以得到系統(tǒng)(1)的可行域

1.1模型分析

1.1.1無病平衡點(diǎn)正平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

當(dāng)IE=0時(shí)，是系統(tǒng)(1)的一個(gè)非負(fù)平衡點(diǎn)。

從而得到：

S*=

將S*代入I*的表達(dá)式中得到：

i) 當(dāng)R0< 1時(shí)，I*< 0不滿足染病者必是非負(fù)數(shù)，系統(tǒng)(1)只存在無病平衡點(diǎn)E1=(Λ/μ,0,0);

ii) 當(dāng)R0=1時(shí)，I*=0系統(tǒng)(1)只存在無病平衡點(diǎn)E1=(Λ/μ,0,0)；

iii) 當(dāng)R0>1時(shí)，I*>0 系統(tǒng)(1)有兩個(gè)平衡點(diǎn)，分別為無病平衡點(diǎn)E1=(Λ/μ,0,0)；地方病平衡點(diǎn)E2=(S*,I*,R*).

1.1.2正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

定理2當(dāng)Λ>1,D<αμR0(μ+η)或者Λ< 1,D>αμR0(μ+η)時(shí)，正平衡點(diǎn)E2是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

通過計(jì)算可以得到：

其中：D= μγηR0-βΛ(μ+η)-qpμ2R0(μ+η).

那么系統(tǒng)(1)在E2=(S*,I*,R*) 處的Jacobian 矩陣為：

(2)

由 Routh-Hurwitz定理[8]，(2)所以根有負(fù)實(shí)部。因此當(dāng)Λ>1,D<αμR0(μ+η)或者Λ<1,D>αμR0(μ+η) 時(shí)，正平衡點(diǎn)E2是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

定理3當(dāng)Λ>1,D<αμR0(μ+η)或者Λ<1,D>αμR0(μ+η)時(shí)，正平衡點(diǎn)E2是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

2帶時(shí)滯的SIRS模型

引入時(shí)滯反映模型的動(dòng)力學(xué)行為是更合理的[9].事實(shí)上，時(shí)滯的引入使流行病數(shù)學(xué)模型更切合實(shí)際，說明了疾病潛伏期或者免疫期的作用.本文假設(shè)個(gè)體從易感者到感染者的流動(dòng)受制于時(shí)滯.因此(2)引入時(shí)滯如下：

(3)

τ>0表示疾病的潛伏期，其他狀態(tài)變量和參數(shù)與系統(tǒng)(2)保持一致.系統(tǒng)(3)的初始條件是

S(θ)=?1(θ)>0,E(0)=E10≥0,I(θ)=?2(θ)≥0,(-τ≤θ≤0)

(4)

利用泛函微分方程的基本理論[10],系統(tǒng)(3)有滿足初始條件(4)的唯一解 .(詳見文獻(xiàn)[11]系統(tǒng)(3)滿足初始條件(4)的所有解都定義在 [0，∞)上，并且當(dāng)t≥0時(shí)所有解是正數(shù).

2.1正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

引理1令P(z)=b0zm+b1zm-1+…+bmQ(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn

其中b0≠0,c0≠0,n

引理2當(dāng)τ≥ 0時(shí)如果滿足Pi>0,i=1,2,3,p1p2-p3>0, 那么方程λ3+p1λ2+p2λ+p3+(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ=0的所有根不具有正實(shí)部。

不失一般性地，令此方程的一個(gè)根是λ=iω(ω>0)當(dāng)且僅當(dāng)

-ω3i-p1ω2+p2iω+p3+(-q1ω2+q2iω+q3)(cosωτ-isinωτ)=0

分離根的實(shí)部和虛部，得到

將兩個(gè)等式平方再相加，得

(5)

令z=ω2,方程(6)變成一個(gè)關(guān)于z的三次等式

f(z)=z3+pz2+qz+r=0

(6)

根據(jù)文[5]的引理3.3.1和文[6]的引理2.2得到以下引理.

引理3如果方程(6)

i)如下條件之一成立

a)r≥0,p≥0,q>0;b)r≥0,△=p2-3q≤0;

那么方程(6)沒有正實(shí)數(shù)解.

ii)如下條件之一成立

那么方程(6)有正實(shí)數(shù)解.

引理4一個(gè)三次超越方程

λ3+p1λ2+p2λ+p3+(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ=0

(7)

滿足pi>0,i=1,2,3,p1p2-p3>0，就有以下結(jié)論：

i)如下條件之一成立

a)r≥0,p≥0,q>0;b)r≥0,△=p2-3q≤0;

那么?τ≥ 0，方程(7)的所有根都有負(fù)實(shí)部.

ii)如下條件之一成立

那么對(duì)某些可能值τ，方程(7)的所有根有負(fù)實(shí)部.

下部分將直接引用這個(gè)引理確定一個(gè)三次超越多項(xiàng)式方程的所有根都有負(fù)實(shí)部的充分條件.另外，由定義1和引理4可知，以下引理給出兩種類型的穩(wěn)定.

引理5平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

2.2正平衡點(diǎn)E2的穩(wěn)定性

在E2處的特征方程是一個(gè)三次超越多項(xiàng)式方程

λ3+p1λ2+p2λ+p3+(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ=0

(8)

q1=B-Aq2=(2μ+η)B-(d+2μ+γ+η)A

q3=μ(μ+η)B-(γη-(μ+γ)(d+μ+γ))A

當(dāng)τ=0時(shí)(8)等價(jià)于(2).因此根據(jù)定理2，當(dāng)τ=0時(shí)E2是局部漸近穩(wěn)定的.

令(8)的根是λ=iω(ω>0)當(dāng)且僅當(dāng)

-ω3i-p1ω2+p2iω+p3+(-q1ω2+q2iω+q3)(cosωτ-isinωτ)=0

分離根的實(shí)部和虛部，得到

(9)

將兩個(gè)等式平方再相加，得

(10)

令z=ω2，方程(10)變成一個(gè)關(guān)于z的三次等式

f(z)=z3+pz2+qz+r=0

(11)

+AB(2μ(d+r)+5μ(μ+η)+2η(η+r))+B2((d+μ+r)2+(μ+η)2+2γη)

下面討論兩種情況：

μ2>(η+μ)2,B>A時(shí)，p>0,q>0,r≥0則有pi>0,i=1,2,3

因此，由引理4(a)可知，對(duì) ?τ≥0，(8)的所有根都有負(fù)實(shí)部.再根據(jù)引理5(i)得到以下定理

定理4如果

那么 ,?τ≥0，時(shí)滯模型的正平衡點(diǎn)E2是絕對(duì)穩(wěn)定的.

時(shí)，r<0.由引理3(c)可知,(11)有正實(shí)根，即特征方程(8)有一對(duì)型如λ=±iω的純虛根.

把ω=ω0代入(9)解出τ，我們可以得到相應(yīng)的τk>0,k=0,1,2,…使得

其中pi,qi,i=1,2,3.根據(jù)引理4(c),當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)(8)的所有根都具有負(fù)實(shí)部.于是，由引理5(ii)可推斷出以下定理：

為了分析分支情況，時(shí)滯作為時(shí)滯參數(shù)。令

λ(τ)=α(τ)+iω(τ),ω>0

反證法，假設(shè) λ(τ0)=iω0不是(8)的一個(gè)單根，(8)關(guān)于τ 求導(dǎo)

(12)

方程(12)變成

λ(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ0=0

(13)

把 λ=iω0代入(13),得到

(14)

把ω=ω0,τ=τ0代入(9)得

(15)

由此，我們可以推出

(16)

綜上所述，當(dāng) τ從小于 τ0微小地增加到大于τ0時(shí)特征方程(11)的根從左到右橫截穿過虛軸。因此，在τ=τ0時(shí)滿足Hopf分支[12]產(chǎn)生的條件.

根據(jù)以上定理4和定理5可以獲得以下定理.

定理6如果

那么?τ≥0， 時(shí)滯模型的正平衡點(diǎn)E2是絕對(duì)穩(wěn)定的。如果

那么時(shí)滯模型(3)的正平衡點(diǎn)E2是條件穩(wěn)定的，即當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)E2是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)(3)在τ=τ0處產(chǎn)生Hopf分支。

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doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2016.01.016

中圖分類號(hào)：O193

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-2714(2016)01- 0083- 07

作者簡(jiǎn)介：石棟梁(1987—)，男，湖北陽新人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槲⒎址匠膛c控制論.

收稿日期：2015—09—02