一類具有Allee效應的食餌-捕食者微分生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)的分支分析

龔純浩, 陳伯山, 黃華英, 石棟梁

(湖北師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,，湖北 黃石　435002)

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一類具有Allee效應的食餌-捕食者微分生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)的分支分析

龔純浩, 陳伯山, 黃華英, 石棟梁

(湖北師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,，湖北 黃石435002)

摘要：主要研究了一類具有 Allee效應的食餌-捕食者微分生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)，通過微分代數(shù)系統(tǒng)理論和 Hopf分支理論,得到了系統(tǒng)正平衡點穩(wěn)定的的條件,然后以經(jīng)濟利潤為分支參數(shù)得到了系統(tǒng)產(chǎn)生 Hopf分支的條件,最后,數(shù)值模擬驗證了所得的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：Allee效應;微分生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng); Hopf分支

0引言

種群生物學是研究生物種群的結(jié)構(gòu)、種群中個體間的相互關(guān)系、種群與環(huán)境的關(guān)系等.種群生物學中生態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型可以分為以下三種:競爭系統(tǒng)、互利共生系統(tǒng)、食餌-捕食者系統(tǒng).其中食餌-捕食者系統(tǒng)的研究較為廣泛,在 Lotka-volterra模型的基礎(chǔ)上,人們考慮了密度制約, Allee效應,收獲,經(jīng)濟利潤等因素的影響,得到了一系列豐富的動力學行為,如Hopf分支,周期解等[1～3].進一步,把陳[4]關(guān)于微分代數(shù)系統(tǒng)的標準型理論應用到生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)中,張等人研究了一類帶有收獲的食餌-捕食者微分生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)[5～7].

本文研究的模型基于一類具有Allee 效應的食餌-捕食者系統(tǒng)[8]，考慮到經(jīng)濟效益，利用Gorden提出的經(jīng)濟理論[9],將食餌具有收獲努力的經(jīng)濟利潤v的代數(shù)方程聯(lián)立得到一個具有 Allee效應的食餌-捕食者微分生態(tài)經(jīng)濟模型如下

(1)

g(v,X)=E(px-c)-v,X=(x,y,E)T

1局部穩(wěn)定性分析

點X0=(x0,y0,E0)是系統(tǒng)(1)的平衡點當且僅當X0滿足下面方程：

(2)

解得

由生態(tài)學意義,我們只討論內(nèi)平衡點，即食餌，捕食者,人為收獲均存在.因此令

用D 表示導運算, DXg表示g對X的偏導數(shù)矩陣.考慮以下矩陣

(3)

由上面我們知道

通過計算得系統(tǒng)(3)的平衡點為

下面我們對系統(tǒng)(3)采用局部參數(shù)化方法

h:R2→R2是一個光滑映射,則系統(tǒng)(3)的參數(shù)化系統(tǒng)可表示為：

(4)

詳見參考文獻[9].

證參數(shù)化系統(tǒng)(4)在Y=0 處的Jacobian 矩陣 A(v)有以下形式：

所以矩陣A(v) 的特征方程為

λ2+a1(v)λ+a2(v)=0

(5)

其中，

2Hopf分支分析

(6)

其中ω0=ω(v0).可以證明參數(shù)化系統(tǒng)(4)有如下形式:

(7)

下面我們將計算系統(tǒng)(7)的各項系數(shù).通過計算我們得到:

(8)

(9)

和標準型(6)比較，利用非奇異的線性變換將參數(shù)化方程(9)標準化,令

(10)

由標準型(10)和 Hopf分支定理[12],我們得到定理2.

定理2對于系統(tǒng)(1),存在一個正常數(shù)ε和正平衡點X0(v) 的兩個足夠小的領(lǐng)域:M 和 N,0<ε?1,M?N

i)當v0

i)當0-ε

證明從(6)和(10)有

由Hopf 分支定理[12],我們需要計算出參數(shù)a:

接下來將討論a>0,a<0兩種情況，討論的過程與文獻[12]中的 Hopf分支定理的證明類似，故在此省略.

3數(shù)值模擬

這一部分,利用 Matlab進行數(shù)值仿真,令r=3,a=5,d=2,b=4,h=1,g=1,p=1,c=0.55,則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(11)

易得系統(tǒng)(11)存在一個正平衡點X0=(1,0.020,0.88) ,分支值v0=0.039375 .

因此,如圖1～3所示,我們驗證了定理1和定理2,即當v=0.0355 v0時,系統(tǒng)(11)的正平衡點是不穩(wěn)定的.

圖1　在v=0.0355

圖2　在v=0.0411

圖3　在v=0.0393 >v0,系統(tǒng)(11)的正平衡點X0是不穩(wěn)定的

參考文獻：

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[6]Zhang G, Zhu L,Chen B .Hopf bifurcation and stabilityfor a differential- algebraic biological economic system[J].Appl Math Comput,2010,217(1):330～338.

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[12]Guckenheimer J, Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields[M].

Princeton:Springer-Verlag, 1983.

Hopf bifurcation for a predator-prey biological economicsystem with Allee

GONG Chun-hao, CHEN Bo-shan, HUANG Hua-ying, SHI Dong-liang

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi435002，China)

Abstract:In this paper, we consider a predator-prey biological economic system with Allee.By using the differential-algebraic system theory and Hopf bifurcation theory, the conditions for the existence of the positive equilibrium is obtained. Then,we choose the economic profit as birfurcation parameter and analysis the stability and the Hopf bifurcation. At last, numerical simulations are performed to illustrate the analytical results.

Key words:Allee;differential-algebraic biological economic system; Hopf bifurcation

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2016.01.013

中圖分類號：O175.9

文獻標識碼：A

文章編號：1009-2714(2016)01- 0064- 07

作者簡介：龔純浩(1990—)，男，湖北黃岡人，碩士研究生，主要研究方向為微分方程與控制論.

收稿日期：2015—12—08