半?yún)?shù)二階段估計參數(shù)的漸近正態(tài)性

金麗宏

(武漢科技大學(xué)城市學(xué)院 公共課部，湖北 武漢　430083)

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半?yún)?shù)二階段估計參數(shù)的漸近正態(tài)性

金麗宏

(武漢科技大學(xué)城市學(xué)院 公共課部，湖北 武漢430083)

摘要：考慮半?yún)?shù)模型x+g(ti)+ei ，1≤i≤n ， x為未知回歸參數(shù)， g(·)為D上的未知Borel函數(shù)。利用二階段估計方法并綜合最小二乘法建立了參數(shù)的估計量，并研究了第一階段估計量α*、 g(t)*的漸近正態(tài)性。

關(guān)鍵詞：半?yún)?shù)模型;二階段估計;漸近正態(tài)性

設(shè)有如下半?yún)?shù)模型

(1)

本文基于模型(1)的可加性，采用二階段估計方法，利用最小二乘估計方法得到x的第一階段的估計x*，并且由新模型的殘差利用近鄰核權(quán)函數(shù)得到g的第一階段的估計g*，證得x*、g*有很好的小樣本及大樣本性質(zhì)，如相合性、漸近正態(tài)性等。

1估計方法

為了敘述的方便，以下始終假設(shè)c，ci(i≥1)表示絕對常數(shù)，c每次出現(xiàn)可以取不同的值。

對于模型(1)，未知參數(shù)x、g(t)和σ2的估計量可以通過如下步驟得到。

令α=E[g(ti)] ，εi=g(ti)-α+ei，則模型(1)變?yōu)椋?/p>

(2)

對(2)式利用最小二乘法，得α和x的最小二乘估計分別為：

(3)

(4)

(5)

對于任意 0≤t≤1，將|t1-t|,|t2-t|,Λ， |tn-t|按下面順序重排

|tR(1,t)-t|≤|tR(2,t)-t| ≤…≤|tR(n,t)-t|

(6)

(按小下標在前的方式消結(jié))，顯然R(1,t),R(2,t), …,R(n,t)為 {1,2,…,n}的一個排列。給定一組非負的實數(shù){cni,1≤i≤n} 和整數(shù)列 {k=kn,n≥1}滿足：

(7)

(8)

從而可得到一列非負的概率權(quán)向量 {wni(t)=wni(t,t1,t2,…,tn),1≤i≤n}滿足

wni(t)=wnR(i,t)(t)cni,i=1,2, …,n

(9)

(10)

(11)

進一步定義g(t) 的最終估計為：

(12)

(13)

(14)

本文還需要如下條件：

1)t1,t2, …,tn為i.i.d.，{ti} 與{ei} 相互獨立。

3)00，使得對任意的t1,t2∈D，有 |g(t1)-g(t2)|≤M|t1-t2|.

5)g(t)是t∈D上的連續(xù)函數(shù)。

2主要結(jié)果

引理2[4]設(shè)條件1、2)成立，且k/logn→∞，k/n→0，則

(15)

(16)

證由(2)、(3)式可得

(17)

(18)

(19)

定理2在條件1)～5)成立的條件下，則有

α*→α,a.s

(20)

證明由α*的估計量可以得到

(21)

由于Pn為對稱冪等陣,故

(22)

故

(23)

nE(α*-α)2<+ ∞

(24)

故α*→α, a.s.

定理3在條件1)～5)成立的條件下，則有

(25)

證由(10)得

I1+I2+I3

(26)

由獨立性，利用引理1、2，再利用條件3得

(27)

由條件(8)及(9)，對1≤i≤n 有

(28)

將(28)代入到(27)，并利用引理2得

(29)

故

(30)

由條件3及(6)式知，對 1≤i≤n有

(31)

利用引理2，則有

(32)

(33)

綜合(26)～(33)式即證得(25)式成立。

參考文獻：

[1]柴根象，孫平.半?yún)?shù)回歸模型的二階段估計[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，1995,18(3)：353～363.

[2]Cui H J, Li R C. On parameter estimation for semi-linear errors-in-variables models [J].J Muli Anal, 1998,64：1～24.

[3]李范良，何燦芝.半?yún)?shù)EV模型參數(shù)的二階段估計[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2002,19(1)：50～54.

[4]錢偉民，柴根象.一類半?yún)?shù)回歸模型二階段估計的漸近理論[J].同濟大學(xué)學(xué)報，1998,26(1),77～82.

[5]薛留根，韓建國.半?yún)?shù)回歸模型中二階段估計的漸近性質(zhì)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報A輯，2001,16(1)：87～94.

Asymptotic normality of two stage estimation for semiparametric models

JIN Li-hong

(Department of Basic，City College, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan430083，China)

Abstract:We deal with the two stages estimation method of semiparametric model, and define the first stage estimators of parametric and nonparametric by using least square and two-stage estimation under the additivity of the model. And then the paper proves the estimators are the consistency,and obtain the second stage estimators of parametric and nonparametric with the first stage estimators by using generated least square and nearer kernel weight function. The second stage estimators are better than the first stage ones concerning variance, and meantime the paper proves estimator is the approximate normal distribution.

Key words:semiparametric models;two stage estimation;asymptotic normality

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2016.01.002

中圖分類號：O212.7

文獻標識碼：A

文章編號：1009-2714(2016)01- 0012- 04

作者簡介：金麗宏(1977—)，女，湖北仙桃人，副教授，主要研究方向為測量數(shù)據(jù)的處理與應(yīng)用的研究.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(40974002，41374017)

收稿日期：2015—10—11