實例教學對高等數(shù)學教學質量的影響

茍敏磷

【摘 要】本文針對高等數(shù)學中的多元函數(shù)、常微分方程和彈性理論教學這三個方面的實例教學進行論述，指出實例教學對于提高教學質量的效果，希望對高等數(shù)學教育工作者有所助益。

【關鍵詞】實例教學 高等數(shù)學 教學質量 影響

高等數(shù)學是理工科專業(yè)學生的一門基礎課，且該課程具有較強的應用性，教學內容又枯燥、空洞、抽象，故而在教學中必須講究方法。實例教學可以將抽象的數(shù)學知識轉化為具體生動的形象，增強學生的感性認識，幫助學生理解數(shù)學知識，提高教學質量。

一、多元函數(shù)中的實例教學

高等數(shù)學課程講解多元函數(shù)最大值、最小值內容時，可將應用問題都轉化成數(shù)學模型，在教學中滲透數(shù)學建模思想，并運用生活中的實例讓學生認識到函數(shù)的最大值問題、最小值問題在日常生活中的應用。

例如：在講解拉格朗日乘數(shù)法求多元函數(shù)極值時可運用蜂巢結構實例。見圖1，蜂巢結構的特點是：每個巢正面都是六邊形，六面柱的底則是由3個全等的菱形組成，最后交匯于底部的中心點G。在該蜂巢結構中，蜂房底的3個菱形鈍角=109°28′，銳角則為70°32′。法國學者雷奧姆猜想蜜蜂選擇這兩個角是有一定的原因的，可能是在固定容積基礎上使表面積最小，也就是說用最少的蜂蠟做出容積最大的蜂巢。這一猜想被柯尼格進行理論證明，發(fā)現(xiàn)理論計算的結果與實測值僅相差2′。

該案例在高等數(shù)學課程中的應用可以分成如下幾個步驟：假設正六邊形的邊長為2a，G到平面B1D1F1的距離為x，GC1=2y。1.與高中數(shù)學知識聯(lián)系，在同等容積下，一個六面柱由怎樣的三個完全相同的菱形做底才能使表面積最小。2.將上一步驟的問題轉化為函數(shù)問題，當，求解的極大值，這就與高等數(shù)學的條件極值知識點聯(lián)系起來。3.綜合上述條件，運用拉格朗日乘數(shù)法，可求解出極值的銳角和鈍角分別為70°32′、109°28′。與數(shù)學中的拉格朗日乘數(shù)法知識點對應起來。簡單來說，該實例就是通過提煉模型、分析模型、求解模型來將實際問題轉化為模型并進行求解，學生對多元函數(shù)極值求解知識點的認識也更加深刻。

二、常微分方程中的實例教學

常微分方程是高等數(shù)學中的教學難點，傳統(tǒng)課堂多是直接向學生介紹各種類型的一階、二階常系數(shù)線性微分方程的求解方法，但是這種教學很容易使學生產(chǎn)生一種錯覺：該部分的教學就是計算，實用性差。實際上，我們日常生活中有很多問題需要用常微分方程來解決。

例如：設計一個我們生活中常見的實例，某產(chǎn)品在某地區(qū)進行推廣營銷中，該產(chǎn)品的銷售速率較高，若該地區(qū)的潛在消費有限，且購買人數(shù)已接近于潛在消費人數(shù)，那么銷售速率就會放緩，廠家則需要更新商品?，F(xiàn)假設消費人數(shù)總量為N，在任一時刻銷售的商品總量為x（t），那么如何建立起x（t）的常微分方程呢？并對該常微分方程性態(tài)進行分析，針對結果對該廠家的產(chǎn)品市場營銷和生產(chǎn)策略提出建議。

該實例涉及高等數(shù)學中的導數(shù)概念，教師在講授導數(shù)概念后，通過小組合作、案例教學、課下獨立思考等方式使學生深刻吸收導數(shù)的相關知識，從而在實例中在師生合作或小組合作的情況下正確建立實例中的數(shù)學模型。在實例中，涉及微分方程、微分方程的階數(shù)、微分方程的求解等，通過實例讓學生對相關概念有深入理解，認識到常微分方程在現(xiàn)實生活中的實際應用。采用小組合作教學法，將全班學生分成4-6人的小組，在教師的引導下和小組合作下，學生用微分、積分的方式進行方程的求解。最后，派代表發(fā)言，各個小組之間交流經(jīng)驗，教師做出客觀性評價，課后給學生布置類似實例，讓學生以小組方式完成。

三、彈性理論中的實例教學

彈性理論是高等數(shù)學課程的一個重要內容，其在社會生活中應用廣泛，如：利用彈性理論進行產(chǎn)品的需求、供給和效益的分析，為決策者提供相關理論依據(jù)。

現(xiàn)假設y=f（x）在x點可導，那么該函數(shù)的相對改變量、自變量的相對改變量的商的極限則為函數(shù)在x點的彈性，需求函數(shù)一般為減函數(shù)，所以邊際函數(shù)（x）<0，那么需求價格的彈性值就要取負值。但是實際上經(jīng)濟學中的需求價格彈性值一般取正值，在理解中則需要理解為：需求量的變化與價格變化是呈現(xiàn)反方向趨勢的。經(jīng)濟學中對需求價格的彈性值有如下規(guī)定，若>1，則說明該產(chǎn)品的價格富有彈性；若<1，則說明缺乏彈性；若=1，則說明該產(chǎn)品具有單位彈性。在課堂教學活動中，筆者設計如下問題讓學生進行分組討論：市場上某產(chǎn)品因市場需求的變動而降低價格，是否會降低經(jīng)濟效益呢？教師引導各個小組學生從上述三個方面對該產(chǎn)品進行研究，通過對彈性值>1、=1和<1的討論研究，指出該產(chǎn)品在這三種情況下應該做出如何的提價或降價決策方能達到最大效益，讓學生深入思考社會生產(chǎn)生活中的經(jīng)濟規(guī)律，認識到經(jīng)濟運行的不確定性和隨機性，并學會如何用定性的方法來解決一些帶有不確定性的問題。

四、結束語

綜上所述，在高等數(shù)學教學中，教師要結合學生的素質正確選用實例，不可難度過大，也不可過于簡單，以免影響學生的自主探究興趣和欲望。通過分析與學生實際生活聯(lián)系的案例、經(jīng)典案例等，促使學生跟隨教師的步伐一步步學習，營造活潑、開放的教學氛圍，提高教學質量。

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