“能量穿梭機(jī)”實驗中的類星體運動

陳耿祥，阮小爽，唐柱榮，黃致新

（華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北武漢430079）

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“能量穿梭機(jī)”實驗中的類星體運動

陳耿祥，阮小爽，唐柱榮，黃致新

（華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北武漢430079）

摘 要：通過理論分析建立動力學(xué)方程，用四階Runge－Kutta進(jìn)行求解，研究了“能量穿梭機(jī)”實驗儀中的類星體運動.不考慮阻力時，小球會進(jìn)動并且進(jìn)動角隨圓錐面傾斜角的增大而減小，當(dāng)傾斜角約為55.6°時，進(jìn)動消失，小球做類似星體的橢圓運動.考慮阻力時，由于能量損失小球的運動不再有周期性，這與小球在圓錐面上的真實運動相符.

關(guān)鍵詞：類星體運動；三維軌跡；四階Runge－Kutta法

“第12屆全國高等院校物理演示實驗教學(xué)研討會”論文

指導(dǎo)教師：黃致新（1962－），男，湖北漢川人，華中師范大學(xué)物理學(xué)院教授，博士，主要研究方向為物理課程與教學(xué)論.

物理是一門以實驗為基礎(chǔ)的科學(xué).物理實驗同時也具有重要的教學(xué)功能，它不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的實驗觀察能力、實驗操作能力、分析處理數(shù)據(jù)能力，還可以培養(yǎng)學(xué)生的實驗思維能力以及設(shè)計實驗?zāi)芰Φ?特別是物理演示實驗教學(xué)，一方面可以提供給學(xué)生感性的學(xué)習(xí)材料，加深學(xué)生對基本知識的理解認(rèn)識程度，另一方面也可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探索能力［1－2］.

“能量穿梭機(jī)”演示實驗儀不僅用于演示重力勢能、動能、電能等多種形式的能量之間的轉(zhuǎn)化，還用于演示物體的各種運動形式，如斜拋運動、平拋運動、類星體運動.本文對類星體運動進(jìn)行研究，希望對天體運動有更深的理解.

1 進(jìn)入圓錐面前的運動

y和z方向分速度大小分別為：

將小球落入圓錐面的時刻記為初始時刻t＝0，如圖2所示（設(shè)t＝0時刻小球在xoz面）.小球剛剛落入圓錐面而未與圓錐面碰撞時具有沿y和z軸的速度分量v2y和v2z.易得

圖1 “能量穿梭機(jī)”的局部結(jié)構(gòu)簡化圖

圖2 小球剛剛落入圓錐面而未與桶壁碰撞時具有沿y和z軸的速度分量v2y和v2z

當(dāng)小球落入圓錐面而與桶壁碰撞后具有沿x，y，z軸的速度分量為（0），v2y，（0），如圖3所示.其中（0）和（0）分別為：

圖3 小球剛剛落入圓錐面（t＝0）與桶壁碰撞時具有沿x和z軸的速度分量（0）和（0）

2 理想情況下小球在圓錐面中的運動

2.1 求解小球的運動方程

在理想情況下（即忽略空氣阻力和摩擦力）圓錐面上的小球運動較為復(fù)雜，存在小球繞z軸的角速度ω（t）.雖然該角速度的大小是隨時間變化的，但是由于在z軸方向沒有力矩，由角動量守恒可知：如果力矩在某一方向上分量為零，則該方向上有角動量的分量守恒［3］，所以小球?qū)軸角動量守恒，z軸的角動量大小不變，即

若在靜止的笛卡爾坐標(biāo)系分析角動量將會比較麻煩，所以，本文采用柱坐標(biāo)系（r，φ，z）并引入瞬時慣性系進(jìn)行描述（圖4）.

支持力N垂直于圓錐面，重力G方向豎直向下，由于小球存在繞z軸運動的速度，所以有慣性力F慣，方向指向r軸正方向，大小為：

x和z方向上的動力學(xué)方程為：

圖4 瞬時慣性系，小球在φ＝0平面內(nèi)時的受力情況

令k＝tanθ，由幾何關(guān)系知道：

由于z軸方向初始角速度和角動量為：

由（8）～（15）式整理可得：

令k1＝2gh1r（0）2cos2β，（17）式改寫為：

而（18）式可化為一階常微分方程組：

當(dāng)常微分方程比較復(fù)雜時，難以求其解析解，而四階Runge－Kutta法是一種精度很高的數(shù)值求解方法.如下是標(biāo)準(zhǔn)四級四階Runge－Kutta法［5］：

圖5 θ＝時r隨時間t的變化及其頻譜圖

2.2 傾斜角對小球橢圓軌跡進(jìn)動的影響

因為小球同時是繞z軸在旋轉(zhuǎn)，且

只需聯(lián)立（12），（18），（21）式，便可用Matlab畫出小球在柱坐標(biāo)系中的三維運動軌跡圖.圖6所示

圖6 θ＝時類星體三維軌跡圖

在55.6°附近存在有趣的現(xiàn)象：進(jìn)動角是趨于零，即橢圓軌道幾乎不變，不發(fā)生進(jìn)動.圖8給出了在θ＝55.6°時的類星體三維軌跡（圖上畫了3個周期的運動軌跡）.傾斜角θ從20°至55.6°對應(yīng)的ΔΨ＞0，即順z軸看“橢圓”軌跡存在逆時針進(jìn)動；而傾斜角θ從55.6°至70°對應(yīng)的ΔΨ＜0，即順z軸看“橢圓”軌跡存在順時針進(jìn)動，說明這2種情況小球所受合力的方向不在“橢圓”軌道面內(nèi)，不能形成平面運動.當(dāng)ΔΨ＝0時小球所受合力在“橢圓”軌道面內(nèi)，并且容易分析得出此時合力是有心力，故小球的運動形式是平面運動，不發(fā)生進(jìn)動.

圖7 不同傾斜角θ對應(yīng)的“進(jìn)動角”ΔΨ

圖8 θ＝55.6°時類星體三維軌跡圖

傾斜角θ離55.6°越遠(yuǎn)，｜ΔΨ｜就越大，橢圓軌跡進(jìn)動越明顯，而實際中大部分做橢圓軌道運動的星體，其運動軌跡幾乎是確定的，進(jìn)動很緩慢.所以“能量穿梭機(jī)”中圓錐面的傾斜角應(yīng)在55.6°附近.

3 考慮阻力時小球在圓錐面中的運動

現(xiàn)在考慮由空氣和摩擦引起的阻力，假設(shè)阻力大小與速度一次方成正比，即f＝－μmv，則（10）和（11）式的動力學(xué)方程應(yīng)改為：

由于受到阻力在z軸方向就會受到力矩，從而角動量的大小會發(fā)生改變.用M表示z軸方向阻力力矩的大小

由（24）式與（25）式可得：

由（12），（13），（22），（23）式可以得到與（18）式相似的動力學(xué)方程：

聯(lián)立（26）～（27）式，采用四階Runge－Kutta法進(jìn)行求解.

圖9 θ＝，β＝，μ＝1.2Ns·kg－1·m－1時r隨時間t的變化和類星體運動的三維軌跡圖

4 結(jié)束語

參考文獻(xiàn)：

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［5］ 李乃成，梅離泉.數(shù)值分析［M］.北京：科學(xué)出版社，2011：275－276.

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［7］ 祁國良，曲勝艷，譚曉春，等.物理演示實驗改進(jìn)之管見［J］.物理實驗，2015，35（7）：19－22.

Study on similar celestial movement in energy－transfer machine

CHEN Geng－xiang，RUAN Xiao－shuang，TANG Zhu－rong，HUANG Zhi－xin
（College of Physical Science and Technology，Central China Normal University，Wuhan 430079，China）

Abstract：Based on Newtonian mechanics，the dynamic equations of the ball were established and the numerical solution was got by the forth order Runge－Kutta method.To be more specific，two models were built under ideal and non－ideal conditions，respectively.In the first model，air resistance was neglected.A precession of the orbit of the ball was found.Moreover，the angle of precession would decrease with the increase of the obliquity of the cone.When the latter approaching aparticular value of approximately 55.6°，the precession vanished and the ball had an elliptic orbit.In the second model，the resistances were set to be proportional to velocity in view of the low velocity.According to the experiments，the motion of the ball was aperiodic due to the loss of energy，which was consistent with the real situation.

Key words：similar celestial movement；three－dimensional track；forth order Runge－Kutta method

作者簡介：陳耿祥（1994－），男，福建泉州人，華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2012級本科生.

收稿日期：2015－11－01；修改日期：2015－12－17

中圖分類號：O313.2

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1005－4642（2016）03－0028－05

［責(zé)任編輯：郭 偉］