用分解運動巧解帶電粒子在復(fù)合場中的運動

李魯淼

摘 要：帶電粒子在電磁場中的運動一般比較復(fù)雜，高中階段能夠定量處理的一般僅限于勻速直線運動與勻速圓周運動。其中，以與磁場垂直的速度進入勻強磁場做勻速圓周運動最為常見，圓周運動的半徑R=。而處理曲線運動，基本方法是分解運動。以下就要借此方法，合理地分解運動，巧妙處理帶電粒子在電磁場中復(fù)雜的曲線運動。

關(guān)鍵詞：分解運動；軌跡；曲率半徑

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）4-0045-4

1 帶電粒子在磁場中運動

若初速度方向與磁場方向斜交，如圖1所示，可以把v分解為與B垂直分量v⊥及與B平行分量v//。

v⊥=vsinθ，v//=vcosθ。

v⊥使帶電粒子受洛倫茲力的作用，在垂直于B的平面上做勻速圓周運動，半徑R和周期T分別為R=，T=。

v//使粒子平行于B的方向上做勻速直線運動，兩個運動合成為等距螺旋線，螺距h= v//T。若以出發(fā)點為坐標(biāo)原點O，B方向為z軸，圓周運動平面為xOy平面，圓周運動的角速度ω=Bq/m，其軌跡方程為：

應(yīng)用此結(jié)論可以求解一般等距螺旋運動的曲率半徑。設(shè)軌道圓周運動半徑為R，圓周運動周期為T，螺距為h，如圖2所示。

如圖3所示，若磁場方向沿y軸正方向，速度方向與xOz平面夾角為θ，仍可將速度分解，仍然以v//沿y軸勻速運動，以v⊥做勻速圓周運動，軌跡仍為等距螺旋線。

2 帶電粒子在復(fù)合場中的運動

關(guān)于帶電粒子在速度選擇器中的運動規(guī)律，可總結(jié)為：

如圖4，若電場強度為E，磁場強度為B，帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，進入磁場時的速度為v，方向水平向右。

當(dāng)速度v=時，向上的洛倫茲力與向下的電場力平衡，帶電粒子做勻速直線運動，軌跡為Ⅰ。

當(dāng)速度v<時，向上的洛倫茲力小于向下的電場力，帶電粒子向下偏轉(zhuǎn)，軌跡為Ⅱ。

當(dāng)速度v>時，向上的洛倫茲力大于向下的電場力，帶電粒子向上偏轉(zhuǎn)，軌跡為Ⅲ。

下面來討論軌跡Ⅱ、Ⅲ。借助軌跡Ⅰ的特點，可以把初速度v分解為v1與v2，其中，v1=，v2=v-v1，v1方向與v方向相同，其產(chǎn)生的洛倫茲力與電場力平衡，粒子以v1做勻速直線運動。同時，以v2為線速度在同一平面內(nèi)做勻速圓周運動，粒子實際運動是由兩個分運動合成，其軌跡是一個旋輪線。粒子運動具有周期性，豎直方向一個周期后回到原來的位置，粒子離開初速度方向垂直距離最大值d=2R=2。

①若初速度v<，則速度可以分解如圖5所示， v1=方向水平向右；v2=v1-v，方向水平向左。粒子的軌跡為圖5中的實曲線部分，最低點的速度方向水平向右，大小v1+v2。

當(dāng)v1

2008年江蘇卷第14題。在場強為B的水平勻強磁場中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O點靜止釋放，小球的運動曲線如圖9所示。已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍，重力加速度為g。求：（1）小球運動到任意位置P（x，y）處的速率v；（2）小球在運動過程中第一次下降的最大距離ym。（3）當(dāng)在上述磁場中加一豎直向上場強為E（E>）的勻強電場時，小球從O靜止釋放后獲得的最大速率 vm。

其中，小球受到的重力充當(dāng)原來的電場力，小球的出發(fā)點即為上述v1=v2情況的最高點。所以，可以假設(shè)小球出發(fā)時，存在兩個大小相等、方向相反的速度，速度大小均為。其中，曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍，即為此種情況的結(jié)論，其運動規(guī)律就與v1=v2情況相同了。

若初速度的方向與水平方向成θ，如圖10所示。可以將速度v分解為v1與v2，其中由v1產(chǎn)生的安培力仍與電場力平衡，以v2為線速度做勻速圓周運動。若初速度的方向與紙面不共面，同樣可以將速度分解為v1與v2，其中v1產(chǎn)生的洛倫茲力仍與電場力平衡，在此方向做勻速直線運動，而v2使粒子做等距的螺旋運動，粒子同時參與了這兩個運動。

通過上述問題的探討，告訴我們應(yīng)該要善于利用已有知識來處理新的問題，既鞏固和強化已有知識的體系，又加深對新知識的理解與應(yīng)用，真正做到學(xué)以致用。

（欄目編輯 陳 潔）