高中物理課程中“物理—數(shù)學(xué)”模型的構(gòu)建

李晶 付琨 胡萬(wàn)彪

摘 要：數(shù)學(xué)在物理中的運(yùn)用是整個(gè)高中物理學(xué)科體系和教學(xué)體系最為明顯的特征，也是學(xué)生最難理解和掌握的地方，更是我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該特別關(guān)注的點(diǎn)。本文在David Hestene和Ibrahim Halloun建模教學(xué)理論的基礎(chǔ)上提出從物理情境出發(fā)構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型，并論述了在高中物理課程中開(kāi)展“物理-數(shù)學(xué)”建模教育的詳細(xì)策略。

關(guān)鍵詞：建模；“物理-數(shù)學(xué)”模型；物理情境

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2016）4-0019-5

受當(dāng)前課程體系中物理和數(shù)學(xué)相互獨(dú)立的影響，學(xué)生往往缺乏用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)學(xué)習(xí)和解決物理問(wèn)題的意識(shí)，這給高中物理教學(xué)帶來(lái)了一定的困擾。

本文結(jié)合亞利桑那州立大學(xué)理論物理學(xué)家David Hestene及其研究生Ibrahim Halloun關(guān)于建模教學(xué)（Modeling Instruction）的研究，論述如何在高中物理課程中建立“物理-數(shù)學(xué)”模型，并提出了構(gòu)建 “物理-數(shù)學(xué)”模型的詳細(xì)策略，旨在通過(guò)建?；顒?dòng)引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立“物理-數(shù)學(xué)”模型意識(shí)，學(xué)會(huì)在高中物理中合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。

1 David Hestene、Ibrahim Halloun建模教學(xué)理論簡(jiǎn)介

David Hestene是建模教學(xué)的創(chuàng)立者，他于上世紀(jì)80年代初期開(kāi)始研究模型在物理教學(xué)中的發(fā)展和應(yīng)用，并一直得到“美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)”的資助[1]。

David Hestene認(rèn)為，物理建模就是“在具體物理情景中，根據(jù)實(shí)踐需要建立物理模型，進(jìn)而對(duì)物理模型進(jìn)行分析討論，驗(yàn)證其是否正確，最后將其應(yīng)用于解決問(wèn)題”[2]。1995年David Hestene在他的論文《Modeling software for learning and doing physics： Thinking Physics for Teaching》中論述了建模的3個(gè)步驟：模型建立、模型分析、模型驗(yàn)證，初步建立了物理建模教學(xué)的過(guò)程（如圖1所示）。

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圖1 David Hestene的建模過(guò)程[3]

Ibrahim Halloun在David Hestene的研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將模型分為范圍、成分、結(jié)構(gòu)、組織等4個(gè)維度，同時(shí)將建模過(guò)程細(xì)化為模型選擇、模型建立、模型驗(yàn)證、模型分析、模型拓展等5個(gè)階段，強(qiáng)調(diào)根據(jù)個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)選擇合適的模型，并將已建立的模型進(jìn)行遷移運(yùn)用。

2 David Hestene、Ibrahim Halloun建模教學(xué)理論的啟示

David Hestene和Ibrahim Halloun建模教學(xué)的具體價(jià)值在于引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題、構(gòu)建知識(shí)，這給筆者帶來(lái)如下啟示：

（1）在高中物理課程中運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的關(guān)鍵在于對(duì)相關(guān)物理問(wèn)題進(jìn)行“物理-數(shù)學(xué)”分析，并構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”知識(shí)體系；

（2）“物理-數(shù)學(xué)”知識(shí)體系的構(gòu)建即“物理-數(shù)學(xué)”建模；

（3）“物理-數(shù)學(xué)”模型指的是物理課程中體現(xiàn)物理現(xiàn)象、物理情境、物理概念和規(guī)律的數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)圖表、數(shù)學(xué)過(guò)程和數(shù)學(xué)關(guān)系，它具有明確的范圍、成分、結(jié)構(gòu)和組織；

（4）“物理-數(shù)學(xué)”建模指的是從物理現(xiàn)象、物理情境中挖掘出物理元素（即物理量）或參數(shù)，通過(guò)分析物理元素或參數(shù)的特征找出它們之間的數(shù)理關(guān)系，并通過(guò)數(shù)學(xué)方法建立和呈現(xiàn)出來(lái)；

（5）“物理-數(shù)學(xué)”分析一方面指的是分析物理元素或參數(shù)之間的數(shù)理關(guān)系，另一方面指的是運(yùn)用“物理-數(shù)學(xué)”模型分析具體的物理問(wèn)題，也就是Ibrahim Halloun在David Hestene的基礎(chǔ)上提出的模型驗(yàn)證、模型分析和模型拓展；

（6）構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型是學(xué)生對(duì)相關(guān)物理問(wèn)題進(jìn)行“物理-數(shù)學(xué)”分析的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度分析物理問(wèn)題、解決物理問(wèn)題的能力的具體方案。

3 構(gòu)建 “物理-數(shù)學(xué)”模型的策略

3.1 構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型的策略結(jié)構(gòu)

結(jié)合高中物理課程特點(diǎn)以及David Hestene、 Ibrahim Halloun的建模教學(xué)所帶來(lái)的啟示，筆者認(rèn)為在高中物理課程中構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型需要把握住以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

（1）“物理-數(shù)學(xué)”模型源自于具體的物理情境；

（2）“物理-數(shù)學(xué)”模型需要建立在實(shí)踐的基礎(chǔ)上；

（3）淺顯易懂是高中物理課程中“物理-數(shù)學(xué)”模型的最基本要求；

（4）學(xué)生感知到物理現(xiàn)象、物理情境中的數(shù)學(xué)知識(shí)是成功構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型的關(guān)鍵。

結(jié)合上述關(guān)鍵點(diǎn)，本文提出了在高中物理課程中構(gòu)建 “物理-數(shù)學(xué)”模型的策略結(jié)構(gòu)（如圖2）。

上圖中的策略結(jié)構(gòu)在David Hestene、 Ibrahim Halloun建模理論的基礎(chǔ)上著重強(qiáng)調(diào)物理情境的分析，并強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)物理情境分析過(guò)程中情境元素、元素特征背后的數(shù)學(xué)過(guò)程、數(shù)學(xué)關(guān)系的感知。

3.2 構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型的詳細(xì)論述

構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型離不開(kāi)物理情境、實(shí)例和新物理情境中的實(shí)踐，下文將從“基于問(wèn)題情境的‘物理-數(shù)學(xué)模型的選擇和建立”“基于實(shí)例的‘物理-數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證與分析”幾個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)論述。

3.2.1 基于物理情境的“物理-數(shù)學(xué)”模型的選擇和建立

一個(gè)有效的“物理-數(shù)學(xué)”模型的構(gòu)建依賴于具體的物理情境，學(xué)生需要借助物理情境來(lái)感知物理中的數(shù)學(xué)知識(shí)與運(yùn)用，其處理過(guò)程如表1所示。

針對(duì)上表，在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)把握住以下幾個(gè)問(wèn)題：

（1）對(duì)問(wèn)題情境的分析是“物理-數(shù)學(xué)”分析法的一部分，在實(shí)際課堂中要注重呈現(xiàn)和強(qiáng)調(diào)問(wèn)題情境的分析過(guò)程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)這一過(guò)程的感知程度；

（2）在實(shí)際教學(xué)中盡量用圖形、圖表來(lái)呈現(xiàn)“物理-數(shù)學(xué)”模型，避免復(fù)雜的文字描述；

（3）經(jīng)驗(yàn)在“物理-數(shù)學(xué)”模型的建立中有著重要的作用，所以在實(shí)際教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生去積累分析問(wèn)題情境的方法以及常用的、重要的數(shù)學(xué)知識(shí)。

3.2.2 基于實(shí)例的“物理-數(shù)學(xué)”模型的驗(yàn)證與分析

通過(guò)情境分析后建立的“物理-數(shù)學(xué)”模型的有效性和使用范圍需要進(jìn)一步的檢驗(yàn)、分析和調(diào)整。

檢驗(yàn)可以依托實(shí)例進(jìn)行，這些實(shí)例包括相關(guān)的物理實(shí)驗(yàn)、物理現(xiàn)象和物理習(xí)題。在檢驗(yàn)中可以引導(dǎo)學(xué)生從批判的角度對(duì)模型在實(shí)例中的運(yùn)用進(jìn)行分析，分析模型的范圍、成分、結(jié)構(gòu)和組織是否合理，并進(jìn)行適度的調(diào)整。

3.2.3 基于新物理情境的“物理-數(shù)學(xué)”模型的拓展與運(yùn)用

構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型的目的在于學(xué)生會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)解決相關(guān)物理問(wèn)題，克服數(shù)學(xué)在物理中的運(yùn)用困境。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)“物理-數(shù)學(xué)”模型的運(yùn)用包括了直接運(yùn)用、遷移運(yùn)用和綜合運(yùn)用，其中遷移運(yùn)用和綜合運(yùn)用是模型的拓展運(yùn)用，在解決問(wèn)題時(shí)至關(guān)重要。

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，一個(gè)成熟的“物理-數(shù)學(xué)”模型需要反復(fù)的運(yùn)用和拓展。首先，可以將已建立的模型再次放回原有的物理情境中從數(shù)學(xué)的角度上解決問(wèn)題；其次，可以選取相關(guān)或相似的新物理情境與原來(lái)的物理情境進(jìn)行類比遷移，遷移運(yùn)用“物理-數(shù)學(xué)”模型；最后，在高中物理的學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立“數(shù)理不分家”的意識(shí)，學(xué)會(huì)用已經(jīng)積累的“物理-數(shù)學(xué)”模型去分析和解決部分復(fù)雜的物理問(wèn)題。

當(dāng)然，討論和交流在“物理-數(shù)學(xué)”模型的拓展運(yùn)用中也是幫助學(xué)生理解和遷移運(yùn)用的重要手段。所以，在教學(xué)中要避免“一言堂”，鼓勵(lì)學(xué)生有新方法、新思維，創(chuàng)造積極的課堂氣氛與討論氣氛。

4 構(gòu)建 “物理-數(shù)學(xué)”模型的案例分析

本文選取人教版必修1 第三章第四節(jié)——《力的合成》為例，展示物理課程中構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型的教學(xué)過(guò)程，即“力的合成-向量運(yùn)算”模型的構(gòu)建過(guò)程。

4.1 模型的選擇和建立

【物理情境】：一個(gè)成年人或兩個(gè)小孩都可以提起相同質(zhì)量的一桶水。

【情境分析】：

（1）情境元素：

①物理過(guò)程：提→力的作用。

②物 理 量：力（大人提水施加一個(gè)力F，小孩提水施加兩個(gè)力F1、F2。其中，F(xiàn)為合力，F(xiàn)1和F2為分力）。

③數(shù)學(xué)概念：若F1=1 N，F(xiàn)2=1 N，則F=2 N嗎？

（2）元素特征：

①力的數(shù)學(xué)特征：

力→既有大小又有方向（物理上定義為矢量）→即數(shù)學(xué)上的向量

②力F1、F2與F（即合力與分力）的數(shù)學(xué)關(guān)系：

合力與分力→分力的方向在同一直線上或不在同一直線上→向量運(yùn)算法則。

模型一：若F1、F2同向，則F1+F2=F，方向沿F1和F2的方向；

模型二：若F1、F2反向，則F1-F2=F，方向沿較大的力的方向；

模型三：若F1、F2的方向不在一條直線上，則F1+F2≠F。

通過(guò)上述分析，我們初步建立了“力的合成-向量運(yùn)算”的模型，范圍是力的合成，其成分、結(jié)構(gòu)和組織如上。

4.2 模型的驗(yàn)證和分析

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)上述模型是初步的，并未解決F1、F2的方向不在一條直線上時(shí)他們與F的關(guān)系如何具體表示，需要進(jìn)一步分析和改進(jìn)該模型。

在模型驗(yàn)證階段我們可以選用砝碼、橡皮筋、白紙等器材，通過(guò)實(shí)驗(yàn)定量的驗(yàn)證并改進(jìn)上述模型。模型一、模型二的驗(yàn)證如圖3所示。

同樣，模型三的分析和改進(jìn)也可以借助上述實(shí)驗(yàn)，如圖4所示。

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證和分析后，合力F與分力F1、F2的關(guān)系可以建立如下“力的合成-向量運(yùn)算”的“物理-數(shù)學(xué)”模型（如圖5）。

上述模型利用圖形和適量文字突出了力的矢量性及其數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程，淺顯易懂，利于學(xué)生的理解和記憶。

4.3 模型的拓展與運(yùn)用

在構(gòu)建上述模型后可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：速度和位移也是矢量，是否滿足上述模型？學(xué)生自然可以從力、速度、位移的本質(zhì)是矢量這一角度遷移開(kāi)來(lái)，從而將該模型拓展到所有矢量的運(yùn)算上。

4.4 構(gòu)建“力的合成-向量運(yùn)算”模型與傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程的比較

《力的合成》這一節(jié)的傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程是：小孩提水引出合力與分力概念—提出兩個(gè)分力F1、F2相加是否等于F的問(wèn)題—實(shí)驗(yàn)探究得出兩個(gè)力合成時(shí)用平行四邊形。

但在實(shí)際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)：（下轉(zhuǎn)第25頁(yè)）（上接第22頁(yè)）“向量運(yùn)算”需要在高二上學(xué)期才會(huì)在數(shù)學(xué)中講解，突然在物理中出現(xiàn)“平行四邊形法則”顯得比較突兀，學(xué)生也很難理解，在運(yùn)用上也存在諸多困難。

而筆者所列舉的構(gòu)建“力的合成-向量運(yùn)算”模型是通過(guò)物理情境分析找到力這一物理量與數(shù)學(xué)中向量的關(guān)系，并建立物理運(yùn)算與數(shù)學(xué)運(yùn)算的橋梁，并進(jìn)行了有效拓展。這個(gè)過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生參與物理情境的分析，并感知分析過(guò)程，解決了上述問(wèn)題。

5 總結(jié)與展望

在高中物理課程中開(kāi)展“物理-數(shù)學(xué)”建模教育是David Hestene、 Ibrahim Halloun建模理論的實(shí)際運(yùn)用和延伸。它能夠培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題的能力，能夠訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)造性思維，能夠從一定程度上解決當(dāng)前課程體系中數(shù)學(xué)進(jìn)度普遍滯后于物理進(jìn)度的困境。

當(dāng)然，在高中物理課程中開(kāi)展“物理-數(shù)學(xué)”建模教育、構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型在實(shí)際教學(xué)中仍需要開(kāi)發(fā)更多的教學(xué)素材，開(kāi)展更多的實(shí)際教學(xué)，形成更為完備的體系。

參考文獻(xiàn)：

[1]張靜，郭玉英.物理建模教學(xué)的理論與實(shí)踐簡(jiǎn)介[J].大學(xué)物理，2013，32（2）：25—30.

[2]房金萍. 建構(gòu)物理模型在高中物理教學(xué)中的實(shí)踐研究[D].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2011.

[3]David Hestenes.Modeling games in the Newtonian World[J].American Journal of Physics1992，60（ 8 ）：732—748.

（欄目編輯 劉 榮）