帶變量核奇異積分算子與分?jǐn)?shù)次微分算子在Morrey空間的加權(quán)有界性

薛 超（北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京 100086）

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帶變量核奇異積分算子與分?jǐn)?shù)次微分算子在Morrey空間的加權(quán)有界性

薛 超
（北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京 100086）

摘要：研究了帶變量核奇異積分算子T和分?jǐn)?shù)次微分算子D(γ)在Morrey空間上的加權(quán)有界性．

關(guān) 鍵 詞：加權(quán)的Morrey空間；帶變量核奇異積分算子；分?jǐn)?shù)次微分算子

1 主要結(jié)果

記Sn－1為瓗n（n≥2）上的單位球，dσ表示Sn－1上的Lebesgue測(cè)度，變量核奇異積分算子定義如下

其中，Ω（x，z）滿足如下條件：

令m∈N，定義Hm為在Sn－1上的m階球面調(diào)和函數(shù)空間，并記為Hm中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，我們有

分別記T＊和T＃為T(mén)的伴隨和T的擬伴值，我們定義為

再設(shè)T1T2為T(mén)1和T2的乘積，為T(mén)1和T2擬乘積［1］，其中

Iγ為γ階Riesz位勢(shì)算子空間Iγ（BMO）是空間在Iγ下的像，等價(jià)的說(shuō)，一個(gè)局部可積函數(shù)b屬于Iγ（BMO）當(dāng)且僅當(dāng)文獻(xiàn)［3］證明了帶變量核奇異積分算子與分?jǐn)?shù)次微分算子Dγ在Lp（ω）的有界性．

對(duì)1＜p＜∞，稱ω為Ap權(quán)（或者記為，如果有

其中，Q為邊平行于坐標(biāo)軸的方體．

經(jīng)典的Morrey空間Lp，λ由Morrey于1938年提出［4］，Komori和Shirai［5］定義了加權(quán)Morrey空間Lp，κ（ω），并且研究了一些經(jīng)典算子在其上的有界性問(wèn)題．對(duì)于任意一個(gè)權(quán)函數(shù)ω，我們定義為Q的 Lebesgue測(cè)度，定義的權(quán)測(cè)度．

定義1［5］設(shè)1≤p＜∞，0＜κ＜1和ω為一個(gè)權(quán)函數(shù)，則加權(quán)Morrey空間定義為

則存在一個(gè)常數(shù)C＞0，使得

則存在一個(gè)常數(shù)C＞0，使得

2 一些引理

引理1［5］設(shè)1＜p＜∞，0＜κ＜1和ω∈Ap，如果T是一個(gè)Calderón－Zygmund奇異積分算子，則T在Lp，κ（ω）中有界．

給出一個(gè)權(quán)ω，對(duì)任意的方體Q，存在一個(gè)常數(shù)C，使得ω（2Q）≤Dω（Q），則ω滿足倍增條件．當(dāng)ω滿足如上條件，我們定義ω∈Δ2．因此，當(dāng)ω∈Ap，則有ω∈Δ2．由此引出引理2．

引理2［5］當(dāng)ω∈Δ2，則存在一個(gè)常數(shù)D1＞1使得ω（2Q）≤D1ω（Q）．

引理4 設(shè)h（x）是－n－1階齊次函數(shù)，且當(dāng)｜x｜＞0時(shí)局部可積．當(dāng)時(shí)有

設(shè)k（x，y）＝h（x－y）（b（x）－b（y）），根據(jù)文獻(xiàn)［3］我們有

證明過(guò)程與文獻(xiàn)［5］定理3．3與3．4證明類(lèi)似．

應(yīng)用引理4，證明過(guò)程與文獻(xiàn)［3］類(lèi)似．

引理6 令1＜p＜∞，0＜κ＜1和ω∈Ap．設(shè)Rk為Rizse變換，且

3 定理的證明

定理1的證明．

對(duì)于任意x，有

再根據(jù)式（3），對(duì)于k＝1，…，n，

再來(lái)看I2，根據(jù)引理5以及式（6），則

結(jié)合I1I2最終得到

根據(jù)引理5，式（6）和式（7），有

結(jié)合兩式，則

定理2的證明，記

如果Ω1（x，y）滿足式（4）則，

如果Ω2（x，y′）滿足式（3）則，

再根據(jù)引理5，則

則根據(jù)式（7）、式（8）及式（9）以及引理3，則

則

定理3的證明，不失一般性，只需證明（ⅱ）和（ⅲ）．由于Ω1（x，y）和Ω2（x，y′）滿足式（4），可得

對(duì)于（ⅱ），如定理1的證明，可得

根據(jù)式（10），則

對(duì)于（ⅲ），記

參考文獻(xiàn)：

［1］ A Calderón，A Zygmund．Singular integral operators and differential equations［J］．Amer．J．Math，1957（79）：901－921．

［2］ A Calderón，A Zygmund．On aproblem of Mihlin［J］．Trans．Amer．Math．Soc．，1995（78）：209－224．

［3］ Y Chen，K Zhu．Weighted norm inequality for the singular integral with variable kernel and fractional differentiation［J］．J．Math．Anal．Appl．，2015（423）：1 610－1 629．

［4］ C B Morrey．On the solution of quasi－linear elliptic partial differential equations［J］．Trans．Amer．Math．Soc．，1938（43）：126－166．

［5］ Y Komori，S Shirai．Weighted Morrey spaces and asingular integral operator［J］．Math．Nachr．，2009（282）：219－231．

［6］ G Di Fazio，M Ragusa．Interior estimates in Morrey spaces for strong solutions to nondivergence form equations with discontinuous coefficients［J］．J．Funct．Anal．，1993（112）：241－256．

Boundedness for the singular integral with variable kernel and fractional differentiation operator on weighted Morrey space

XUE Chao
（School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100086，China）

Abstract：This paper established the boundedness for the singular integral with variable kernel Tand the fractional differentiation operator D(γ)on the weighted Morrey space

Key words：weighted morrey spaces；singular integral operators；fractional differentiation operator

作者簡(jiǎn)介：薛 超（1991－），男，山西大同人，碩士研究生．

收稿日期：2015－08－10

文章編號(hào)：1672－2477（2016）01－0071－05

中圖分類(lèi)號(hào)：O174．2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A