基于通脹和勞動收入的最優(yōu)消費投資問題研究

姜 奎，費為銀，杜宏俊（安徽工程大學數(shù)理學院，安徽蕪湖 241000）

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基于通脹和勞動收入的最優(yōu)消費投資問題研究

姜 奎，費為銀＊，杜宏俊
（安徽工程大學數(shù)理學院，安徽蕪湖 241000）

摘要：在消費籃子價格完全可觀察下，考慮通脹與勞動收入對投資者最優(yōu)消費投資的影響．首先，將投資者的生命周期分為就業(yè)階段和退休階段，分別建立兩個階段對應的隨機控制數(shù)學模型；其次，利用隨機控制方法推導出相應的HJB方程，并在CRRA（常相對風險厭惡）效用的情形下，獲得最優(yōu)化問題值函數(shù)顯式解；最后，在給定參數(shù)的條件下進行數(shù)值模擬，分析了通脹因素對投資者的消費投資策略的影響．

關(guān) 鍵 詞：通脹；勞動收入；最優(yōu)消費投資；CRRA效用；HJB方程

最優(yōu)消費投資問題一直以來都是金融研究領(lǐng)域中一個最基本的問題．Merton［1］利用動態(tài)規(guī)劃方法研究了在連續(xù)時間里一個多期框架下的最優(yōu)消費和投資決策問題．Wachter［2］給出了完備市場下帶有均值回復收益的消費和投資組合決策的一個精確解．李仲飛［3］等研究了參數(shù)不確定時的最優(yōu)投資選擇問題．

隨著消費投資理論的不斷發(fā)展，國內(nèi)外學者的研究越來越注重結(jié)合實際問題，例如考慮勞動收入對投資者消費投資決策的影響．Dybvig［4］等考慮了退休彈性以及能否對未來勞動收入進行借貸下的最優(yōu)消費和投資策略問題．Moos［5］在完備的金融市場中研究了在時變的投資機會和動態(tài)的非金融（勞動）收入下的最優(yōu)消費和投資問題，其中，勞動收入增長和預期收益服從一個均值回復過程．費為銀［6］等探討了在股票支付紅利的情況下，考慮投資者遺產(chǎn)并結(jié)合保險，研究了3種不同借貸約束下的消費投資問題，其中，借貸約束條件與勞動收入有關(guān)．劉宏建［7］等研究了在Knight不確定環(huán)境下，考慮投資者遺產(chǎn)和保險，在3種與未來勞動收入有關(guān)的借貸約束下的最優(yōu)消費與投資問題．

通過對已有的經(jīng)濟數(shù)據(jù)分析，得出在現(xiàn)實經(jīng)濟環(huán)境中通貨膨脹對消費投資決策存在一定程度的影響．Bensoussan［8］等在消費籃子價格完全可觀察和部分可觀察的情況下，分別給出了帶通脹的最優(yōu)消費和投資策略．Fei［9］等研究了在帶有馬爾科夫轉(zhuǎn)換和通脹的金融市場中的最優(yōu)消費和投資組合問題．姚海祥［10］等在所考慮的金融市場中僅存風險資產(chǎn)的情況下，基于連續(xù)時間均值－方差框架，研究了通貨膨脹影響下投資終止時間不確定的最優(yōu)投資組合選擇問題．費為銀［11］等研究了跳擴散環(huán)境下帶通脹的最優(yōu)動態(tài)資產(chǎn)配置問題．在Moos［5］研究的基礎(chǔ)上考慮通脹因素，在一定程度上使得原有模型更接近現(xiàn)實．

1 模型框架

假設在金融市場中，投資者可以財富投資到無風險資產(chǎn)（銀行存款）和風險資產(chǎn)（股票），則在t時刻無風險資產(chǎn)價格滿足

式中，r0表示確定性的名義無風險利率．

t時刻風險資產(chǎn)價格過程滿足

式中，λ1是風險資產(chǎn)的預期收益率且λ1＞0；σs是風險資產(chǎn)的波動率且σs＞0．在這個框架下，風險的市場價格為

狀態(tài)變量X（t）的動力學方程由式（3）給定

式中，κx是狀態(tài)變量的均值回復系數(shù)且κx≥0；X是狀態(tài)變量的長期均值且X≥0；σx是狀態(tài)變量的波動率且σx＞0．

消費籃子價格B（t）的動力學可表示為

式中，B0表示初始條件；實數(shù)I表示預期即期通脹率；ζ是通脹波動率且ζ＞0；I與ζ是常數(shù)．因為消費籃子價格通常是上升的，所以I＞0；并且當消費籃子完全可觀察時，B0是已知的．令L（t）＝lnB（t）表示對數(shù)籃子價格，利用公式可得

假設投資者的生命周期分為就業(yè)階段和退休階段，式中，Tr表示投資者的退休時刻；T表示投資者壽命終止時刻．在0≤t≤Tr這段時間內(nèi)，投資者在勞動市場比較活躍，擁有一份有風險的勞動收入，并進行消費和投資．在退休階段，即在Tr＜t≤T這段時間內(nèi)投資者沒有勞動收入，并且其累積的金融財富必須能保證基本消費．在［0，Tr］這段時間里投資者在勞動市場上獲得一份有風險的勞動收入Y（t），其在t時刻勞動收入過程滿足

式中，y0是勞動收入增長的常數(shù)部分；y1是勞動收入增長在狀態(tài)變量上的敏感度且是勞動收入的長期增長均值；σy是風險勞動收入的波動率且σy≥0．

2 CRRA（常相對風險厭惡）效用情形下的顯式解

在消費籃子價格完全可觀察的情形下，投資者觀察過程L（t）以及信息集Ft．消費籃子是用來折現(xiàn)消費和財富的．因此，以e－LC表示實際消費，e－LW表示實際財富．這里我們考慮消費效用

假設投資者在t時刻剩余壽命的預期消費效用期望為

式中，e－L（t）C（t）表示投資者在t時刻的真實消費；δ≥0是主觀折現(xiàn)率；γ是風險厭惡系數(shù)．

在第一節(jié)的模型框架下，將投資者的生命周期分為退休階段和就業(yè)階段，由于投資者在就業(yè)階段僅僅是比退休階段多擁有一份勞動收入，因此，分析的重點放在就業(yè)階段．

2．1 就業(yè)階段

在就業(yè)階段，即在時間段0≤t≤Tr里，投資者擁有隨機的勞動收入，此時由式（1）、式（2）和式（6）得到投資者在就業(yè)階段的財富動力學

式中，C（t）表示投資者t時刻的名義消費；π（t）表示投資者投資到風險資產(chǎn)的財富比例．

此時的目標是解如下的最大化問題

在消費籃子價格可完全觀察情形下，根據(jù)動態(tài)規(guī)劃原理有值函數(shù)J的HJB方程

根據(jù)一階條件可得

把式（9）和式（10）代入到式（8）并化簡可得

為了獲得封閉解，我們需要作一些假設條件：

（c．1）假設風險資產(chǎn)和狀態(tài)變量是完全相關(guān)的，即ρsx∈｛－1，1｝．

（c．2）假設風險資產(chǎn)和風險勞動收入之間是完全相關(guān)的或勞動收入是局部無風險的，即ρsx∈｛－1，1｝?ρsy＝ρsxρsy∈｛－1，1｝或σy＝0．

（c．3）假設通脹分別和風險資產(chǎn)與風險勞動收入是完全相關(guān)的，即ρsI∈｛－1，1｝?ρsI＝ρsxρsI∈｛－1，1｝，ρyI＝ρsyρsI∈｛－1，1｝．

在上面的假設下，當初值條件為a0（0）＝0，a1（0）＝0及a2（0）＝0時，a0（s），a1（s），a2（s）可以通過下列3個非線性常微分方程求解

式中

其中，

式（13）～式（15）的解為

其中，

則式（20）～式（21）的解為

以上我們分析了投資者在就業(yè)階段的最優(yōu)消費和投資問題，根據(jù)上述模型和推導過程，得到下面的命題．

命題1 給定初始總財富＾W（0）≥0，在假設（c．1）～（c．3）下，則帶有隨機勞動收入投資者的最優(yōu)消

費和投資分別為

2．2 退休階段

在退休階段，即在時間段Tr≤t≤T內(nèi)，投資者沒有勞動收入，此時由式（1）和式（2）可得投資者的財富動力學

此時的值函數(shù)形式為

命題2 對于Tr≤t≤T，在假設（c．1）和ρsI∈｛－1，1｝?ρxI＝ρsxρsI∈｛－1，1｝下，沒有勞動收入的投資者在退休階段的最優(yōu)消費和投資分別為分別滿足式（17）、式（18）和式（19），k0，k1，k2，k3，k4，k5，k6由式（16）給出，而且

這里

3 數(shù)值分析

為了說明通脹因素對投資者的最優(yōu)投資組合選擇和消費的影響，分析的重點是投資者就業(yè)階段．此時考慮局部無風險勞動收入情形，即σy＝0．現(xiàn)給定如下相關(guān)參數(shù)值

利用Matlab軟件模擬可以得到下面結(jié)論．最優(yōu)投資π*（t）隨通脹波動率ζ的變化如圖1所示，由圖1可知，假設投資者年齡為25歲（τr＝20），此時的金融財富為180（千），勞動收入為40（千）．投資到風險資產(chǎn)的最優(yōu)比例隨著通脹波動率的增大而逐漸增大，因為對于較低風險厭惡的投資者來說，通脹波動率增大時，他會認為市場的預期走勢較好，會把自己的財富（包含勞動收入）更多地投資到風險資產(chǎn)上以獲得更多的收益．由圖1同時可知，當勞動收入增長分別為y1＝0．4，y1＝0，y1＝－0．4時，投資比例不同，勞動收入越多投資到風險資產(chǎn)的比例越大．

最優(yōu)消費c＊（t）隨通脹波動率ζ的變化如圖2所示．由圖2可知，描述了通脹波動率對投資者的最優(yōu)消費的影響，其中，也假設投資者年齡為25歲（τr＝20），此時的金融財富為180（千），勞動收入為40（千）．在通脹波動率剛開始增大時，消費呈現(xiàn)增長趨勢，因為此時投資者可能通過無風險借貸進行投資使得手中持有貨幣增多，刺激了消費增長，由此可見，適度的通脹會刺激消費．此后，隨著通脹波動率的不斷增大，較低風險厭惡的投資者把更多的財富（包含勞動收入）投資到風險資產(chǎn)，從而使得消費水平降低．圖2同時也體現(xiàn)出，當勞動收入增長分別為y1＝0．4，y1＝0，y1＝－0．4時，投資者的消費水平不同，勞動收入越多消費水平相對越高．

圖1　最優(yōu)投資π*（t）隨通脹波動率ζ的變化　

圖2　最優(yōu)消費c＊（t）隨通脹波動率ζ的變化

4 總結(jié)

現(xiàn)實中，投資者會在不同時期面臨市場上不同的通脹波動率，為了減少損失風險，投資者會根據(jù)不同的通脹波動率來調(diào)整自己的消費投資策略，從而獲得更大的收益．在通脹情形下研究了投資者帶有隨機勞動收入時的最優(yōu)消費和投資問題，在現(xiàn)有模型的基礎(chǔ)上考慮通脹因素，得出了投資者在消費籃子價格完全可觀察時的最優(yōu)消費投資策略，并通過數(shù)值模擬討論了通脹對帶有勞動收入投資者的最優(yōu)消費和投資的影響．所得模型更加符合實際市場，研究結(jié)果可以為投資者的消費投資策略選擇提供新的視角，具有一定理論價值和現(xiàn)實經(jīng)濟意義．

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Study on optimal consumption－portfolio problem based on labor income and inflation

JIANG Kui，F(xiàn)EI Wei－yin＊，DU Hong－jun
（College of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）

Abstract：This paper considers the impact of inflation and labor income on optimal consumption and portfolio of an investor in the case of fully observed consumption basket price．Firstly，the life cycle of the investor is divided into two phases of retirement and employment，and then the corresponding stochastic control mathematical models are set up．Secondly，by using the method of stochastic control，the HJB equation is derived，an explicit expression of the valued function of the optimization problem is obtained in the case of constant relative risk aversion（CRRA）utility．Finally，the effect of inflation on an investor ＇s optimal consumption and portfolio strategy is analyzed by numerical simulation with given parameters．

Key words：inflation；labor income；optimal consumption－portfolio；CRRA utility；HJB equation

通訊作者：費為銀（1963－），男，安徽蕪湖人，教授，博士生導師．

作者簡介：姜 奎（1990－），男，安徽宿州人，碩士研究生．

基金項目：國家自然科學基金資助項目（71171003，71571001）

收稿日期：2015－10－15

文章編號：1672－2477（2016）01－0065－07

中圖分類號：O211．63；F224．11

文獻標識碼：A