電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極
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陳 麗王 青（大理大學(xué)工程學(xué)院，云南大理 67003；清華大學(xué)物理系，北京 00084）

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電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極
—Ⅴ

陳 麗1王 青2
（1大理大學(xué)工程學(xué)院，云南大理 671003；2清華大學(xué)物理系，北京 100084）

摘 要作為本系列5篇文章的最后一篇，作者在電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)框架內(nèi)用盡量科普的方式對(duì)比前4篇文章介紹一個(gè)磁單極很不奇特的性質(zhì)．本文主要研究用小電流圈定義的磁偶極子和用正負(fù)磁單極對(duì)定義的磁偶極子的差別．文章仔細(xì)討論一個(gè)在2012年曾在業(yè)界引起很多爭(zhēng)議的由一個(gè)點(diǎn)電荷和一個(gè)磁偶極子構(gòu)成的體系的可能的現(xiàn)象，并展示對(duì)這個(gè)體系，由正負(fù)磁單極對(duì)構(gòu)成的磁偶極子比由電流圈構(gòu)成的磁偶極子要簡(jiǎn)單和平庸許多．

關(guān)鍵詞磁偶極子；電流圈；正反磁單極子對(duì)

本文是在電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)中講解磁單極奇妙性質(zhì)的最后一篇文章，也是在原來計(jì)劃的4篇文章基礎(chǔ)上增補(bǔ)的一篇．在前4篇文章［1－4］中分別介紹了磁單極在角動(dòng)量方面的角色和作用，狄拉克磁單極及其與規(guī)范變換的關(guān)系，磁單極在作用量中的作用，磁單極在磁電介質(zhì)中的作用．可以換種角度來對(duì)前面文章中出現(xiàn)的各種磁單極子系統(tǒng)進(jìn)行分類，首先單個(gè)的狄拉克磁單極是我們第2篇文章［2］主要討論的內(nèi)容，它通過一系列正負(fù)磁單極對(duì)構(gòu)造的磁偶極子從某個(gè)場(chǎng)點(diǎn)串聯(lián)起來連到無窮遠(yuǎn)在場(chǎng)點(diǎn)形成單個(gè)的狄拉克磁單極．這篇文章提示我們即使研究單個(gè)磁單極，應(yīng)該在其中加入一些新的物體（這里是一系列正負(fù)號(hào)相間的磁單極串）；通過觀察它們之間相互作用或它們的聯(lián)合行為來展示磁單極的奇特效應(yīng)．對(duì)單個(gè)磁單極系統(tǒng)可加入的另一種最簡(jiǎn)單物體，就是點(diǎn)電荷，如果這個(gè)新加入的點(diǎn)電荷與磁單極之間相互分離并且相互都不受其他外力而運(yùn)動(dòng)，就會(huì)引出我們?cè)诘?篇文章［1］站在磁單極上觀察運(yùn)動(dòng)的電荷進(jìn)而討論的系統(tǒng)角動(dòng)量問題；而如果這個(gè)新加入的點(diǎn)電荷與磁單極之間相互分離并且受外力而被約束在某個(gè)區(qū)域運(yùn)動(dòng)，就引發(fā)我們?cè)诘?篇文章［3］站在位于球心的磁單極上觀察被約束在單位球面上的點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)進(jìn)而討論所導(dǎo)致的作用量不存在問題；如果這個(gè)新加入的點(diǎn)電荷和磁單極不分離而是結(jié)合在一起，就導(dǎo)致我們?cè)诘?篇文章［4］在磁電介質(zhì)中討論的雙荷子．在這4篇文章中，我們?cè)谠嫉拇艈螛O上要么額外加進(jìn)負(fù)號(hào)磁單極形成磁偶極子要么加進(jìn)點(diǎn)電荷，自然一個(gè)更進(jìn)一步的擴(kuò)展系統(tǒng)是考慮既加進(jìn)負(fù)號(hào)磁單極又加進(jìn)點(diǎn)電荷，這就是本篇文章所要關(guān)注的新體系．在第2篇文章［2］所涉及的磁偶極子描述中原始的出發(fā)點(diǎn)是正負(fù)磁單極子組成的系統(tǒng)，但實(shí)際上卻是以一系列電流圈構(gòu)造的磁偶極子串——也就是螺線管來實(shí)行計(jì)算，這自然提出以正負(fù)磁單極子對(duì)構(gòu)造的磁偶極子和以電流圈構(gòu)造的磁偶極子是否完全一樣的問題，這是本文所關(guān)注的重點(diǎn)．以往這些文章都給出磁單極在特定電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中所呈現(xiàn)出的非常有別于純電荷電流體系的現(xiàn)象，磁單極的出場(chǎng)總是展示出另類特別的特點(diǎn)．作為磁單極系列的收官文章，我們?yōu)榉匆r前4篇文章中磁單極的奇怪與非平庸，在本文中反其道而行之，證明磁單極也可能只產(chǎn)生極平庸的現(xiàn)象和結(jié)果，反而是普通的電荷電流會(huì)造就不平庸和奇怪的現(xiàn)象．以下先在第1節(jié)把磁偶極子的兩種不同定義的問題提出來，引進(jìn)點(diǎn)電荷與磁偶極子的系統(tǒng)并進(jìn)行討論；然后在第2節(jié)介紹2012年業(yè)界在點(diǎn)電荷與磁偶極子系統(tǒng)中對(duì)狹義相對(duì)論和電動(dòng)力學(xué)可能沖突的討論，并討論它與我們介紹的磁偶極子兩種不同定義之間的關(guān)聯(lián)；最后在第3節(jié)對(duì)點(diǎn)電荷與磁偶極子的系統(tǒng)中磁偶極子是延展的情形做詳細(xì)的計(jì)算，進(jìn)一步地驗(yàn)證第2節(jié)的結(jié)論．

1 磁偶極子的定義

這個(gè)標(biāo)題看起來好似十分平庸，其實(shí)不然．學(xué)過電磁學(xué)的人都知道磁偶極子．它的標(biāo)準(zhǔn)定義是一個(gè)截面積S（矢量方向代表面積的法向）電流強(qiáng)度I的小電流圈體系，這個(gè)電流圈的面積趨于零但電流強(qiáng)度趨于無窮大，保持兩者乘積固定．這個(gè)體系（假設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)）的矢量勢(shì)A電流圈為

其中r是磁偶極子到場(chǎng)點(diǎn)的距離，m是磁偶極子的磁偶極矩，它可以寫成

這里j是磁偶極子的電流密度．此磁偶極子所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B電流圈為

注意式（3）中最后的正比于δ函數(shù)的項(xiàng)通常是被忽略掉的，因?yàn)橥ǔＫ懻摰拇排紭O子的場(chǎng)都不在r＝0處，這時(shí)最后一項(xiàng)恒為零．注意按照安培環(huán)路定理，此磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的電流密度若用磁偶極矩m表達(dá)則為也就是磁偶極子中存在一個(gè)電流源．如果用磁化強(qiáng)度M描寫的話，由j＝×M我們得到M＝mδ（r）．

目前這個(gè)磁偶極子的電流圈定義實(shí)際上和其所叫的名稱是不一致的，因?yàn)槊Q原本指的是一對(duì)相互反號(hào)無窮靠近的磁單極．只是因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)世界沒看到磁單極，而人們又發(fā)現(xiàn)電流圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度在r≠0處和一對(duì)相互反號(hào)的無窮靠近的磁單極的磁感應(yīng)強(qiáng)度完全一樣，因此用電流圈代替描寫真正的磁偶極子．那原本的磁偶極子真可以完全等價(jià)于電流圈嗎？以下我們先設(shè)法直接計(jì)算最原始的一對(duì)相互反號(hào)無窮靠近的磁單極的磁感應(yīng)強(qiáng)度．在一定的磁荷單位選擇下，一個(gè)磁荷為g的磁單極的磁感應(yīng)強(qiáng)度為（其中μ0是真空的磁導(dǎo)率），因此此磁單極對(duì)應(yīng)的磁標(biāo)勢(shì)為把它和電量為q的點(diǎn)電荷的標(biāo)量勢(shì)（其中ε0是真空的介電常數(shù)）進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)我們磁荷單位的選擇使得磁荷與電荷的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：以此對(duì)應(yīng)關(guān)系，從電偶極矩為p＝ql（其中正反電荷之間的距離l→0，q→∞但維持電偶極矩p固定）的電偶極子的標(biāo)量勢(shì)為出發(fā)，我們利用對(duì)應(yīng)關(guān)系得到磁偶極矩為

正負(fù)磁單極子之間的距離l→0，g→∞但維持磁偶極矩m固定的正負(fù)磁單極構(gòu)成的原始磁偶極子的磁標(biāo)勢(shì)為

而它對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B正負(fù)磁單極為

其中式（7）最后的δ函數(shù)項(xiàng)貢獻(xiàn)的是式（3）和式（6）所差別的純電流源項(xiàng)，或者用前面討論的此純電流源貢獻(xiàn)的磁化強(qiáng)度M＝mδ（r）來描寫即為若有辦法從實(shí)驗(yàn)上區(qū)分出這種差別，我們就能真正鑒別在物理中實(shí)際碰到的磁偶極子到底屬于哪種！這對(duì)尋找磁單極具有重大意義，因?yàn)榧词拐也坏絾为?dú)存在的磁單極，若能發(fā)現(xiàn)由正負(fù)磁單極對(duì)構(gòu)成的磁偶極子，也是磁單極存在的重要證據(jù)．

為看出兩種不同的磁偶極子定義可能的物理效應(yīng)，我們考察在離磁偶極子d處放置一個(gè)電量為q的靜止點(diǎn)電荷，d的方向由磁偶極子指向點(diǎn)電荷（注意這和我們磁單極系列文章第4篇［4］討論的點(diǎn)電荷與一個(gè)磁單極構(gòu)成的雙荷子體系是不一樣的，現(xiàn)在一是電荷與磁單極之間的距離可以是有限的，二是現(xiàn)在是兩個(gè)相互反號(hào)的磁單極而不是單個(gè)磁單極．如不顧及距離有限而硬要與本系列文章第4篇［4］比較則相當(dāng)于考慮兩個(gè)相互反號(hào)的雙荷子并在一起）．我們關(guān)心點(diǎn)電荷與磁偶極子之間的相互作用能動(dòng)量．在目前的靜止系，相互作用的能量為零W靜止＝0（若不為零則需要有非此系統(tǒng)內(nèi)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的外電場(chǎng)或非此系統(tǒng)內(nèi)磁偶極子產(chǎn)生的外磁場(chǎng)）；但由于點(diǎn)電荷提供電場(chǎng)，磁偶極子提供磁場(chǎng)，這樣一個(gè)既有電場(chǎng)又有磁場(chǎng)的體系應(yīng)該具有相互作用的電磁動(dòng)量P靜止（這時(shí)點(diǎn)電荷和磁偶極子分別都具有無窮大的自作用的能量，但不具有自作用的動(dòng)量）．這對(duì)磁偶極子是由電流圈定義的情形來說確是如此，但對(duì)以正反磁單極對(duì)定義的磁偶極子來說，卻不是這樣．理由很簡(jiǎn)單，對(duì)正磁單極和點(diǎn)電荷聯(lián)合產(chǎn)生的相互作用動(dòng)量與負(fù)磁單極和點(diǎn)電荷聯(lián)合產(chǎn)生的相互作用動(dòng)量由于正反磁單極無窮靠近正好大小相等符號(hào)相反因而相互抵消為零．因此這樣一個(gè)體系的電磁動(dòng)量的取值依賴于磁偶極子的定義，特別對(duì)正負(fù)磁單極對(duì)定義的磁偶極子正好為零P正負(fù)磁單極，靜止＝0．對(duì)這個(gè)體系中的磁偶極子是由正負(fù)磁單極對(duì)定義的情形，由于在靜止系的相互作用能動(dòng)量都為零，因此依照洛倫茲變換，我們可以推出在任意勻速運(yùn)動(dòng)系下相互作用能動(dòng)量都為零．

從這個(gè)結(jié)果看，由磁單極子構(gòu)造的這個(gè)體系在相互作用能動(dòng)量的意義上是最簡(jiǎn)單和平庸的．這與前4篇文章［1－4］中磁單極總是出風(fēng)頭的情形正好形成鮮明的反差，這里磁單極偃旗息鼓甘做低調(diào)平庸的角色．為了對(duì)比和以后的討論，以下我們先利用式（7）和式（6）把磁偶極子是電流圈時(shí)靜止系的電磁動(dòng)量P電流圈，靜止計(jì)算出來，

在整個(gè)體系以速度瓫運(yùn)動(dòng)的體系中，通過洛倫茲變換，我們得到

式（8）與式（10）、式（11）比較形成鮮明的反差，似乎通過觀察體系的能動(dòng)量既能鑒別磁偶極子是磁單極對(duì)還是電流圈構(gòu)成的．然而這種反差真能有可觀察的效應(yīng)嗎？

2 電動(dòng)力學(xué)與狹義相對(duì)論沖突嗎？

狹義相對(duì)論誕生于電動(dòng)力學(xué)，它怎么能與它的母親發(fā)生沖突呢？這事還真的貌似發(fā)生了，就發(fā)生在上節(jié)討論的點(diǎn)電荷與磁偶極子系統(tǒng)中，它在2012年曾在業(yè)界曾引起了一個(gè)不小的波瀾．事件過程如下：2012年5月7日，美國物理學(xué)會(huì)的著名雜志《物理評(píng)論快報(bào)》發(fā)表了美國Arizona大學(xué)光學(xué)數(shù)據(jù)儲(chǔ)存中心主任、光學(xué)科學(xué)學(xué)院教授Masud Mansuripur撰寫的題為“洛倫茲力的麻煩：與狹義相對(duì)論和動(dòng)量守恒不協(xié)調(diào)”的文章［5］，文章提出我們?cè)陔姶艑W(xué)和電動(dòng)力學(xué)所熟知的洛倫茲力與狹義相對(duì)論的洛倫茲變換及動(dòng)量守恒在某些地方會(huì)發(fā)生沖突．而在《物理評(píng)論快報(bào)》上文章還沒正式發(fā)表出來之前，在4月27日發(fā)表的《SCIENCE》雜志上的新聞和分析版就已經(jīng)有人發(fā)表了題為“教科書上的電動(dòng)力學(xué)可能會(huì)與狹義相對(duì)論沖突”的介紹和評(píng)論這項(xiàng)工作的文章［6］．在文中作者用圖1直觀而簡(jiǎn)潔地說明了沖突的所在之處：

圖1（a）是一條通有電流向右流動(dòng)（在其上電子反向向左運(yùn)動(dòng)）的導(dǎo)線，它在周圍會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，這時(shí)導(dǎo)線上任何一處的電荷密度都為零．導(dǎo)線旁邊有一個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷沿電流方向向右運(yùn)動(dòng)，它因?qū)Ь€上電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)的作用而受指向?qū)Ь€的洛倫茲力（來自磁場(chǎng)）．

圖1（b）是站在點(diǎn)電荷靜止的參考系（磁場(chǎng)對(duì)點(diǎn)電荷不會(huì)貢獻(xiàn)洛倫茲力）中看（a）．這時(shí)導(dǎo)線上原本在（a）中靜止帶正電的空穴開始運(yùn)動(dòng)，而導(dǎo)線上原本在（a）中反電流方向向左運(yùn)動(dòng)的電子運(yùn)動(dòng)速率也會(huì)變化，通過洛倫茲變換可以知道在（a）中導(dǎo)線中正好在帶電方面相互抵消的空穴密度和電子密度在（b）中不再相互抵消（因?yàn)榭昭ㄊ菑撵o止變到運(yùn)動(dòng)，而電子是從運(yùn)動(dòng)變到運(yùn)動(dòng)或極端的情形可以從運(yùn)動(dòng)變到靜止），因而在導(dǎo)線上產(chǎn)生了凈剩的純負(fù)電荷，它所產(chǎn)生的電場(chǎng)導(dǎo)致導(dǎo)線外靜止的點(diǎn)電荷受到指向?qū)Ь€的洛倫茲力（來自電場(chǎng)）．

圖1（c）是一個(gè)帶正電的靜止點(diǎn)電荷和一個(gè)靜止的被認(rèn)為是一系列的電流圈構(gòu)成的（也就是螺線管）磁鐵體系．點(diǎn)電荷和磁鐵相互之間不受力，也沒有力矩．

圖1　文獻(xiàn)［6］中給出的說明電動(dòng)力學(xué)可能會(huì)與狹義相對(duì)論沖突的示意圖

圖1（d）是出現(xiàn)沖突的情形．觀察者不動(dòng)，點(diǎn)電荷和磁鐵都同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，如（b）所示原本無凈電荷密度的電流線在運(yùn)動(dòng)后會(huì)遺留下凈電荷密度，考慮到磁鐵就是一系列電流圈，計(jì)及運(yùn)動(dòng)方向會(huì)導(dǎo)致磁鐵兩邊分別出現(xiàn)不為零的正反電荷密度，因而形成電偶極子．此電偶極子會(huì)因其正反電荷的受力距離矢量不同而受到點(diǎn)電荷電場(chǎng)所施加的力矩，因而會(huì)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)．這顯然與（c）給出的物理圖像相互沖突！為了解決此問題消掉這個(gè)不該出現(xiàn)的力矩Mansuripur提出應(yīng)該修改洛倫茲力公式，并做了十分復(fù)雜的討論．

看到這些報(bào)道，在當(dāng)年清華物理系的電動(dòng)力學(xué)課上作者即給學(xué)生介紹了這個(gè)問題，作者系里上普通物理電磁學(xué)課的老師據(jù)說也做了類似的介紹．當(dāng)時(shí)清華物理系的一些學(xué)習(xí)比較好的同學(xué)就開始在老師的建議下自己琢磨如何解決此問題．其中的一位叫吳宇愷的同學(xué)在5月19日還特別在系里做了題為“Lorentz力公式是否需要修正”的報(bào)告，指出洛倫茲力實(shí)際上是不需要進(jìn)行修正的．據(jù)說他還把結(jié)果寫成文章投稿到《物理評(píng)論快報(bào)》上，遺憾的是雜志拒絕發(fā)表他的文章．但雜志確在一年后集中發(fā)表了一系列對(duì)Mansuripur結(jié)果進(jìn)行批評(píng)的評(píng)論文章［7－10］及Mansuripur對(duì)這些評(píng)論給予的摘要回復(fù)［11］．Mansuripur的詳細(xì)回復(fù)發(fā)表在文獻(xiàn)［12］上．2015年本文作者在清華物理系給學(xué)生上課討論費(fèi)曼第二冊(cè)書的內(nèi)容，當(dāng)談到圖1的上右圖中涉及的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)線上電荷密度為什么不為零的計(jì)算時(shí)，把這段業(yè)界的風(fēng)波做了簡(jiǎn)要介紹，并作為一個(gè)課題留給學(xué)生課后研究．有四位同學(xué)自告奮勇組織課后討論，他們研究了所有能找到的相關(guān)材料包括前面提到的學(xué)長(zhǎng)吳宇愷報(bào)告的PPT，然后在2015年5月13日的課堂上先后由童鑫熠、謝天佑、徐集思和劉陸川共用三節(jié)課的時(shí)間把前人的工作及他們的理解、看法和解決方案進(jìn)行了報(bào)告．課上大家進(jìn)行了激烈的討論，正是因?yàn)榇舜螆?bào)告的刺激才激發(fā)作者寫作此文．作者對(duì)文獻(xiàn)中和同學(xué)們提出的解決這個(gè)問題的各種方法和角度進(jìn)行整理歸納，與大家進(jìn)行分享．由于電流圈可以有無窮小或有限大兩種情形，而力矩可以有通過角動(dòng)量的時(shí)間變化率計(jì)算或直接用距離叉乘受力計(jì)算兩種方式，組合起來我們?cè)瓌t上可以有4種處理此問題的方式：①無窮小電流圈通過角動(dòng)量的時(shí)間變化率計(jì)算；②無窮小電流圈通過距離叉乘受力計(jì)算；③有限大電流圈通過角動(dòng)量的時(shí)間變化率計(jì)算；④有限大電流圈通過距離叉乘受力計(jì)算．我們主要采用方式①和④進(jìn)行討論；在④中把尺度取無窮小極限即回到②；③的計(jì)算過于復(fù)雜我們沒有討論．

以下我們先在本節(jié)討論①，并由此給出一種對(duì)有力矩但不轉(zhuǎn)動(dòng)的可能解釋．然后再在下節(jié)討論④，并討論其無窮小極限②，其中我們使用對(duì)電流圈中運(yùn)動(dòng)的小球計(jì)算出了電流圈的動(dòng)量、角動(dòng)量，給出了另一種對(duì)有力矩但不轉(zhuǎn)動(dòng)的可能解釋．

對(duì)無窮小電流圈的情形，注意圖1（c）和（d）正是我們?cè)诘?節(jié)中所討論的一個(gè)點(diǎn)電荷與一個(gè)磁偶極子的體系．這里我們把磁鐵看成是一個(gè)磁偶極子，我們先把磁鐵縮成一個(gè)點(diǎn)，因而成為一個(gè)嚴(yán)格的點(diǎn)磁偶極子．點(diǎn)磁偶極子的問題搞清楚了，原則上把很多個(gè)點(diǎn)磁偶極子疊加起來就得到了有限尺寸的磁鐵．若認(rèn)為這種處理不夠嚴(yán)格，在第3節(jié)我們直接對(duì)有限尺寸的磁鐵進(jìn)行計(jì)算．

圖2　在S系和S′系中的小電流圈

前面提到的沖突是在取磁偶極子是電流圈的假設(shè)基礎(chǔ)之上的，矛盾或沖突來自在運(yùn)動(dòng)的時(shí)候磁偶極子受電荷給予的力矩．為了討論這個(gè)問題，我們先建立如圖2的坐標(biāo)系．S′系中點(diǎn)電荷和磁偶極子都靜止，S′系相對(duì)于S系沿x軸正方向作速率為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)．注意這個(gè)坐標(biāo)系的xyz取向與Mansuripur原文中放入磁偶極子的坐標(biāo)系取向有差別．如果我們把運(yùn)動(dòng)磁偶極子所受力矩的作用點(diǎn)選擇在電荷所在點(diǎn)O′處，這時(shí)相當(dāng)于是在S′系中對(duì)點(diǎn)電荷和磁偶極子組成的系統(tǒng)進(jìn)行觀察，因?yàn)辄c(diǎn)電荷和磁偶極子組成的系統(tǒng)相對(duì)于S′系靜止，對(duì)應(yīng)于圖1（c），這個(gè)力矩可由電荷和磁偶極子的相互作用角動(dòng)量M電流圈≡－d×P電流圈的時(shí)間變化率電流圈得到．而由式（10），對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)，電流圈＝0，而d又是個(gè)固定常數(shù)，因此電流圈＝0，實(shí)際上并沒有力矩，與觀察結(jié)果一致．但是如果我們把力矩的作用點(diǎn)選擇在O點(diǎn)處時(shí)，這時(shí)相當(dāng)于是在S系中對(duì)點(diǎn)電荷和磁偶極子組成的系統(tǒng)進(jìn)行觀察，對(duì)應(yīng)于圖1（d），則M電流圈＝l×P電流圈，求力矩電流圈＝×P電流圈＋l×電流圈．對(duì)于如圖2所示的情況，式（10）的m× d與瓫的夾角θ剛好90°，cosθ剛好為零，所以運(yùn)動(dòng)電流圈的取值與靜止電流圈的取值相同，都為P＝．代入電流圈求出的力矩大小為τ＝方向沿z軸負(fù)向．這個(gè)結(jié)果劉陸川和謝天佑也曾計(jì)算過．我們發(fā)現(xiàn)，的確出現(xiàn)了力矩．那么這個(gè)力矩會(huì)引起電流圈的轉(zhuǎn)動(dòng)嗎？這實(shí)際上也是Science文章提出問題的出發(fā)點(diǎn)．通過觀察發(fā)現(xiàn)，這個(gè)求出來的力矩與Mansuripur原文計(jì)算出來的力矩大小相同但方向相反．這里就把有力矩但不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的第一種解釋介紹給大家．參考文獻(xiàn)［7］、［9］、［10］都提出了一個(gè)“hidden momentum”的說法．下面是參考文獻(xiàn)［9］的一段原文：Different models that use current loops to represent a magnetic dipole predict that the dipole acquires a hidden momentum in the presence of the external electric field due to relativistic effects on the moving charges of the loops．This hidden momentum is counterbalanced by the electromagnetic momentum obtained from the integral in the whole space．按照這個(gè)說法，使用上述方法計(jì)算出來的動(dòng)量是全空間的動(dòng)量，而Mansuripur原文使用距離叉乘力的方法計(jì)算出來的力矩對(duì)應(yīng)著一個(gè)所謂的“hidden momentum”，這兩個(gè)動(dòng)量大小相等，方向相反，剛好抵消．為了驗(yàn)證這個(gè)說法，我們使用文獻(xiàn)［10］中“hidden momentum”的計(jì)算公式把在前面磁偶極子定義中討論過的m和代入，可得剛好和全空間的動(dòng)量大小相等，方向相反．由它代入角動(dòng)量的變化率算出來的力矩就等于Mansuripur原文使用距離叉乘力的方法計(jì)算出來的力矩，磁偶極子所在位置處r＝0，所以方向沿z軸正向．這個(gè)力矩和前面算出的全空間的力矩剛好抵消，無凈力矩，因此電流圈不會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)．

下面來看看另一種將磁偶極子換成采用正負(fù)磁單極對(duì)的情況．按照式（8）P正負(fù)磁單極＝0，選取O′點(diǎn)為力矩原點(diǎn)時(shí)，磁偶極子和點(diǎn)電荷的相互作用角動(dòng)量M正負(fù)磁單極≡－d×P正負(fù)磁單極為零，磁單極所受的力矩M·正負(fù)磁單極自然為零．選取O點(diǎn)為力矩原點(diǎn)時(shí)，盡管l在不斷變化，但是P正負(fù)磁單極＝0，所以正負(fù)磁單極還是為零．在前面的內(nèi)容中我們提到過電流圈有電流密度為－m×δ（r）純的電流源而正負(fù)磁單極對(duì)沒有電流源，這個(gè)差別也許就體現(xiàn)在有純電流源的電流圈會(huì)產(chǎn)生所謂的“hidden momentum”，它的作用是抵消體系原來的電磁動(dòng)量．

通過對(duì)這樣兩種不同的磁偶極子定義模型的計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)，不論是電流圈還是正負(fù)磁單極對(duì)，都得到不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的情況．兩種模型在理論上體現(xiàn)出的最大區(qū)別在于：電流圈構(gòu)成的磁偶極子體系有相互作用角動(dòng)量；而正負(fù)磁單極構(gòu)成的磁偶極子體系根本沒有相互作用角動(dòng)量！這是我們?cè)诒疚牡囊婚_始所特別強(qiáng)調(diào)的“磁單極有時(shí)也可以導(dǎo)致的極平庸的現(xiàn)象和結(jié)果”的明確顯示．由此在這個(gè)體系里完全無法從磁偶極子是否轉(zhuǎn)動(dòng)上來區(qū)分磁偶極子是由電流圈構(gòu)成的還是由正負(fù)磁單極構(gòu)成的．實(shí)際上如果任何實(shí)驗(yàn)都測(cè)不出兩種構(gòu)成的磁偶極子的差別的話，也就意味著在現(xiàn)實(shí)世界電流圈足以替代正負(fù)磁偶極子對(duì)來頂替磁偶極子的角色．我們生活的世界也許真就不再需要磁單極的存在了．

到此為止，似乎討論應(yīng)該結(jié)束了．有些細(xì)心的讀者會(huì)說：把磁偶極子壓縮成一個(gè)點(diǎn)，再用點(diǎn)電荷到它的距離－d或者使用l叉乘它似乎不太合理．因?yàn)閷?duì)有限大的電流圈，不同位置的電流應(yīng)該用不同的距離矢量叉乘，這也許會(huì)造成新的差別，它是否會(huì)產(chǎn)生有效的力矩？也就是先算有限尺寸的磁單極所受的力矩，而不是先縮成點(diǎn)算力矩再疊加．這種對(duì)極限與求和的次序交換是否對(duì)本問題會(huì)造成差別呢？這個(gè)情形也就是我們的學(xué)生所具體研究和計(jì)算的問題，雖然結(jié)論相同，但具體計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，我們把它們留在下節(jié)進(jìn)行仔細(xì)討論．

3 有限尺寸運(yùn)動(dòng)的磁偶極子受運(yùn)動(dòng)電荷的作用力矩

本節(jié)分為兩個(gè)部分，一是運(yùn)動(dòng)的有限尺寸間隔的正反磁單極對(duì)受運(yùn)動(dòng)電荷的作用力矩，二是運(yùn)動(dòng)的有限大小的電流圈受運(yùn)動(dòng)電荷的作用力矩．我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于運(yùn)動(dòng)的有限尺寸間隔的正反磁單極對(duì)力矩嚴(yán)格為零．對(duì)于運(yùn)動(dòng)的有限大小的電流圈，的確存在力矩，但有另外一種不會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的解釋．

3．1 運(yùn)動(dòng)的有限尺寸間隔的正反磁單極對(duì)受運(yùn)動(dòng)電荷的作用力矩

相比于有限大小的電流圈，有限尺寸間隔的正反磁單極對(duì)的情況要簡(jiǎn)單得多（也就是本文的主題）．我們首先建立如圖3的坐標(biāo)系，S′系中點(diǎn)電荷和磁偶極子都靜止，S′系相對(duì)于S系沿x軸正方向作速率為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)Mansuripur的詳細(xì)回復(fù)中的描述畫出正負(fù)磁單極對(duì)，見圖3．在由運(yùn)動(dòng)電荷q產(chǎn)生的電磁場(chǎng)中，磁單極受到洛倫茲力的作用為［13］

下面我們對(duì)正反磁單極對(duì)進(jìn)行受力分析，在電荷q產(chǎn)生的磁場(chǎng)當(dāng)中，正負(fù)磁單極都分別受到了沿y軸負(fù)方向的磁場(chǎng)力，見圖4．在電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)當(dāng)中，正負(fù)磁單極都分別受到了沿y軸正方向的電場(chǎng)力，見圖5．由于運(yùn)動(dòng)電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間有下面的關(guān)系式而ε0μ0＝因此我們可以得知，作用在正磁單極上的磁場(chǎng)力和電場(chǎng)力因?yàn)榇笮∠嗟?，方向相反，?dǎo)致正磁單極受到的合力為零，對(duì)于負(fù)磁單極情況也是一樣．因此，正負(fù)磁單極對(duì)不會(huì)受到力矩的作用，力矩為零．

3．2 運(yùn)動(dòng)的有限大小的電流圈受運(yùn)動(dòng)電荷的作用情況

這部分工作主要是班上的謝天佑同學(xué)做的，并在2015年5月13日的課堂上做了簡(jiǎn)化的介紹．根據(jù)計(jì)算，運(yùn)動(dòng)的有限大小的電流圈上下兩邊積累了不同電性的電荷，整個(gè)電流圈受到了比較復(fù)雜的電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力的作用，但所受合力為零．雖然所受合力為零，但是電流圈的確受到了電磁力矩的作用，只是這個(gè)電磁力矩只引起了電流圈角動(dòng)量的變化，而沒有導(dǎo)致電流圈的轉(zhuǎn)動(dòng)．下面我們對(duì)這些結(jié)果進(jìn)行一一詳細(xì)說明．

圖3　坐標(biāo)系中的正負(fù)磁單極對(duì)

圖4　磁單極對(duì)受磁場(chǎng)力的作用

圖5　磁單極對(duì)受電場(chǎng)力的作用

3．2．1 運(yùn)動(dòng)的有限大小的電流圈受運(yùn)動(dòng)電荷的作用力

首先建立與上面磁單極取向一致的坐標(biāo)系，此時(shí)，圖1右下圖中給出的運(yùn)動(dòng)電荷q和電流圈相對(duì)于S′系靜止，設(shè)它們之間的距離為R′．在該系中觀察到的電流圈是一個(gè)邊長(zhǎng)為l′的正方形，其上下左右四邊的電流大小相等，都為I′，電流的繞行方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，整個(gè)電流圈上下左右四邊呈電中性狀態(tài)，見圖6．這里畫出的電流圈實(shí)際上是有一定粗度的，存在截面積A′．在這里需要說明一下，為了在討論的過程中不引起混淆，在S′系中觀察的物理量我們都在字母的右上方加上一撇，在S系中觀察的物理量的字母沒有一撇．在S系中觀察時(shí)（見圖7），由于相對(duì)論效應(yīng)，運(yùn)動(dòng)電荷q和電流圈之間的距離變短了，而且電流圈的上下邊縮短了，左右邊沒有發(fā)生變化，形狀變成了一個(gè)長(zhǎng)方形，上下左右四邊的電流大小發(fā)生了變化，同時(shí)電流圈的上下邊積累了不同電性的電荷，計(jì)算如下：

圖6　建立的坐標(biāo)系S和S′（電流圈在S′中靜止）

圖7　在S系中觀察到的運(yùn)動(dòng)電荷和電流圈

根據(jù)費(fèi)曼物理學(xué)講義，在靜止系S中觀察到的運(yùn)動(dòng)直導(dǎo)線的電荷密度ρ和電流密度j與在一個(gè)以速率v相對(duì)靜止系x軸正向運(yùn)動(dòng)的參考系S′（在該系中直導(dǎo)線靜止）中觀察到的直導(dǎo)線的電荷密度ρ′和電流密度j′之間的關(guān)系是

從S系觀察到的電流圈上邊導(dǎo)線橫截面積不變，長(zhǎng)度縮短，積累的電量為

這里出現(xiàn)負(fù)號(hào)表明累計(jì)了負(fù)電荷，取負(fù)號(hào)的原因是電流圈上邊導(dǎo)線的電流密度方向與導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)方向相反．同樣可以算出電流圈下邊積累的正電量為電流圈左右兩邊沒有電荷的積累．

根據(jù)I＝j(luò)A及I′＝j(luò)′A′及式（13）的后面3個(gè)式子，可以得到從S系觀察到的電流圈上下邊的電流為左右邊的電流為

現(xiàn)在來考慮運(yùn)動(dòng)電荷q產(chǎn)生的電磁場(chǎng)對(duì)電流圈的作用．根據(jù)電動(dòng)力學(xué)理論，在S系中，沿x軸方向運(yùn)動(dòng)的電荷q在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別是

下面我們首先分析電流圈受到的電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力作用，見圖8．為使分析稍微簡(jiǎn)單一些，我們簡(jiǎn)化模型，假定只有一圈電流，并且放置在xy平面中，也就是說z＝0．

從圖8中可以看出，電流圈受到的力比較復(fù)雜．電流圈左右兩邊由于沒有電荷的積累，所以不受到電場(chǎng)力的作用．上下兩邊受到電場(chǎng)力的作用．電流圈的上下左右因?yàn)槎即嬖陔娏鳎艿酱艌?chǎng)力的作用．可以看出Fm左上＝－Fm左下，F(xiàn)m右上＝－Fm右下，上下兩邊對(duì)應(yīng)點(diǎn)受到的電場(chǎng)力在x軸上的分量也由于大小相等方向相反而抵消了，下面我們看看作用在上下兩邊的磁場(chǎng)力和在y軸方向的電場(chǎng)力能否相互抵消．只對(duì)電流圈下邊的一點(diǎn)dx作分析．現(xiàn)在把導(dǎo)線看成一根線，它受到y(tǒng)方向上的電場(chǎng)力為

它受到y(tǒng)方向上的磁場(chǎng)力為

所以在電流圈的上下邊這兩個(gè)力也抵消了，因此我們可以得到結(jié)論：電流圈不受力的作用．

圖8　電流圈受到的電場(chǎng)力磁場(chǎng)力和力矩分析

3．2．2 運(yùn)動(dòng)的有限大小的電流圈受運(yùn)動(dòng)電荷的作用力矩

整個(gè)電流圈不受力的作用，那么它也不受到力矩的作用嗎？答案是否定的．在S系中，通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)如果以S系的原點(diǎn)O作為力矩中r的起點(diǎn)，則對(duì)力矩有貢獻(xiàn)的電場(chǎng)力分別是Fex，F(xiàn)′ex，F(xiàn)m左上，F(xiàn)m左下，F(xiàn)m右上，F(xiàn)m右下，下面我們就分別計(jì)算這些有貢獻(xiàn)的電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力所產(chǎn)生的力矩．

我們的計(jì)算是在S系當(dāng)中進(jìn)行的．先看電場(chǎng)力的力矩．經(jīng)過分析，電力矩τe沿z軸正向．電流圈上下兩邊對(duì)應(yīng)位置的電荷受到的電場(chǎng)力在x軸上的分量大小相等方向相反，可以合在一起計(jì)算，并且可以看出在不同的受力點(diǎn)r與x軸之間的夾角θ不一樣，但是rsinθ＝y(tǒng)的值都是一樣的為ly／2＝l′／2．因此電場(chǎng)力力矩為

再來考慮磁場(chǎng)力的力矩．磁場(chǎng)力在電流圈左邊和電流圈右邊產(chǎn)生的力矩τm左和τm右分別沿z軸正向和z軸負(fù)向，總磁力矩為τm．與計(jì)算電場(chǎng)力力矩類似，發(fā)現(xiàn)左右受力點(diǎn)的r與x軸之間的夾角θ不一樣，但兩邊rsinθ的值都為y，所以有

先計(jì)算對(duì)電流圈右邊的作用

下面做一個(gè)積分變換技巧，先將（x－vt）2／（1－v2／c2）代換為x2′＝R′＋l′／2，上述積分變?yōu)?/p>

積分的上下限我們?cè)诤竺嬖龠M(jìn)行考慮．

積分第一項(xiàng)為

積分第二項(xiàng)為

注意到力矩τm左和τm右分別沿z軸正向和z軸負(fù)向，為了和沿z軸正向的電力矩τe疊加，取z軸正向?yàn)檎瑒tτm右取負(fù)值，總的磁力矩為

綜合電力矩和磁力矩，得到電流環(huán)受到的總力矩

從上面的計(jì)算可以看出，電流圈的確受到一個(gè)不為零的力矩．

有限大尺寸的電流圈的力矩看起來比無窮小電流圈的力矩復(fù)雜的多，它們之間能夠?qū)?yīng)起來嗎？下面來看看它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

在力矩原點(diǎn)選擇O點(diǎn)處，無窮小電流圈力矩的大小在前面的計(jì)算中可以知道為其中m＝I′S＝I′l′2．代入上式有有限尺寸的電流圈力矩大小為上面式（19）．其中無窮小力矩表達(dá)式中的d與第二式的R′相等，是同一個(gè)距離．

下面從

下面做一些技巧處理，把所有帶根號(hào)項(xiàng)的根號(hào)去掉（可以這樣做的原因是l′→0，是無窮小量），使用公式（1＋x）n≈1＋nx同理可得把去掉根號(hào)的量代入式（20），得到

從上面的討論可以看出，當(dāng)l′→0時(shí)，有限大尺寸的電流圈和無窮小的電流圈的力矩統(tǒng)一起來了．那么這個(gè)力矩一定會(huì)引起電流圈的轉(zhuǎn)動(dòng)嗎？這就是我們下面要討論的問題．

3．2．3 運(yùn)動(dòng)的有限大小的電流圈受力矩作用但不轉(zhuǎn)動(dòng)

在前面無窮小電流圈的情況下我們已經(jīng)對(duì)出現(xiàn)了力矩但電流圈不會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的情況的一種解釋進(jìn)行了說明，即全空間的力矩和對(duì)應(yīng)著“hidden momentum”的力矩相互抵消，無凈力矩，不會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)．對(duì)于有限大電流圈情況，我們同樣可以使用（其中電場(chǎng)的公式為上面的式（15），磁場(chǎng)除了式（16）還要考慮運(yùn)動(dòng)的電流圈產(chǎn)生的復(fù)雜磁場(chǎng)）計(jì)算出全空間的動(dòng)量，從而進(jìn)一步計(jì)算出相應(yīng)的力矩，該力矩與3．2．2節(jié)計(jì)算出來的力矩抵消．但是由于上式計(jì)算過于復(fù)雜，我們就不詳細(xì)進(jìn)行討論了．我們將在下面的內(nèi)容中計(jì)算出與3．2．2節(jié)計(jì)算出來的力矩相對(duì)應(yīng)的動(dòng)量和角動(dòng)量，并給出另外一種有力矩但不轉(zhuǎn)動(dòng)的解釋．

對(duì)于有限大尺寸的電流圈，為了計(jì)算電流圈的電磁動(dòng)量，建立如下微觀模型．在把S系中整體呈電中性電流圈看作是一個(gè)帶負(fù)電的管子和運(yùn)動(dòng)著的帶正電e的小球組成，小球與管壁之間為彈性碰撞，無摩擦力，見圖9．在穩(wěn)態(tài)情況下，根據(jù)左右兩邊電流相等和整個(gè)回路的載流子能量相等可以導(dǎo)出

其中n1和n2為粒子數(shù)密度，v1和v2為小球的運(yùn)動(dòng)速率，m1和m2為小球的質(zhì)量，φ1和φ2為運(yùn)動(dòng)粒子q產(chǎn)生的電勢(shì)．

圖9　電流圈內(nèi)部的載流子

進(jìn)一步寫為

同樣對(duì)上下邊對(duì)應(yīng)位置的灰色小球也做類似分析，可以得到這兩個(gè)小灰球的質(zhì)量m′1和m′2相等（因?yàn)棣铡?和φ′2相等），還可得到

有了以上的準(zhǔn)備工作，下面我們就可以計(jì)算電流圈的動(dòng)量．整個(gè)電流圈的動(dòng)量是每一個(gè)小球動(dòng)量的疊加．對(duì)于x軸方向，動(dòng)量為

對(duì)于y軸方向，動(dòng)量為

可以看出，該電磁動(dòng)量是一個(gè)不隨時(shí)間變化的量，而且它的方向保持為y軸正向．上面的討論雖然是在S系當(dāng)中得到的結(jié)果，但是對(duì)于S′系，結(jié)果是一樣的，只是具體計(jì)算時(shí)因?yàn)橛行┪锢砹吭赟系和S′系中不一樣，要把相應(yīng)物理量的取值改變．

相應(yīng)地，我們可以使用L＝r×p，直接通過對(duì)每個(gè)運(yùn)動(dòng)小球的積分計(jì)算出整個(gè)電流圈角動(dòng)量的值．其中對(duì)于每一個(gè)小球角動(dòng)量的大小L＝rpsinθ中的r和sinθ雖然都是變量，但rsinθ為一恒定值x．求出的角動(dòng)量為

方向沿z軸正向．

角動(dòng)量的變化率

通過對(duì)電流圈中運(yùn)動(dòng)著的小球積分，我們得到了一個(gè)與力矩有對(duì)應(yīng)關(guān)系的角動(dòng)量．我們發(fā)現(xiàn)該角動(dòng)量的變化率剛好等于電流圈所受到的力矩．到此人們可能還會(huì)問，雖然這個(gè)力矩對(duì)應(yīng)上了一個(gè)角動(dòng)量的變化率，但是怎么知道它不會(huì)引起磁鐵的轉(zhuǎn)動(dòng)呢？就此我們引入第二種解釋．算出的P沿y軸正向，可以寫成球坐標(biāo)系下的形式

電流圈的情況比較復(fù)雜，在此做一下小結(jié)．我們對(duì)無窮小電流圈計(jì)算出了運(yùn)動(dòng)的電荷和磁偶極子體系的動(dòng)量和相應(yīng)力矩，“hidden momentum”和相應(yīng)力矩，并給出了電流圈不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的第一種解釋：兩個(gè)力矩相互抵消，無凈力矩，不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)．對(duì)有限大的電流圈使用距離叉乘力的方法計(jì)算出了電流圈受到的力矩，使用對(duì)電流圈中運(yùn)動(dòng)的小球計(jì)算出了電流圈的動(dòng)量、角動(dòng)量，角動(dòng)量的變化率正好對(duì)應(yīng)于力矩．并從動(dòng)量不發(fā)生變化，電流圈沒有角度的變化給出了電流圈不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的第二種解釋．

4 結(jié)語

電流圈構(gòu)造的磁偶極子與正反磁偶極子對(duì)構(gòu)造的磁偶極子所產(chǎn)生的電磁場(chǎng)在外部完全相同，在內(nèi)部相互反號(hào)，大小相差兩倍．在磁偶極子和點(diǎn)電荷形成的系統(tǒng)中無論是在靜止系還是在運(yùn)動(dòng)系，磁偶極子不管是兩種構(gòu)造中的哪種都不會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)．只是磁偶極子若是由正反磁單極對(duì)構(gòu)造的，體系的相互作用能動(dòng)量和角動(dòng)量都為零，因而十分簡(jiǎn)單和平庸；而若磁偶極子若是由小電流圈構(gòu)造的，體系的相互作用能動(dòng)量和角動(dòng)量除了靜止系的能量為零之外一般都不為零．

參考文獻(xiàn)

［1］ 王青．電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極——Ⅰ［J］．物理與工程，2013，23（6）：8－11．

［2］ 王青．電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極——Ⅱ［J］．物理與工程，2014，24（5）：29－33．

［3］ 王青．電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極——Ⅲ［J］．物理與工程，2015，25（4）：19－24．

［4］ 王青．電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極——Ⅳ［J］．物理與工程，2015，25（5）：33－40．

［5］ Mansuripur M．Trouble with the Lorentz law of force：Incompatibility with special relativity and momentum conservation［J］．Phys Rev Lett，2012，108：193901．

［6］ Cho Adrian．Textbook electrodynamics may contradict relativity［J］．Science 2012，336：404．

［7］ Vanzella D A T．Comment on“Trouble with the Lorentz law of force：Incompatibility with special relativity and momentum conservation”［J］．Phys．Rev．Lett．2013，110：089401．

［8］ Barnett S M．Comment on“trouble with the lorentz law of force：Incompatibility with special relativity and momentum conservation”［J］．Phys．Rev．Lett．2013，110：089402．

［9］ Saldanha P L．Comment on“trouble with the lorentz law of force：Incompatibility with special relativity and momentum conservation”［J］．Phys．Rev．Lett．2013，110：089403．

［10］ Khorrami M．Comment on“trouble with the lorentz law of force：Incompatibility with special relativity and momentum conservation”［J］．Phys．Rev．Lett．2013，110：089404．

［11］ Mansuripur M．Mansuripur replies：［J］．Phys．Rev．Lett．2013，110：089405．

［12］ Mansuripur M．Mansuripur replies：［J］．Proc．of SPIE．2012，8455：845512．

［13］ 范秀華，張祥雪，程艷霞，等．磁單極與磁洛倫茲力［J］．大學(xué)物理，2007，26（1）：22－25，43．

MAGNETIC MONOPOLE IN ELECTROMAGNETISM AND ELECTRODYNAMICS—Ⅴ

Chen Li1Wang Qing2
（1College of Engineering，Dali University，Yunnan Dali 671003；2Department of Physics，Tsinghua University，Beijing 100084）

AbstractAs the last one of a series of five individual papers and in contrast to previous papers，we introduce a special non－peculiar property of magnetic monopole as popular science in the frameworks of electromagnetism and electrodynamics．In this paper，we mainly focus on the differences of magnetic dipoles defined by small current loop and that by the positive and negative monopole pair．We will analysis the possible phenomena for the system consisted from a point charge and a magnetic dipole，and show that the magnetic dipole constructed by the positive and negative monopole pair is much simple and trivial than that by current loop．

Key wordsmagnetic dipole；current loop；positive and negative monopole pair

作者簡(jiǎn)介：陳麗，女，副教授，主要從事物理教學(xué)和相關(guān)研究工作；王青，男，教授，主要從事理論物理的科研和教學(xué)工作，研究方向?yàn)榱孔訄?chǎng)論與基本粒子理論．wangq＠m(xù)ail．tsinghua．edu．cn

收稿日期：2015－07－06