任意形狀的三角形電流的磁場(chǎng)分布

姜海麗 孫秋華 劉艷磊 馬伯洋（哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001）

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任意形狀的三角形電流的磁場(chǎng)分布

姜海麗 孫秋華 劉艷磊 馬伯洋
（哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001）

摘 要本文根據(jù)畢奧－薩伐爾定理先求出任意三角形一條邊所產(chǎn)生的磁場(chǎng)，再利用矢量場(chǎng)旋轉(zhuǎn)求出另外兩條邊產(chǎn)生的磁場(chǎng)，最終利用矢量疊加求得任意形狀的三角形電流的磁場(chǎng)分布．這種方法可以推廣到求任意形狀多邊形電流的磁場(chǎng)求解．

關(guān)鍵詞任意形狀三角形電流；磁場(chǎng)分布；矢量場(chǎng)旋轉(zhuǎn)

在電磁學(xué)和磁測(cè)量中最常見(jiàn)的一種計(jì)算就是根據(jù)電流的分布求解其所激發(fā)的磁場(chǎng)的分布［1、2］．對(duì)于磁場(chǎng)的求解大學(xué)物理教學(xué)中經(jīng)常用到的方法是畢奧－薩伐爾定律和安培環(huán)路定理．安培環(huán)路定理的積分形式一般只能運(yùn)用于求解電流的分布具有高度對(duì)稱性的情況，如果遇到任意形狀的電流分布時(shí)就只能采用畢奧－薩伐爾定律來(lái)進(jìn)行求解了．原則上任意形狀的載流導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)分布問(wèn)題的求解可以歸納為：畢奧－薩伐爾定律加上磁場(chǎng)疊加原理即為所求的磁場(chǎng)．但實(shí)際上由于數(shù)學(xué)上的難度，一般只討論特殊形狀或特殊位置的磁場(chǎng)分布，對(duì)于任意形狀的多邊形電流的磁場(chǎng)分布的研究較少［3－7］．本文根據(jù)畢奧－薩伐爾定理先求出任意三角形一條邊所產(chǎn)生的磁場(chǎng)，再利用矢量場(chǎng)旋轉(zhuǎn)求出另外兩條邊產(chǎn)生的磁場(chǎng)，最終利用矢量疊加求得任意形狀的三角形電流的磁場(chǎng)分布．

如圖1所示，假設(shè)三角形電流ABC，電流I的流向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，O為三角形的外心（即三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)），建立如圖所示的坐標(biāo)系Oxyz，其中x、y軸在三角形線圈平面內(nèi)，z軸垂直于線圈平面．x軸與AB邊的交點(diǎn)為O′，三條邊的長(zhǎng)度為別為l1，l2，l3．

在l1邊上距離O′為y′處取一寬為dy′的電流元Idy′，則該電流元在點(diǎn)P產(chǎn)生的磁場(chǎng)為

利用磁場(chǎng)矢量疊加原理可得整個(gè)l1邊在點(diǎn)P的磁場(chǎng)為

圖1　三角形線圈激發(fā)的磁場(chǎng)

式中ρ1為點(diǎn)O到l1邊的距離．如圖設(shè)點(diǎn)P到l1邊的距離為d，α為電流元Idy′到點(diǎn)P的矢徑r與電流元的夾角，則有

代入式（1）可得

其中，由幾何關(guān)系可得

將這些幾何關(guān)系代入式（2）中，式（2）即為

如果將l2，l3分別轉(zhuǎn)動(dòng)到l1所在的位置，類比可得

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)后的l2和l3在點(diǎn)P的磁場(chǎng)分別為

式（4）、（5）中ρ2、ρ3分別為外心O到l2和l3的距離．

式（4）和式（5）所得到的僅是假設(shè)把l2和l3兩段電流轉(zhuǎn)動(dòng)到l1所在位置時(shí)產(chǎn)生的磁場(chǎng)，并不是l2和l3兩段電流真正產(chǎn)生的磁場(chǎng)，要想求出l2和l3兩段電流所產(chǎn)生的真正的磁場(chǎng)，就需要利用矢量場(chǎng)旋轉(zhuǎn)的方法把l2和l3兩段電流轉(zhuǎn)動(dòng)到l1所在位置時(shí)激發(fā)的磁場(chǎng)B′l2（x，y，z），B′l3（x，y，z）進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而可得l2和l3兩段電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)分別為

利用式（3）、（6）、（7）可得整個(gè)三角形線圈在點(diǎn)P的合磁場(chǎng)為

為了更加直觀地看到三角形電流激發(fā)的磁場(chǎng)分布的特點(diǎn)，為此我們利用Mathematica對(duì)磁場(chǎng)的分布進(jìn)行討論及分析．為方便起見(jiàn)，選取電流I＝10A，μ0＝4π×10－7N／A2，三角形中較短的兩條邊l1和l2分別取為3和4，這兩條邊之間的夾角為q，分別仿真了θ＝80°、90°、105°的銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的磁場(chǎng)等高圖．圖2為z＝0即三角形電流平面內(nèi)的情形，圖3為z＝0．2即三角形電流平面內(nèi)的情形，圖4為z＝0．5即三角形電流平面內(nèi)的情形．

圖2　z＝0時(shí)磁場(chǎng)等高圖

圖3　z＝0．2時(shí)磁場(chǎng)等高圖

在圖2、圖3、圖4等高線圖中，相鄰等高線之間的間距為2×10－7I，I為載流導(dǎo)線中電流強(qiáng)度的大小．相同顏色的區(qū)域代表磁場(chǎng)相同，顏色淺的區(qū)域磁場(chǎng)強(qiáng)，顏色越深磁場(chǎng)越弱．由圖2可知，在三角形電流平面內(nèi)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)等高線的形狀接近于三角形電流的形狀，與三角形的形狀有關(guān)．離電流越近的區(qū)域磁場(chǎng)越強(qiáng)，等高線也越密集；離電流越遠(yuǎn)的地方磁場(chǎng)越弱，等高線越稀疏，仿真結(jié)果與理論是完全相符的．從圖3、圖4可看出，隨著研究區(qū)域離三角形電流平面越來(lái)越遠(yuǎn)時(shí)，等高線的區(qū)域越來(lái)越寬泛，相同磁場(chǎng)的區(qū)域面積也相應(yīng)變大．

圖3（續(xù)）

圖4（續(xù)）

圖4　z＝0．5時(shí)磁場(chǎng)等高圖

本文利用畢奧－薩伐爾定律、磁場(chǎng)疊加原理以及矢量場(chǎng)旋轉(zhuǎn)求得任意形狀的三角形電流的磁場(chǎng)分布，同時(shí)借助于Mathematica對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行仿真，最終對(duì)任意形狀的三角形電流的磁場(chǎng)分布有了較為直觀的了解．將這種求解方法進(jìn)行推廣，可以用來(lái)求解平面內(nèi)任意形狀多邊形電流激發(fā)的磁場(chǎng)，可實(shí)現(xiàn)用物理學(xué)的理論來(lái)指導(dǎo)實(shí)際的應(yīng)用，有一定的實(shí)用價(jià)值．

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THE MAGNETIC FIELD DISTRIBUTION OF AN ARBITRARY TRIANGULAR ELECTRIC CURRENT

Jiang Haili Sun Qiuhua Liu Yanlei Ma Boyang
（College of Science，Harbin Engineering University，Harbin，Heilongjiang 150001）

AbstractIn this article we introduce an novel method to calculate the magnetic field distribution of an arbitrary triangular electric current．Firstly the magnetic field of any edge can be gotten according the Biot－Savart Law．Then the magnetic field of other two edges could be obtained by using vector field rotation．At last we can get the total magnetic field of an arbitrary triangular electric current through principal of vector field superposition．This method could also be extended to other cases about any shape polygon electric current．

Key wordsarbitrary triangular electric current；magnetic field distribution；vector field rotation

作者簡(jiǎn)介：姜海麗，女，副教授，主要從事物理教學(xué)科研工作，研究方向?yàn)楣饫w傳感器．jianghaili＠hrbeu．edu．cn

基金項(xiàng)目：黑龍江省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：JG2013010198）．

收稿日期：2015－07－26