基于D-P準(zhǔn)則與M-C準(zhǔn)則的圓形洞室圍巖塑性開展區(qū)半徑對比

李　廣， 韓志剛

(1.瀏陽經(jīng)開區(qū)開發(fā)投資有限公司， 湖南 瀏陽　410329；

2.湖南省高速百通建設(shè)投資有限公司， 湖南 長沙　410003)

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基于D-P準(zhǔn)則與M-C準(zhǔn)則的圓形洞室圍巖塑性開展區(qū)半徑對比

李廣1， 韓志剛2

(1.瀏陽經(jīng)開區(qū)開發(fā)投資有限公司， 湖南 瀏陽410329；

2.湖南省高速百通建設(shè)投資有限公司， 湖南 長沙410003)

摘要：為揭示D-P準(zhǔn)則不同屈服面對塑性區(qū)半徑的影響，分別采用D-P準(zhǔn)則外接圓和內(nèi)接圓作為屈服面計算某圓形洞室塑性區(qū)開展范圍，并與M-C準(zhǔn)則計算結(jié)果相對比。結(jié)果表明，內(nèi)接圓作為屈服面時對應(yīng)的塑性區(qū)開展半徑大于外接圓；D-P準(zhǔn)則外接圓作為屈服面計算結(jié)果小于M-C準(zhǔn)則計算結(jié)果，內(nèi)接圓計算結(jié)果與M-C準(zhǔn)則計算的結(jié)果比較接近。采用Flac3D計算不同強(qiáng)度準(zhǔn)則下塑性區(qū)半徑的數(shù)值解，計算結(jié)果表明數(shù)值計算結(jié)果與理論計算結(jié)果比較接近，兩種計算方式具有一定的可靠性；M-C準(zhǔn)則計算結(jié)果比D-P準(zhǔn)則計算結(jié)果大，這與理論解的計算結(jié)果是一致的。因此，用D-P準(zhǔn)則進(jìn)行彈塑性分析時，選取內(nèi)接圓更能夠保證工程的安全性。

關(guān)鍵詞：隧道； D-P準(zhǔn)則； M-C準(zhǔn)則； 塑性開展區(qū)

0引言

地下洞室開采會引起圍巖應(yīng)力的重分布，當(dāng)洞室周圍的巖石應(yīng)力超過其屈服應(yīng)力時，圍巖將進(jìn)入塑性狀態(tài)。塑性區(qū)開展的范圍直接影響工程支護(hù)設(shè)計[1，2]，現(xiàn)階段對于地下洞室塑性區(qū)求解常采用Hoek-Brown[3-5]準(zhǔn)則或M-C準(zhǔn)則[6-8]以及能考慮靜水壓力和中間主應(yīng)力影響的D-P準(zhǔn)則[9]，由于不同屈服準(zhǔn)則對應(yīng)的塑性區(qū)半徑并不相同。因此有必要研究不同準(zhǔn)則對應(yīng)屈服面塑性區(qū)半徑的差異。

現(xiàn)階段許多學(xué)者對不同準(zhǔn)則的塑性區(qū)半徑進(jìn)行了研究，翟所業(yè)、陳國祥等[10，11]應(yīng)用Drucker-Prager準(zhǔn)則(簡稱D-P準(zhǔn)則)對圓形巷道圍巖塑性區(qū)半徑進(jìn)行了分析，并與修正的Fenner公式作對比，但只考慮了中間主應(yīng)力為最大和最小主應(yīng)力平均值的情況；侯公羽等[12]采用基于Levy-Mises塑性本構(gòu)關(guān)系的D-P準(zhǔn)則進(jìn)行求解，同樣沒有反映出不同中間主應(yīng)力對塑性區(qū)的影響。曹文貴等[13，14]修正了采用細(xì)觀損傷力學(xué)建立起來的巖石統(tǒng)計本構(gòu)模型，在此基礎(chǔ)上，采用多元函數(shù)求極值的方法建立巖石強(qiáng)度理論，分別對D-P準(zhǔn)則和Coulomb準(zhǔn)則進(jìn)行了修正，研究了塑性區(qū)范圍。

基于此，本文選用D-P準(zhǔn)則不同屈服面，采用理論計算及Flac3D有限差分法對某地下洞室塑性區(qū)半徑進(jìn)行了計算，并將計算結(jié)果同M-C準(zhǔn)則計算結(jié)果相對比，研究了不同準(zhǔn)則下塑性區(qū)半徑的差異，為類似的研究提供參考。

1D-P準(zhǔn)則與M-C準(zhǔn)則塑性區(qū)半徑的解析解

1.1D-P屈服準(zhǔn)則

D-P準(zhǔn)則是Drucker和Prager提出的一個內(nèi)切于M-C準(zhǔn)則的六棱錐的圓錐屈服面，基本函數(shù)形式為：

(1)

(2)

(3)

式中，c為圍巖的內(nèi)聚力；φ為圍巖的內(nèi)摩擦角。

當(dāng)屈服面為外接圓時取“-”，當(dāng)屈服面為內(nèi)接圓時取“+”。工程中采用中間主應(yīng)力系數(shù)n來反映中主應(yīng)力σ2與大主應(yīng)力σ1和小主應(yīng)力σ3的關(guān)系。

(4)

由上式得σ2=nσ1+(1-n)σ3，將σ2代入I1，J2中，將其轉(zhuǎn)化為σ1+σ3，σ1-σ3及n的關(guān)系式，可得：

(5)

(6)

將式(5)和式(6)代入式(1)，可得D-P準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(m-nα-α)σ1-(m-nα+2α)σ3-k=0

(7)

1.2基于D-P屈服準(zhǔn)則塑性區(qū)半徑

張小波等[1]基于一些假定，得出了基于D-P屈服準(zhǔn)則塑性區(qū)半徑計算公式：

如圖1，在巷道周邊圍巖中，由于巷道斷面上的徑向應(yīng)力σr、切向應(yīng)力σθ和巷道軸向應(yīng)力σz兩兩正交，且一般σθ最大、σr最小，于是可認(rèn)為3個主應(yīng)力的大小為：σ1=σθ，σ2=σz，σ3=σr。則有：

圖1　D-P準(zhǔn)則計算模型

σz=nσθ+(1-n)σr

(8)

將σθ和σr代入式(7)中，得到切向應(yīng)力和徑向應(yīng)力表示的D-P屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即塑性條件為：

(m-nα-α)σθ-(m-nα+2α)σr-k=0

(9)

根據(jù)彈塑性力學(xué)原理，除了塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力需要滿足屈服準(zhǔn)則外，其靜力平衡方程保持不變。在彈塑性交界處點的應(yīng)力狀態(tài)既滿足塑性應(yīng)力的條件又滿足彈性應(yīng)力的條件，將塑性區(qū)半徑記為Rp，則Rp為[1]：

(10)

1.3M-C準(zhǔn)則塑性區(qū)半徑的解析解

M-C準(zhǔn)則是考慮大主應(yīng)力和小主應(yīng)力的屈服準(zhǔn)則，其基本的表達(dá)是為：

(11)

假設(shè)圓形洞室仍然滿足1.2中的基本假定，根據(jù)芬納公式，塑性區(qū)半徑公式：

(12)

2算例

某交通隧道，其半徑r0=4 m，所受原巖應(yīng)力p0=20 MPa，支護(hù)阻力pi=1 MPa，圍巖內(nèi)摩角φ=30°，內(nèi)聚力c=2 MPa，剪切模量G=4 GPa，體積模量K=8 GPa，抗拉強(qiáng)度σt=2 MPa。

按照D-P準(zhǔn)則計算：

在平面應(yīng)變條件下，巖體進(jìn)入塑性狀態(tài)時，中間主應(yīng)力系數(shù)n接近于0.5，因此在利用D-P準(zhǔn)則求解時令n=0.5，則m=0.5，當(dāng)按照外接圓計算時α=0.23，k=2.4，代入式(10)則有：

Rp=4.46 m；

當(dāng)按照內(nèi)接圓計算時α=0.16，k=1.7：

Rp=6.84 m；

按照M-C準(zhǔn)則計算，依據(jù)公式(12)有：

R0=6.92 m。

以上計算結(jié)果表明，內(nèi)接圓塑性區(qū)開展半徑大于外接圓；D-P準(zhǔn)則內(nèi)接圓計算結(jié)果與M-C準(zhǔn)則計算結(jié)果比較接近。

3數(shù)值計算

采用Flac3D軟件對上述模型進(jìn)行了分析，地下洞室可以看成是半無限體，計算中巷道軸線方向的長度取為100 m，巷道的周圍的圍巖寬度為25 m，模型共有27 795個節(jié)點，24 750個單元；圖2給出了M-C準(zhǔn)則計算結(jié)果，圖3給出了D-P準(zhǔn)則外接圓計算結(jié)果，圖4給出了D-P準(zhǔn)則內(nèi)接圓計算結(jié)果。分別統(tǒng)計了不同屈服準(zhǔn)則下塑性區(qū)半徑，結(jié)果如表1。

表1表明，數(shù)值計算結(jié)果與理論解比較接近，說明采用數(shù)值計算與理論計算均具有一定的可靠性。

圖2　M-C準(zhǔn)則計算結(jié)果

圖3　D-P準(zhǔn)則外接圓計算結(jié)果

圖4　D-P準(zhǔn)則內(nèi)接圓計算結(jié)果

表1 不同屈服準(zhǔn)則下塑性區(qū)半徑屈服準(zhǔn)則塑性區(qū)半徑/mM-C7.95D-P外接圓4.39D-P內(nèi)接圓7.56

從表1還可以發(fā)現(xiàn)，采用M-C準(zhǔn)則塑性開展區(qū)半徑的理論解與數(shù)值解結(jié)果均比D-P準(zhǔn)則的計算結(jié)果大；當(dāng)采用D-P準(zhǔn)則內(nèi)接圓作為屈服面時，計算結(jié)果與M-C準(zhǔn)則比較接近。因此，在采用D-P準(zhǔn)則進(jìn)行計算時，采用內(nèi)接圓作為屈服面較外接圓保守。

4結(jié)論及建議

以Drucker-Prager準(zhǔn)則外接圓和內(nèi)接圓作為屈服面，利用解析法和Flac3D有限差分法分別計算了某圓形洞室塑性區(qū)半徑，并將計算結(jié)果與Mohr-Coulomb準(zhǔn)則計算結(jié)果相對比，主要得到以下結(jié)論：

1) 結(jié)果表明，D-P準(zhǔn)則內(nèi)接圓作為屈服面時塑性區(qū)開展半徑大于外接圓，用D-P準(zhǔn)則進(jìn)行彈塑性分析時，選取內(nèi)接圓作為屈服面更加地保守。

2) D-P準(zhǔn)則外接圓屈服面計算結(jié)果小于M-C準(zhǔn)則計算的結(jié)果，內(nèi)接圓屈服面計算結(jié)果與M-C準(zhǔn)則計算的結(jié)果比較接近。

3) D-P準(zhǔn)則與M-C準(zhǔn)則理論解與數(shù)值解相差不大，運用這兩種計算方式均具有一定的可靠性。

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中圖分類號：U 45

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1008-844X(2016)01-0126-04