一脈相承的兩道高考?jí)狠S題

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一脈相承的兩道高考?jí)狠S題

福建省龍巖第一中學(xué)(364000)胡寅年

由拋物線焦點(diǎn)弦生成的射影定理三角形引申出來的問題，是拋物線幾何性質(zhì)中極為重要的內(nèi)容，同時(shí)也是高考命制試題的源泉之一.對(duì)它們的深入探究，可極大地豐富我們對(duì)拋物線幾何性質(zhì)內(nèi)涵的認(rèn)知.

圖1

性質(zhì)1如圖1，設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，P、Q在準(zhǔn)線上的射影分別為P1、Q1，則ΔP1FQ1是一個(gè)射影定理三角形．

性質(zhì)2如圖2，設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l交拋物線于P、Q兩點(diǎn)．以P、Q 為切點(diǎn)分別作拋物線的切線，則這兩切線的交點(diǎn)R在拋物線的準(zhǔn)線上，且ΔPRQ是一個(gè)射影定理三角形，(SΔPQR)min=p2．

圖2

證明：設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)，經(jīng)過點(diǎn)P(x1,y1)的切線方程是y-y1=k(x-x1)，則

容易看出，下面的題1就源自拋物線(焦點(diǎn)弦)的上述幾何性質(zhì). 事實(shí)上，將性質(zhì)2中的拋物線y2=2px(p>0)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再取p=2的情形，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)陌b，即為試題1．

(Ⅱ)設(shè)ΔABM的面積為S，寫出S=f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值.

題2(2014年山東卷壓軸題)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|=|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，ΔADF為正三角形.

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E， (ⅰ)證明直線AE過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(ⅱ)ΔABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

題2與題1一脈相承，難度卻比題1大得多，其一：第(Ⅱ)問的第(ⅰ)小題，本質(zhì)上是題1第(Ⅰ)小題的一個(gè)變式，證明方法貌似差不多，可實(shí)際情況不是這樣的；其二：第(Ⅱ)問的第(ⅱ)小題，若發(fā)現(xiàn)不了ΔPQS面積與ΔPQR面積之間的倍數(shù)關(guān)系，而是直接去求ΔPQS的面積，計(jì)算量將會(huì)非常之大. 題2的引申結(jié)果如下：

性質(zhì)3設(shè)拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為Γ上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l交Γ于另一點(diǎn)S，交x軸正半軸于點(diǎn)K，且有|FP|=|FK|．若直線l1∥l，且l1和Γ有且只有一個(gè)公共點(diǎn)Q．證明：P、F、Q共線，且(SΔPQS)min=4p2．