把握選考內容，提升復習效益*

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把握選考內容，提升復習效益*

河南省濮陽市第一高級中學(457000)關傳平梁文強

近幾年來，高考改革在不斷的進行，數(shù)學的變化也比較明顯，縱觀其變化，新課標全國卷Ⅰ在全國高考中仍占有重要位置，甚至起著引領的作用．廣東、湖北、陜西、四川、重慶、福建、安徽等省份也將于2016年使用新課標全國卷Ⅰ，這使得新課標全國卷Ⅰ的重要性更加突出，然而新課標全國卷Ⅰ與各省市高考卷在選考內容上有明顯差異．筆者所在的省份從2011年至今一直在使用新課標全國卷Ⅰ，所以對新課標全國卷Ⅰ有深刻體會，結合新課標全國卷Ⅰ與各省市高考卷的考試情況，本文將在新課標全國卷Ⅰ選考內容教學上做一些分析和探討，以期對進入2016年使用新課標全國卷Ⅰ的考生和即將使用新課標全國卷Ⅰ的莘莘學子，以及奮斗在高三一線的數(shù)學教師有些許幫助．

一、選考內容命題規(guī)律

研究近五年來的新課標全國卷Ⅰ發(fā)現(xiàn)：選考內容文理科一樣，且都有三個小題．試題來源于教材，但又高于教材；題目難度適中，但穩(wěn)中有變；考查的知識點明確，但問題的解答靈活多樣，突出對能力的考查；符合《課程標準》和《考試說明》對選講內容的教學要求，落實了選考內容，使不同層次學生的能力得以發(fā)揮．

1.平面幾何選講

年份題號涉及知識點201122三角形:(1)證明四點共圓;(2)求圓的半徑.201222三角形與外接圓:(1)證明線段相等;(2)證明兩三角形相似.201322圓與切線:(1)證明線段相等;(2)求三角形外接圓半徑.201422圓內接四邊形:(1)證明兩角相等;(2)證明三角形為等邊三角形.201522圓的切線:(1)證明切線;(2)求角的大小.

平面幾何通常的考查方式是一證一算．此類題的運算量較小，但有一定的思維深度，重在考查學生的邏輯思維能力和推理論證能力．試題一般以考查基本定理為主線，解答此類題有時需要添加輔助線，使數(shù)和形有機結合起來．

2.極坐標與參數(shù)方程

年份題號涉及知識點201123圓的參數(shù)方程與軌跡:(1)求軌跡方程;(2)兩點間距離.201223橢圓參數(shù)方程與圓的極坐標方程:(1)求點的坐標;(2)求距離平方和.201323圓的參數(shù)方程與極坐標方程:(1)圓的參數(shù)方程化為極坐標方程;(2)求交點坐標.201423直線參數(shù)方程與橢圓:(1)參數(shù)方程與普通方程互化;(2)求線段長的最值.201523直線與圓的直角坐標方程:(1)化為極坐標方程;(2)求三角形面積.

坐標系與參數(shù)方程，這部分內容主要以必修2和選修2-1教材中解析幾何部分為載體，思維難度相對比較低．解答時一般情況下聯(lián)立方程即可，但計算時需要注意準確性.對于此類問題，學生只要掌握了普通方程和參數(shù)方程以及極坐標方程三者的互化、參數(shù)的意義，聯(lián)系前面已經(jīng)掌握的直線與圓的位置關系，以及直線與橢圓的位置關系，就能靈活解決．

3.不等式選講

年份題號涉及知識點201124含絕對值的函數(shù):(1)畫分段函數(shù)圖像;(2)解含參數(shù)的不等式.201224含絕對值的函數(shù):(1)解絕對值不等式;(2)已知解集求參數(shù)的值.201324含絕對值的函數(shù):(1)解絕對值不等式;(2)已知解集求參數(shù)范圍.201424條件不等式:(1)利用均值不等式求最值;(2)均值不等式的應用.201524含絕對值的函數(shù):(1)解絕對值不等式;(2)已知面積求參數(shù)范圍.

不等式選講在主要考查絕對值的幾何意義、含絕對值不等式的求解的同時考查學生分類討論和數(shù)形結合的數(shù)學思想．有時問題也會涉及不等式的基本性質和重要不等式的應用等．不等式的證明在必修5模塊是重點講解內容，學生在熟練掌握基本公式和證明方法的前提下，答題輕而易舉．

二、選考內容考試情況

題號222324模塊平面幾何選講極坐標與參數(shù)方程不等式選講2011難度系數(shù)0.2450.4710.4262012難度系數(shù)0.2600.4250.4832013難度系數(shù)0.2250.3730.1472014難度系數(shù)0.2730.5000.230

從上表中我們可以發(fā)現(xiàn)，從近幾年的選考試題看，得分率極低．即便是做相對容易的極坐標與參數(shù)方程選講題，平均分也沒有突破5分；選考試題中，平面幾何選講相對比較穩(wěn)定，但試題總體偏難，不易得分；不等式選講難易不定．選考題實際上相當于大綱版的第17題，屬于容易題，事實上，考試中卻成為學生的失分題，這不得不引起一線老師的反思與重視．從考生反饋的情況來看，選考平面幾何的學生主要輔助線不會做導致無從下手而失分；選考不等式的學生，主要是解題不規(guī)范、計算失誤、分類討論模糊導致失分；選考極坐標與參數(shù)方程的學生主要是三種曲線方程形式的選擇不恰當導致出錯失分．選考試題像水中月，鏡中花，我們能看到清，卻總是拿不到滿分，這種現(xiàn)象應引起我們一線教師的重視，在平時的教學中要尤其注意，力爭避免此類現(xiàn)象在考試中出現(xiàn)．

三、選考內容教學誤區(qū)

1.三個模塊開設不全

有些學校為減輕學生負擔，節(jié)約高三復習時間，直接拋棄兩個模塊，只講一個模塊，其它模塊學生自學，教師總擔心遍地開花會加重學生的負擔，希望學生一枝獨秀，精練一類選考題就能包打天下．事實上，考試時學生知識面狹窄，知識單一，對于試題沒有選擇余地，難易也只能碰運氣，不會的只能不得分．平時我們少開一本選考內容，考試中學生就少一種選擇，多開一本選修，就多一次得高分的機會，況且知識之間是相互聯(lián)系的，同一學科內的幾個模塊之間有千絲萬縷的聯(lián)系，選考內容的延伸和拓展，對于做必考題也大有幫助．在必考題里面出現(xiàn)了選考部分的內容，對于學過的學生來說是已經(jīng)熟悉的內容，而對于沒有學過的學生來說就是新材料、新信息，得分差別更大．

評注:利用不等式選講內容中重要的柯西不等式，方法簡單、快捷．

例2(2015江蘇卷理科第12題)在平面直角坐標系xOy中，P為雙曲線x2-y2=1右支上一個動點，若點P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立，則實數(shù)c的最大值為.

評注:利用雙曲線參數(shù)方程求最值，通俗易懂，簡單明了．

圖1

例3(2015年湖北卷理科第14題)如圖1，圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點B，A(B在A的上方)，且|AB|=2.

(1)圓C的標準方程為；

(2)過點A任作一條直線與⊙O:x2+y2=1相交于M，N兩點，下列三個結論：

其中正確的結論的序號為(寫出所有正確的結論的序號)

評注:把平面幾何知識遷移到解析幾何中，減少了運算量，降低了試題的難度．

上述三道題足以顯示平面幾何，不等式選講以及極坐標與參數(shù)方程選考內容的重要性，其它非選考試題也可以用選考內容的知識作答，且方法簡單，計算量小，能為考生在考場上贏得更多的答題時間．故所有選考內容都有開設的必要，我們要堅信知識面越寬，解題自由度越大，靈活度越高，得分也會越高．

2.選考模塊講解太快

很多學校為了趕課，擠壓必修課與選修課時間，大部分學校在高二下學期五月底結束所有必修課與選修課，然后用一個月左右的時間完成不等式選講、平面幾何選講、極坐標與參數(shù)方程選講三本書的講授，基本上十天一本書，草草結束選考內容，由于沒有與之匹配的消化時間和習題鞏固時間，學生是囫圇吞棗，一知半解，僅僅停留在知識的表層上，對知識的理解不到位，掌握不到位．到了高三一輪復習結束時再次復習選考內容，相當于熱夾生飯，學習效果可想而知．

圖2

從上述兩種解題方法中我們可以發(fā)現(xiàn)學生的解法仍然處在原始的解法中，不會利用新知識解題，而是轉了彎才得到結果，究其原因是課堂上知識的掌握不到位，知識還不能自由遷移．這在某種程度上也是新課講授過快，學生消化不良造成的．

3.試卷講評成擺設

很多教師講評試卷也不管學生選考內容答題情況，不評講選考內容．一方面，是因為教師對某些選修模塊不熟悉，所以課堂上是一句話帶過，或者根本不講；另一方面，教師從思想上認為簡單，再加上學生做題情況不一樣，學生只聽他選做的那道試題，其它沒做的就不聽講，所以老師不愿意講評．久而久之，選考內容被放在遺忘的角落，學生只能自己看答案．

(1)求直線l的極坐標方程；

(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|AB|．

4.學生掌握內容單一

一般情況下，學生如果習慣于做三道題中的某道題，他們每次就選做該試題，這種偏好導致了學生放棄其它選考內容，久而久之，對其它選考內容越來越陌生，考試時一旦經(jīng)常選考的題目難度增加，就手忙腳亂，思維混亂，不知所措．知識單一不但不利于學生成績的提高，還為今后進一步學習埋下了隱患．

(2)過坐標原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點，當α變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．

這道題的第2問在當年的高考中難倒不少考生，如果考生平常只喜歡做極坐標與參數(shù)方程這個模塊，那么高考中至少會失掉5分．

例7(2014年新課標全國卷Ⅰ第24題)

(1)求a3+b3的最小值；

(2)是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由．

當年很多考生看到這道題就懵了，平常都是考含絕對值不等式，這次卻換了頻道，學生很不適應，再加上遇到三次方，學生更是無從著手．若考生平常習慣于做不等式，再去做其它題，心里沒底，思來想去，浪費了很多寶貴的時間，也失去了很多分數(shù)．

四、選考內容備考建議

1.開設齊全，自主選擇

三個選考模塊全部開設.首先，學生說不定對哪一模塊感興趣，理解更快，掌握更熟練，多開一個模塊多一些選擇．其次，若其它學校開設，自己的學校不開設，沒參加考試在知識上就已經(jīng)輸了，還何談高考成績．故選考內容要全部開設．一方面，給學生在考試時留下了選擇的余地；另一方面，擴大了學生的知識面，使學生可以觸類旁通，優(yōu)化解題方法，而且對選考內容之外的試題有一定的幫助，各個模塊在解題時各有千秋，不等式內容貫穿于整個高中，極坐標與參數(shù)方程對求函數(shù)最值，以及圓錐曲線問題起到很大幫助，平面幾何的學習為立體幾何奠定了基礎．近幾年的教學實踐證明，選考內容都開設效果更好．最后，新課標的基本理念之一是提供多樣課程，適應個性選擇，高中數(shù)學課程應為學生提供選擇和發(fā)展的空間，為學生提供多層次，多種類的選擇，學生可以在教師的指導下進行自主選擇，必要時還可以進行適當?shù)霓D換、調整．

2.鉆研考綱，把握難度

隨著更多的省份加入新課標全國卷Ⅰ，應關注新課標全國卷Ⅰ與各省市的高考題在命題上的差異，特別是選考內容的差異．近幾年來，像福建卷考矩陣與變換，這是全國卷不考的內容；廣東卷以填空題的形式考查選考內容，而新課標全國卷Ⅰ以解答題的形式考查；安徽卷理科只考極坐標與參數(shù)方程，而文科不考選考內容；四川卷文理都不考選考內容，湖北卷不考不等式選講等.從中我們可以看出選考內容考查的內容不同，難易程度也不一樣．所以一線教師應認真鉆研新課標全國卷Ⅰ的考試大綱，掌握命題方向和重難點．

3.認真評講，提高效率

教師在試卷講評時，應根據(jù)學生的答題情況，統(tǒng)計學生錯誤原因，有針對性講評，教師的重視方能引起學生的重視，教師的課上講評在一定程度上可以讓學生發(fā)現(xiàn)錯誤并及時改正自己的錯誤．學生課下對答案的效果遠遠不如老師細致的點撥，此外，教師也可以規(guī)定考試答一道題，考完后再把其余兩道題以考試的標準做一做，即在教師的督促下完成三道選考題，從而有的放矢的加強對三道選考題的訓練，確?？荚嚂r穩(wěn)拿滿分．

4.合理指導，有效解答

一般情況下，學生按試題順序解答試題，但學生往往會在第20題圓錐曲線和第21題導數(shù)題耗費大量時間，待做選考題時，可能到了最后15分鐘提示，學生更是手忙腳亂，沒有心思做下去，所以教師對學生答題順序的合理指導尤為重要，告訴學生一般情況下，完成第17題，第18題后就該轉移到選考題上．學生與其在第20，21題上花費時間也不會，不如解答時先做選考內容，再按正常順序做，正像有人說的：考試成功就是把自己會做的題做對，我們正是改變了順序，做對了自己會做的題，這就叫成功．

5.夯實基礎，融會貫通

選考題中，平面幾何主要考查相似三角形，平行線截線段成比例定理，直角三角形射影定理，圓的基本性質，圓冪定理，圓周角定理，切線等；極坐標與參數(shù)方程主要考查參數(shù)方程的互化，直線、圓與橢圓的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義等；不等式選講主要考查含絕對值不等式的解法和不等式的證明方法等．

總之，三道題目在能力考查上各有千秋，思維能力強的學生可以選擇平面幾何試題，在平時訓練中應加強分析和推理能力的培養(yǎng)；運算能力強，且熟悉解析幾何的學生可以選擇極坐標和參數(shù)方程試題，平時訓練應注意運算的準確性；公式熟練，代數(shù)式處理能力較強的學生可以選擇不等式試題，平時應加強轉化能力的培養(yǎng)．當然，不管選考那類題目，都必須有扎實的基礎知識，縝密的邏輯思維推理能力，以及良好運算求解能力.只有這樣，才能居高臨下，運籌帷幄，決勝千里．

參考文獻

[1]梁文強，曲凡連．分析試卷，把握方向，備考2016[J]．中學數(shù)學研究(上半月)，2015．9．

[2]曾辛金．近六年全國高考數(shù)學課標卷試題分析與備考建議[J]．中學數(shù)學研究(上半月)，2015．9．

[3]蘭竹．運籌帷幄方能決勝千里[J]．數(shù)學教學通訊(中等教育)，2015．9．

[4]教育部考試中心．高考理科試題分析(2012年版)[M]．高等教育出版社，2013．1．

[5]教育部考試中心．高考理科試題分析(2013年版)[M]．高等教育出版社，2014．1．

[6]教育部考試中心．高考理科試題分析(2014年版)[M]．高等教育出版社，2015．1．

本文為2015年度河南省基礎教育教學研究項目“新課改理念下高三數(shù)學高效復習策略研究”(課題批準號：JCJYC150309115)的研究成果．