一題解說數(shù)列不等式恒成立問題

◇ 山東 張美霞

(作者單位：山東淄博高青縣第一中學(xué))

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一題解說數(shù)列不等式恒成立問題

◇ 山東 張美霞

等差、等比數(shù)列是歷年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一,通常情況下都會(huì)設(shè)置1個(gè)選擇題或填空題和1個(gè)解答題．解答題一般設(shè)置2個(gè)問題,其中第(1)問比較簡(jiǎn)單,屬于基礎(chǔ)題;第(2)問有一定的區(qū)分度,常與數(shù)列求和、不等式證明等知識(shí)有密切的聯(lián)系．其中數(shù)列與不等式相聯(lián)系考查恒成立問題是熱點(diǎn)，也往往是學(xué)生易丟分的環(huán)節(jié)．下面舉例談?wù)勥@類題的解法．

方法1 構(gòu)造新數(shù)列，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最大項(xiàng)問題．

當(dāng)n≥5,cn+1≤cn, {cn}為單調(diào)遞減數(shù)列.

當(dāng)1≤n<5,cn+1>cn, {cn}為單調(diào)遞增數(shù)列.

說明 這里對(duì)于數(shù)列{cn}的單調(diào)性的判定除了作差外,我們也可以作商,即

當(dāng)n≤3時(shí),cn<0；

則x、f′(x)、f(x)變化如表1.

表1

(此處雖然也是構(gòu)造函數(shù),但是研究的是不含參數(shù)的函數(shù).)

從以上解法可以看出分離變量是避開研究含參數(shù)問題的關(guān)鍵，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)時(shí)略顯麻煩,且由于x是整數(shù),須估值易出錯(cuò)．相比之下構(gòu)造數(shù)列法比較簡(jiǎn)單,適合廣大學(xué)生．

總之，適時(shí)地構(gòu)造新數(shù)列,利用數(shù)列的性質(zhì)解決問題是解答數(shù)列與不等式綜合題常用的手段．

(作者單位：山東淄博高青縣第一中學(xué))