開放式磁共振系統(tǒng)中梯度磁場(chǎng)的快速計(jì)算方法

朱旭晨， 王秋良， 王厚生

(1. 中國(guó)科學(xué)院電工研究所， 北京 100190； 2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049)

開放式磁共振系統(tǒng)中梯度磁場(chǎng)的快速計(jì)算方法

朱旭晨1,2， 王秋良1， 王厚生1

(1. 中國(guó)科學(xué)院電工研究所， 北京 100190； 2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049)

梯度線圈是磁共振系統(tǒng)的核心部件之一，其產(chǎn)生的梯度磁場(chǎng)是成像空間定位的物理基礎(chǔ)。在開放式磁共振系統(tǒng)中，大量鐵磁介質(zhì)會(huì)導(dǎo)致實(shí)際梯度磁場(chǎng)偏離設(shè)計(jì)值，因此需要對(duì)實(shí)際梯度磁場(chǎng)進(jìn)行校驗(yàn)。本文針對(duì)開放式磁共振的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出了一種基于扇環(huán)形狀單元的積分方程法，可以計(jì)算二維/三維模型中的梯度磁場(chǎng)。針對(duì)兩種常見的開放式磁共振結(jié)構(gòu)，通過將本文方法的計(jì)算結(jié)果與其他三種方法(直接法、鏡像法和有限元法)進(jìn)行對(duì)比，證明了本文方法在保證計(jì)算精度的同時(shí)，可以大幅減少計(jì)算時(shí)間，在重復(fù)計(jì)算和迭代優(yōu)化中具有顯著優(yōu)勢(shì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該算法具有良好的可靠性。

開放式磁共振； 鐵磁介質(zhì)； 梯度線圈； 積分方程法

1 引言

作為一種無創(chuàng)診斷工具，磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging，MRI)在醫(yī)學(xué)和科研領(lǐng)域均起著重要作用[1-4]。開放式磁共振是常見的磁共振類型之一。和傳統(tǒng)螺線管式磁共振相比，開放式磁共振能夠提供一個(gè)開放的診斷空間，可以有效緩解患者的緊張情緒，并且給臨床的介入治療提供一個(gè)良好的平臺(tái)。

在MRI系統(tǒng)中，梯度線圈在成像區(qū)域產(chǎn)生一個(gè)用于圖像空間位置編碼的梯度磁場(chǎng)，其精度決定了磁共振信號(hào)向圖像轉(zhuǎn)換時(shí)的空間定位精度。因此，扭曲的梯度磁場(chǎng)會(huì)導(dǎo)致最終成像出現(xiàn)偽影、扭曲和形變等問題，直接導(dǎo)致圖像采集的失敗。目前開放式磁共振系統(tǒng)中較為常用的梯度線圈設(shè)計(jì)方法為連續(xù)電流密度空間的方法[5-10]，在梯度線圈設(shè)計(jì)階段通常不考慮鐵磁介質(zhì)影響。然而實(shí)際開放式磁共振系統(tǒng)中，常采用大量鐵磁介質(zhì)作為導(dǎo)磁回路和磁場(chǎng)調(diào)節(jié)部件，而鐵磁介質(zhì)受外界磁場(chǎng)磁化，從而在成像區(qū)域產(chǎn)生額外的磁場(chǎng)，進(jìn)而對(duì)梯度磁場(chǎng)造成影響。

為了估算鐵磁介質(zhì)給梯度磁場(chǎng)造成的誤差，目前較為常用的方法為鏡像法[11,12]和有限元法[13,14]。鏡像法的假設(shè)條件為鐵磁介質(zhì)是一個(gè)磁導(dǎo)率無窮大的無限大理想平面，將鐵磁介質(zhì)對(duì)空間磁場(chǎng)的影響等效為一個(gè)鏡像電流，最終空間磁場(chǎng)由源電流和鏡像電流疊加計(jì)算。鏡像法的優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算簡(jiǎn)單、快速，但缺點(diǎn)是鐵磁介質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)及材料屬性較為復(fù)雜時(shí)，誤差較大。有限元法是目前最常用的電磁數(shù)值計(jì)算方法，可以計(jì)算各種復(fù)雜的電磁問題。由于開放式磁共振存在較大的空氣域，因而可視為三維開域問題，大量計(jì)算資源和時(shí)間會(huì)被浪費(fèi)在空氣域的網(wǎng)格劃分和計(jì)算。同時(shí)，由于網(wǎng)格在線圈結(jié)構(gòu)變化后需要重新劃分和計(jì)算，因而計(jì)算效率較低。

本文根據(jù)開放磁共振系統(tǒng)中鐵磁介質(zhì)具有軸對(duì)稱的幾何特點(diǎn)，提出了一種基于扇環(huán)形狀單元的積分方程法，并推導(dǎo)了圓柱坐標(biāo)系中鐵磁介質(zhì)扇環(huán)單元在成像區(qū)域上采樣點(diǎn)的磁場(chǎng)系數(shù)矩陣計(jì)算公式。基于該方法，對(duì)兩種常見開放式磁場(chǎng)共振結(jié)構(gòu)下的z方向梯度線圈和x方向梯度線圈進(jìn)行了仿真計(jì)算，并與多種傳統(tǒng)方法在計(jì)算精度和計(jì)算效率兩方面進(jìn)行了對(duì)比。最后為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性，利用實(shí)際開放式磁體和實(shí)際梯度線圈搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，并對(duì)兩種梯度線圈的梯度磁場(chǎng)進(jìn)行了測(cè)量。仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均表明本文方法在保證計(jì)算精度的前提下大大提高了計(jì)算效率，有助于梯度線圈的校驗(yàn)和后續(xù)優(yōu)化工作。

2 理論模型

2.1 扇環(huán)單元數(shù)學(xué)模型

根據(jù)開放式磁共振軸對(duì)稱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，引入了扇環(huán)單元對(duì)鐵磁單元進(jìn)行劃分。如圖1所示的圓柱坐標(biāo)系中，扇環(huán)單元的空間位置由其內(nèi)外徑r1、r2，上下平面坐標(biāo)z1、z2和圓心角φ1、φ2決定。

假設(shè)單元內(nèi)存在均勻分布的三維磁化強(qiáng)度M，其在單元外空間中任一點(diǎn)P(r,φ,z)處產(chǎn)生三維空間磁場(chǎng)H，則可建立H與M的關(guān)系式為：

(1)

式中，A為磁化強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度之間的系數(shù)；下標(biāo)r、φ、z分別表示徑向分量、周向分量和軸向分量。

圖1 柱坐標(biāo)下扇環(huán)單元和空間場(chǎng)點(diǎn)示意圖Fig.1 Sector-ring unit and field point in cylindrical coordinates

為了得到系數(shù)A，用等效磁流法[15]將磁化強(qiáng)度等效為磁化電流，再用畢奧-薩法爾定律進(jìn)行計(jì)算：

(2)

式中，J為磁化電流密度。以計(jì)算系數(shù)Arr，Arφ，Arz為例：

利用相同方法，可求得其他系數(shù)，聯(lián)立可得系數(shù)矩陣A：

系數(shù)矩陣A由鐵磁單元的幾何尺寸、空間位置以及目標(biāo)場(chǎng)點(diǎn)的空間位置決定[16]。在進(jìn)行梯度線圈優(yōu)化設(shè)計(jì)和結(jié)果校驗(yàn)時(shí)，鐵磁介質(zhì)和目標(biāo)場(chǎng)點(diǎn)是固定不變的，因此在此過程中，該系數(shù)矩陣也是固定不變的。因而在相同結(jié)構(gòu)磁體中，涉及梯度磁場(chǎng)計(jì)算時(shí)，鐵磁介質(zhì)的網(wǎng)格劃分和系數(shù)矩陣只需進(jìn)行一次計(jì)算，便可進(jìn)行后續(xù)所有的優(yōu)化和校驗(yàn)。

2.2 積分方程法

空間磁場(chǎng)可以視為由源區(qū)(電流源、永磁體等)和磁化區(qū)域綜合產(chǎn)生[17]：

H=HS+HM

(6)

式中，H為空間中任一點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度；HS為源區(qū)產(chǎn)生的磁場(chǎng)；HM為磁化區(qū)域產(chǎn)生的磁場(chǎng)。假設(shè)鐵磁介質(zhì)共劃分L個(gè)單元，則式(6)可擴(kuò)充為：

(7)

式中，HabM表示第b個(gè)鐵磁介質(zhì)單元在第a個(gè)鐵磁單元內(nèi)產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度。將式(1)代入式(6),并整理可得：

(8)

式中，A為上文所求的系數(shù)矩陣；χ為該單元鐵磁介質(zhì)磁化率，由鐵磁介質(zhì)磁化曲線和工作點(diǎn)決定。

通過求解式(8)，可求得所有鐵磁單元內(nèi)部的磁場(chǎng)強(qiáng)度，進(jìn)而可以求得鐵磁單元內(nèi)部的磁化強(qiáng)度。最后結(jié)合源區(qū)產(chǎn)生的磁場(chǎng)，便可求得空間任意一點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度。

當(dāng)假設(shè)鐵磁介質(zhì)工作區(qū)域接近線性時(shí)，磁化率可視為常數(shù)，式(8)為線性方程組；當(dāng)鐵磁介質(zhì)工作區(qū)域位于非線性段時(shí)，需利用磁化曲線通過迭代計(jì)算單元內(nèi)磁場(chǎng)強(qiáng)度。

3 仿真計(jì)算

本節(jié)中，采用第2節(jié)的方法對(duì)梯度線圈產(chǎn)生的梯度磁場(chǎng)進(jìn)行仿真計(jì)算，并與直接法(不考慮鐵磁介質(zhì))、鏡像法和有限元法結(jié)果進(jìn)行比較，從而驗(yàn)證本文方法的計(jì)算精度和計(jì)算效率。

將現(xiàn)有開放磁共振磁體的結(jié)構(gòu)歸納為兩種常見結(jié)構(gòu)(如圖2所示)：結(jié)構(gòu)1的特點(diǎn)在于調(diào)節(jié)成像區(qū)域磁場(chǎng)分布的鐵磁介質(zhì)部件位于整體結(jié)構(gòu)的邊緣(通常稱為勻場(chǎng)環(huán))，通過調(diào)節(jié)該部件的長(zhǎng)度和寬度來修正磁場(chǎng)，是目前最常用的結(jié)構(gòu)；結(jié)構(gòu)2的特點(diǎn)在于調(diào)節(jié)成像區(qū)域磁場(chǎng)分布的鐵磁介質(zhì)位于整體結(jié)構(gòu)的中央，通過調(diào)節(jié)中央無鐵磁介質(zhì)區(qū)域的大小來修正磁場(chǎng)。這兩種結(jié)構(gòu)不僅涵蓋了常用開放式磁共振的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，其對(duì)梯度磁場(chǎng)的影響也有較大差別。因此對(duì)兩種結(jié)構(gòu)下的梯度磁場(chǎng)進(jìn)行仿真計(jì)算，可以有效地驗(yàn)證計(jì)算方法的普適性和計(jì)算精度。

圖2 兩種開放式磁共振結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Two structures of biplanar superconducting MRI

由于在磁共振成像中，梯度磁場(chǎng)僅軸向(z方向)分量參與空間定位，因此下文僅計(jì)算梯度線圈的軸向磁場(chǎng)分量，但鐵磁介質(zhì)中的磁化強(qiáng)度是三維空間向量。

3.1 計(jì)算精度

3.1.1z方向梯度線圈

z方向梯度線圈的結(jié)構(gòu)如圖3所示，其由多個(gè)不同匝數(shù)和電流方向的同軸電流環(huán)組成。

圖3 z方向梯度線圈結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure of gradient coil z

現(xiàn)采用四種方法計(jì)算z方向梯度線圈在兩種結(jié)構(gòu)中的梯度磁場(chǎng)，并進(jìn)行誤差分析，所得誤差結(jié)果見表1。

表1 z方向梯度線圈磁場(chǎng)計(jì)算結(jié)果比較Tab.1 Results of gradient coil z

直接法的結(jié)果說明在兩種鐵磁介質(zhì)結(jié)構(gòu)中，直接法的計(jì)算結(jié)果均存在較大的誤差。鏡像法的結(jié)果在兩種結(jié)構(gòu)中存在較大差別。分析認(rèn)為這是由于鐵磁介質(zhì)和線圈的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)造成的。圖3所示的z方向梯度線圈的外側(cè)電流較少，因此該線圈對(duì)結(jié)構(gòu)1中的勻場(chǎng)環(huán)不敏感，因而結(jié)構(gòu)1整體與鏡像法假設(shè)的無限大平面接近，所以計(jì)算誤差較小；而結(jié)構(gòu)2中鐵磁介質(zhì)的中心空孔會(huì)極大地破壞鏡像法的假設(shè)，因此誤差較大。本文方法在兩種結(jié)構(gòu)中的結(jié)果均較為理想，說明本文方法不會(huì)由于鐵磁介質(zhì)的結(jié)構(gòu)差異導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)明顯偏差。相對(duì)而言結(jié)構(gòu)1的結(jié)果略差于結(jié)構(gòu)2的結(jié)果，其原因可能為結(jié)構(gòu)1邊緣凸起處的磁化強(qiáng)度變化較大，從而導(dǎo)致磁化強(qiáng)度的計(jì)算出現(xiàn)一定的誤差。

3.1.2x方向梯度線圈

x方向梯度線圈的結(jié)構(gòu)如圖4所示，其由不規(guī)則的“指紋”型電流回路組成。

圖4 x方向梯度線圈結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure of gradient coil x

現(xiàn)采用四種方法計(jì)算該結(jié)構(gòu)x方向梯度線圈在兩種結(jié)構(gòu)中的梯度磁場(chǎng)，并進(jìn)行誤差分析，誤差結(jié)果見表2。

表2 x方向梯度線圈磁場(chǎng)計(jì)算結(jié)果比較Tab.2 Results of gradient coil x

由表2可知，直接法的結(jié)果在兩種鐵磁介質(zhì)結(jié)構(gòu)中同樣不理想。x方向梯度線圈鏡像法的結(jié)果與z方向梯度線圈鏡像法的結(jié)果相反，結(jié)構(gòu)1的結(jié)果要差于結(jié)構(gòu)2的結(jié)果。其原因?yàn)閳D4所示的x方向梯度線圈，其電流主要集中在邊緣區(qū)域，因此對(duì)于結(jié)構(gòu)1中勻場(chǎng)環(huán)的部分比較敏感，而對(duì)結(jié)構(gòu)2中鐵磁介質(zhì)中心空孔不太敏感，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)1的結(jié)果要差于結(jié)構(gòu)2的結(jié)果。分析本文方法的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)其在兩種結(jié)構(gòu)中依舊能保證精度。

結(jié)合z方向和x方向兩種梯度線圈的分析結(jié)果可知：①直接法的結(jié)果通常都不理想，因此用常規(guī)設(shè)計(jì)方法得到的梯度線圈無法直接在實(shí)際磁體中使用，需要進(jìn)行校驗(yàn)和優(yōu)化；②鏡像法的結(jié)果往往受到線圈和鐵磁介質(zhì)結(jié)構(gòu)的影響，計(jì)算精度無法得到保證；③本文方法不受線圈和鐵磁介質(zhì)結(jié)構(gòu)影響，計(jì)算精度可以得到有效控制。

3.2 計(jì)算效率

在同一臺(tái)計(jì)算機(jī)上用Matlab運(yùn)行本文所用方法和Ansoft有限元軟件計(jì)算同一組案例。計(jì)算機(jī)配置如下：4核CPU i5-3740 3.2GHz；內(nèi)存8GB。

采用有限元法時(shí)，對(duì)于z方向梯度線圈，由于其具有軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，因此采用二維建模，計(jì)算速度很快，僅需2min；對(duì)于x方向梯度線圈，三維模型的計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，約需12min，由于線圈形狀特殊，因此需要聯(lián)合Solidworks等軟件進(jìn)行建模，流程比較復(fù)雜。

采用本文方法，兩種梯度線圈均采用三維模型，總用時(shí)小于1min。其中系數(shù)矩陣計(jì)算時(shí)間為50.7s，實(shí)際用于磁場(chǎng)計(jì)算小于5s。

通過以上數(shù)據(jù)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，本文方法即使考慮系數(shù)矩陣計(jì)算，在計(jì)算效率上相對(duì)于有限元法依然有明顯優(yōu)勢(shì)；如果再考慮系數(shù)矩陣無需重復(fù)計(jì)算的情況，則計(jì)算速度方面的優(yōu)勢(shì)將更加顯著。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證本文理論方法和仿真結(jié)果的正確性，以開放式超導(dǎo)磁共振實(shí)際磁體為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過對(duì)安裝在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中的梯度線圈產(chǎn)生的梯度磁場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量，并與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，從而對(duì)本文方法進(jìn)行驗(yàn)證。

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)和測(cè)量設(shè)備如圖5所示。圖5(a)為0.7T開放式超導(dǎo)磁共振的主磁體；圖5(b)為測(cè)量工裝，測(cè)量工裝安裝在上下極面之間，測(cè)量工裝上距離中心不同距離的測(cè)量點(diǎn)為成像區(qū)域上的磁場(chǎng)采樣點(diǎn)；圖5(c)和圖5(d)分別為z方向梯度線圈和x方向梯度線圈。

圖5 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)和測(cè)量設(shè)備Fig.5 Experimental platform and measuring equipment

成像區(qū)域梯度磁場(chǎng)的測(cè)量流程為：①將主磁體勵(lì)磁至工作電流，此時(shí)中心點(diǎn)磁場(chǎng)為0.7 T；利用測(cè)量工裝測(cè)試成像區(qū)域測(cè)量點(diǎn)處的磁場(chǎng)強(qiáng)度(測(cè)量?jī)x器為Metrolab PT2025核磁共振儀)，該磁場(chǎng)強(qiáng)度為主磁場(chǎng)強(qiáng)度；②將梯度線圈外接一個(gè)恒定電流源，并施加1A電流，再次測(cè)量成像區(qū)域測(cè)量點(diǎn)處的磁場(chǎng)強(qiáng)度，該磁場(chǎng)強(qiáng)度為主磁場(chǎng)強(qiáng)度和梯度磁場(chǎng)強(qiáng)度之和；③將步驟②中的磁場(chǎng)強(qiáng)度減去步驟①中的磁場(chǎng)強(qiáng)度，得到在1A工作電流下，梯度線圈產(chǎn)生的實(shí)際梯度磁場(chǎng)強(qiáng)度。通過上述流程，分別對(duì)z方向梯度線圈和x方向梯度線圈產(chǎn)生的梯度磁場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量，并將實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與四種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見表3。

表3 仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較Tab.3 Comparison between experimental result and simulation result

由于開放式磁共振實(shí)際磁體采用的是結(jié)構(gòu)1的鐵磁介質(zhì)結(jié)構(gòu)，因此實(shí)驗(yàn)結(jié)果與結(jié)構(gòu)1的結(jié)果相近。直接法和鏡像法結(jié)果均存在較大誤差，有限元法和本文方法相對(duì)精度較高，但依舊與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有一定的偏差。造成這種偏差的原因有兩方面，一方面是鐵磁介質(zhì)仿真時(shí)采用的材料屬性和實(shí)際材料屬性有一定偏差，同時(shí)實(shí)際鐵磁介質(zhì)材料本身存在差異；另一方面梯度線圈在實(shí)際制作過程中無法達(dá)到理想模型的精度，并且還需要額外添加進(jìn)出線。

5 結(jié)論

本文基于開放式磁共振的軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出了一種基于扇環(huán)形狀單元的積分方程法計(jì)算開放式磁共振的梯度磁場(chǎng)。利用該方法計(jì)算開放式磁共振的梯度磁場(chǎng)相比現(xiàn)有方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1)計(jì)算精度高且不受磁體結(jié)構(gòu)影響。當(dāng)模型中鐵磁介質(zhì)具有軸對(duì)稱特點(diǎn)或可以采用扇環(huán)單元進(jìn)行近似劃分時(shí)，均可采用本文方法計(jì)算。在兩種開放式磁共振結(jié)構(gòu)中，本文方法的計(jì)算精度已證明具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

(2)計(jì)算效率高。本文方法只對(duì)鐵磁介質(zhì)劃分網(wǎng)格，相對(duì)于有限元法中存在大量的空氣域網(wǎng)格，可以節(jié)省大量計(jì)算資源，有效提高計(jì)算效率。

(3)有利于重復(fù)校驗(yàn)和后續(xù)優(yōu)化算法。在鐵磁介質(zhì)結(jié)構(gòu)不變時(shí)，本文方法只需計(jì)算一次系數(shù)矩陣。在重復(fù)驗(yàn)算和優(yōu)化的迭代計(jì)算中，具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果都很好地驗(yàn)證了本文方法在計(jì)算精度和計(jì)算效率上的優(yōu)勢(shì)，因此本文方法有利于開放式磁共振梯度線圈的實(shí)際驗(yàn)算，并對(duì)后續(xù)的優(yōu)化計(jì)算具有一定的參考意義。

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A fast calculation method of gradient field in biplanar MRI

ZHU Xu-chen1,2, WANG Qiu-liang1, WANG Hou-sheng1

(1. Institute of Electrical Engineering， Chinese Academy of Sciences， Beijing 100190， China; 2. University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100049， China)

Gradient coil is one of the key components in the magnetic resonance imaging (MRI) system. The effect of gradient magnetic field is to provide the spatial orientation of imaging. In biplanar MRI system, a large number of ferromagnetic materials would destroy the gradient magnetic field, so it is necessary to calibrate the gradient magnetic field. Aiming at the structural characteristics of biplanar MRI, a new method to calculate the gradient magnetic field in three dimensional model based on the integral equation method and sector-ring element is presented in this paper. In two different MRI structures, simulation results of the proposed method is compared with the method without ferromagnetic materials, mirror method and finite element method. It is proved that the proposed method can effectively reduce the computing time and has a significant advantage in the repeated calculation and iterative optimization while ensuring the accuracy. Experimental results also show that the proposed method has good reliability.

biplanar MRI; ferromagnetic material; gradient coil; integral-equation method

2016-01-20

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(50925726； 50577063)

朱旭晨(1989-)， 男， 上海籍， 博士研究生， 研究方向?yàn)榇殴舱癯上裣到y(tǒng)電磁設(shè)計(jì)與優(yōu)化; 王秋良(1965-)， 男， 湖北籍， 研究員， 博士， 研究方向?yàn)槌瑢?dǎo)磁體與強(qiáng)磁場(chǎng)應(yīng)用。

TM153

A

1003-3076(2016)10-0043-06