“數(shù)學(xué)哲學(xué)”原理在解題中“給力”

☉江蘇省南京市雨花臺區(qū)教師發(fā)展中心　劉春書

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“數(shù)學(xué)哲學(xué)”原理在解題中“給力”

☉江蘇省南京市雨花臺區(qū)教師發(fā)展中心劉春書

一、引言

一道題目的評析過程，可謂“一波三折”，學(xué)生思路完全缺失，意外不斷.盡管不斷啟發(fā)，但始終未達(dá)預(yù)設(shè)，反而越走越遠(yuǎn).這一過程觸發(fā)了從猜想到證明的一系列反思，最后演化為對解決數(shù)學(xué)問題具有指導(dǎo)意義的三個“數(shù)學(xué)哲學(xué)”原理.其中“一般問題特殊化”指對變化的問題可以利用特殊位置或特殊值進(jìn)行猜想，尋覓問題本質(zhì)；“量變產(chǎn)生質(zhì)定”指通過變量的表示、轉(zhuǎn)化，最終消去變量或求出變量，從而確定本質(zhì)；“以定研變得不變”指從條件入手分析，尋找定的元素，再以此為突破口研究變化的量或位置，最終得出定量或量與量之間不變的關(guān)系.這三個理論統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)哲學(xué)”原理.

二、評析簡錄

問題1：如圖1，在矩形ABCD中，P為AD邊上的一個動點，PE、PF分別垂直于AC、BD，垂足為E、F，若AB＝3，BC＝4，請問：在點P運(yùn)動的過程中PE+PF為多少？

圖1

出示本題，學(xué)生無思路，給啟發(fā)：PE與PF是什么？能想到什么？要好好利用這一條件，幾分鐘后，學(xué)生仍舊無法打開思路，于是回憶一道曾經(jīng)做過的題目.

問題2：如圖2，已知等邊△ABC的邊長為2，三角形內(nèi)有一點P，PE、PF、PG分別垂直AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G，求PE+PF+PG的長度.

這是一道到用面積關(guān)系解決的經(jīng)典題，學(xué)生很快給出了解題思路.請大家再思考問題1，本以為即將柳暗花明又一村，可困境依舊.

圖2

生1：如圖3，將點P運(yùn)動到點A，此時P、A、E三點重合，這樣PE+PF＝0+PF，然后在△ABD中利用面積求出PF，即，求得PF＝

圖3

師：“一般問題特殊化”分析，這是極限思維，這樣的分析只能用于猜想，不能作為說理.同學(xué)們遇到問題要好好分析條件，思考由條件能夠聯(lián)想到什么？

生2：△AEP∽△ADC∽△DFP.

筆者驚呆了，這與自己的預(yù)設(shè)越來越遠(yuǎn)，怎么辦？再次有點沉不住氣了，就在筆者左右為難之時，學(xué)生3突然舉手.

生3：可以利用△AEP∽△ADC∽△DFP.

師：你說什么？那你說說怎么做？（這完全出乎自己的意料，好在平時具有相信學(xué)生和依靠學(xué)生的習(xí)慣）

其實本解法是在學(xué)生2的啟發(fā)下，對問題進(jìn)行了一次定“質(zhì)”的研究，即變中不變，點P在運(yùn)動的過程中，△AEP與△DFP的大小變，但其形狀不變，則與定△ADC存在相似的關(guān)系.立刻在筆者的腦海中產(chǎn)生這樣的一個巨大的問號：是不是所有問題的解決都需要進(jìn)行定質(zhì)的思考？也許這就是學(xué)生不能解決問題的根源所在.于是試著從這一角度進(jìn)行再次引導(dǎo).

師：無論點P怎么運(yùn)動，有無其他的定量或量與量之間固定的關(guān)系？

2分鐘后，許多學(xué)生陸續(xù)有了正確的思路.

生4：如圖4，無論點P怎么運(yùn)動，△AOD的面積不變，△AOP與△DOP的面積和等于△AOD的面積.

在矩形ABCD中，連接PO，S矩形ABCD=AB×BC=3×4=12.

圖4

三、提煉反思

首先，一般問題特殊化.數(shù)學(xué)、哲學(xué)、數(shù)學(xué)哲學(xué)，三者的關(guān)系從普遍、一般再到特殊，數(shù)學(xué)哲學(xué)為數(shù)學(xué)指引方向.結(jié)合本題的突破過程不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)哲學(xué)在此發(fā)揮的作用，即在不知道PE與PF的和為多少時，運(yùn)用了極限思維，就是一般問題特殊化，從而猜出PE與PF的和為.這正是一次數(shù)學(xué)哲學(xué)的應(yīng)用，世間萬物具有普遍性、一般性，同時具有其特殊性，往往特殊性就是研究普遍性與一般性的突破口.大凡科學(xué)研究都需經(jīng)歷一個從特殊去猜想，從一般去實驗、推理的過程.這一節(jié)課的分析過程正是一次“數(shù)學(xué)哲學(xué)”最生動的體現(xiàn).應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生利用這一數(shù)學(xué)哲學(xué)原理去解決數(shù)學(xué)問題.

其次，量變產(chǎn)生質(zhì)定.其實在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，就應(yīng)用到這一數(shù)學(xué)哲學(xué).質(zhì)為萬事萬物的本質(zhì)，量就是事物的變化中的數(shù)量.也就是從量的角度去分析、推理、轉(zhuǎn)化，最終得到質(zhì)的確定.數(shù)學(xué)是研究量與量的關(guān)系的一門學(xué)科，量分定量與變量，既要研究常量，更要研究變量，對于不確定量與變量的研究，自然想到字母，因為字母具有代表性、一般性、普遍性.比如，從相似設(shè)AP長為x，經(jīng)過對應(yīng)邊成比例，分別用x表示出PE與PF，再將PE與PF相加，消去變量x，最終PE與PF和的本質(zhì)為一定值.這又是一個數(shù)學(xué)哲學(xué)原理：量變產(chǎn)生質(zhì)定.

最后，以定研變得不變.世間萬物是相克的，其實在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，就應(yīng)用到這一數(shù)學(xué)哲學(xué)：以定研變得不變.比如，本問題中盡管PE與PF的線段長度隨點P的運(yùn)動而變化，經(jīng)歷一波三折后，最終成功突破就是依賴于△AEP∽△ADC∽△DFP和△AOP與△DOP的面積和等于△AOD的面積這些“定”的元素，就是變中不變，定的元素不僅有量定，更為關(guān)鍵的是數(shù)量之間的定關(guān)系，圖形的形狀不變與位置不變，這是問題解決的突破口，是學(xué)生解決問題所缺少的思路.也就是先從條件去聯(lián)想，確定那些定元素，再來研究問題就勢如破竹.若不能確定定的元素，那就意味條件沒有起到作用，問題就無法解決.因而數(shù)學(xué)問題的解決必須具備以定研變得不變的“數(shù)學(xué)哲學(xué)”原理.

四、回歸應(yīng)用

在哲學(xué)發(fā)展的各個階段都閃耀著數(shù)學(xué)的光芒，數(shù)學(xué)尤其是幾何學(xué)對哲學(xué)的影響極為深遠(yuǎn)，通過本案例又折射出數(shù)學(xué)問題的解決離不開哲學(xué)，這就是數(shù)學(xué)哲學(xué)原理.本人通過這次反思，逐漸形成了一套解決數(shù)學(xué)問題的理念體系，把一般問題特殊化、量變產(chǎn)生質(zhì)定、以定研變得不變統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)哲學(xué)”原理.一套私下里被筆者叫做“‘?dāng)?shù)學(xué)哲學(xué)’原理”就這樣誕生了.

“一般問題特殊化、量變產(chǎn)生質(zhì)定、以定研變得不變”是經(jīng)歷實踐反思與理論學(xué)習(xí)的綜合提煉，更是在實踐中不斷應(yīng)用而證實的產(chǎn)物.本人就結(jié)合具體數(shù)學(xué)問題與您一同體驗數(shù)學(xué)哲學(xué)原理的魅力.

問題3：如圖5，正方形的ABCD邊長為1，AB上一動點E，以BE為邊作正方形EFGB，則△AFC的面積為________.

圖5

本題具有一定難度，學(xué)生不能順利解決合乎情理，原因是學(xué)生缺少數(shù)學(xué)哲學(xué)原理.試著引導(dǎo)用數(shù)學(xué)哲學(xué)原理去思考，學(xué)生會很快完成猜想與說理，著實讓筆者更加堅信數(shù)學(xué)哲學(xué)原理的強(qiáng)大效應(yīng).比如，將點E特殊化，即點E與B重合時，如圖6，△AFC就演變成△ABC，面積等于.當(dāng)點E與A重合時，如圖7，S△AFC=AF×CD×這是運(yùn)用了數(shù)學(xué)哲學(xué)原理一“一般問題特殊化”去猜想結(jié)論.然后再用“量變產(chǎn)生質(zhì)定”原理進(jìn)行推理證明.如圖8，設(shè)BE為x，則S△AFC=S長方形HGCD-S△FGC-S△ACD-S△AHF=1×（1+x）

圖6

圖7

圖8

通過變量表示、轉(zhuǎn)化最終得到S△AFC是定值，當(dāng)然在推理的過程中用到了定的本質(zhì)，就是S△AFC等于長方形HGCD的面積減去S△FGC、S△ACD、S△AHF的和.由此可見“以定研變得不變”的原理是解決數(shù)學(xué)問題的核心.

問題4：已知二次函數(shù)y＝mx2-2mx+3，此二次函數(shù)一定過哪兩個定點，兩定點的坐標(biāo)為：____________.

方法一：（一般問題特殊化）令m＝1，得到y(tǒng)＝x2-2x+3；再令m＝-1，得到y(tǒng)＝-x2+2x+3，然后得到x2-2x+3＝-x2+2x+ 3，解得x1＝0或x2＝2，y＝3，即定點為（0，3）與（2，3）.

方法二：（量變產(chǎn)生質(zhì)定）既然是定點那就與變量m無關(guān)，這就要消去m，只有mx2-2mx＝0，因為m≠0，所以x＝0或x＝2，此時y＝3，即定點為（0，3）與（2，3）.

方法三：（以定研變得不變）盡管m不確定，但基于條件一般式的c是定的，即拋物線與y軸的交點為（0，3），對稱軸x＝-＝1也是定的，由拋物線的對稱性得到另一定點（2，3）.

問題5：如圖9，已知點A（6，0），O為坐標(biāo)原點，點P是線段OA上任意一點（不含頂點A，O），過P、O兩點的二次函數(shù)y1和過P、A兩點的二次函數(shù)y2的圖像開口均向下，它們的頂點分別為B、C，射線OB、AC相交于點D.當(dāng)OD＝AD＝5時，這兩個二次函數(shù)的最大值之和為_______.

圖9

方法一：（一般問題特殊化）如圖10，將點P平移與點O重合，點B與點O重合，此時點C與點D重合，可知y1的最大值為0，y2的最大值為D點的縱坐標(biāo)，作DH⊥x軸，垂足為H，由勾股定理可得DH＝4，y1的最大值與y2的最大值之和為4.

圖10

方法二：（量變產(chǎn)生質(zhì)定）如圖11，在點P運(yùn)動的過程中，OP的長度是變化的，為體現(xiàn)一般性，設(shè)OP為a，作BE⊥x軸，垂足為E，OE為；作CH⊥x軸，垂足為H，AH＝，作DF⊥x軸，垂足為F.

圖11

方法三：（以定研變得不變）如圖12，點P在滑動的過程中不變的有：△OBP、△ACP的形狀不變，為等腰三角形；△OBP∽△ACP∽△ODA的關(guān)系不變；四邊形BPCD為平行四邊形.易證四邊形CMFH為矩形，可得CH＝MF；易證△BEP≌△DMC，可得BE＝DM，則CH+BE＝MF+DM＝4.

圖12

這樣的例子不勝枚舉，其實只要時時、處處試著去用數(shù)學(xué)哲學(xué)原理思考問題，就會發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，任何數(shù)學(xué)問題都能迎刃而解.