簡(jiǎn)單的數(shù)字 不簡(jiǎn)單的推理
——“九宮數(shù)獨(dú)”益智學(xué)具的教學(xué)設(shè)計(jì)

趙羽佳 王 紅

(黑龍江省大慶市直屬機(jī)關(guān)第二小學(xué)，大慶 163311)

簡(jiǎn)單的數(shù)字 不簡(jiǎn)單的推理
——“九宮數(shù)獨(dú)”益智學(xué)具的教學(xué)設(shè)計(jì)

趙羽佳 王 紅

(黑龍江省大慶市直屬機(jī)關(guān)第二小學(xué)，大慶 163311)

一、教學(xué)設(shè)計(jì)思路

數(shù)獨(dú)起源于18世紀(jì)初瑞士數(shù)學(xué)家歐拉等人研究的拉丁方陣，是一項(xiàng)不受時(shí)間、地點(diǎn)、語言限制，十分容易開展的邏輯游戲．它因?yàn)楹?jiǎn)單、易學(xué)、便攜，可以增進(jìn)玩者的邏輯能力、開發(fā)大腦智力而風(fēng)靡全球．?dāng)?shù)獨(dú)可分為九宮數(shù)獨(dú)、對(duì)角線數(shù)獨(dú)、迷你數(shù)獨(dú)和Killer數(shù)獨(dú)等多種類型．

本課通過九宮數(shù)獨(dú)這款益智學(xué)具，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和內(nèi)在動(dòng)力，通過獨(dú)立思考和合作學(xué)習(xí)，探索游戲規(guī)則和解決問題的基本方法，促進(jìn)學(xué)生觀察、分析及邏輯推理的能力．先以班級(jí)為單位，再以小組為單位進(jìn)行合作，通過思考、交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生的合作意識(shí)和探究精神．通過教師精心設(shè)計(jì)的兩道例題，培養(yǎng)有序、兼顧全局地思考問題的意識(shí)．

(一)教學(xué)內(nèi)容分析

1.教學(xué)內(nèi)容

本課主要用到的九宮數(shù)獨(dú)由9×9的棋盤組成，盤面是個(gè)九宮，每一宮又分為九個(gè)小格．九宮數(shù)獨(dú)的游戲規(guī)則是：根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一宮內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復(fù)．每道數(shù)獨(dú)題的答案是唯一的，一個(gè)已解答的九宮數(shù)獨(dú)其實(shí)是一種多宮的限制的拉丁方陣．雖然玩法簡(jiǎn)單，但數(shù)字的排列方式卻有成千上萬種，并且涵蓋多個(gè)難度，可能需要花上5分鐘甚至幾小時(shí)去解一道謎題，所以是提高觀察、分析及推理能力的極佳益智游戲．

這種游戲只需要邏輯推理能力，數(shù)獨(dú)上的數(shù)字沒有運(yùn)算價(jià)值，僅僅代表相互區(qū)分的不同個(gè)體，因此可以使用其他的符號(hào)比如拉丁字母、羅馬字母甚至是不同形狀的圖案或不同的顏色來代替．

2.知識(shí)的前后聯(lián)系(如圖1)

圖1

3.相關(guān)知識(shí)分析

在北師大版《數(shù)學(xué)(三年級(jí)下冊(cè))》的“數(shù)學(xué)好玩”《有趣的推理》一課中，學(xué)生已經(jīng)接觸了邏輯推理的知識(shí)，能夠根據(jù)已知信息有序地進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理．

(二)學(xué)情分析

五年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備簡(jiǎn)單的邏輯思維推理能力，我校益智學(xué)具校本課程班的學(xué)生，已經(jīng)初步掌握了四宮數(shù)獨(dú)和六宮數(shù)獨(dú)的規(guī)則，并在實(shí)際操作中積累了玩四宮數(shù)獨(dú)和六宮數(shù)獨(dú)的簡(jiǎn)單方法和少量經(jīng)驗(yàn)．在課前自主預(yù)習(xí)中，孩子們對(duì)九宮數(shù)獨(dú)產(chǎn)生了濃厚的興趣，并有了初步的認(rèn)識(shí)，但是缺乏清晰的邏輯推理過程和對(duì)有81個(gè)格的九宮數(shù)獨(dú)的全局思考意識(shí)．本課根據(jù)學(xué)生的這些特點(diǎn)，用他們感興趣的方式進(jìn)行教學(xué)，以便更有效地培育他們的智力、挖掘他們的潛能．九宮數(shù)獨(dú)的教學(xué)內(nèi)容，就是在學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高學(xué)生的邏輯思維推理能力，培養(yǎng)學(xué)生有序、全面地思考問題的意識(shí)．

二、教學(xué)目標(biāo)

(1)親歷“九宮數(shù)獨(dú)”益智學(xué)具的探究活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)玩“九宮數(shù)獨(dú)”的基本方法——屏除法．熟練運(yùn)用游戲規(guī)則和屏除法完成有一定難度的九宮數(shù)獨(dú)．

(2)通過“九宮數(shù)獨(dú)”益智學(xué)具的使用，培養(yǎng)學(xué)生有序、兼顧全局地思考問題的意識(shí)，提高數(shù)學(xué)邏輯推理能力．

(3)在“九宮數(shù)獨(dú)”益智學(xué)具合作學(xué)習(xí)的過程中，提升思維深度，培養(yǎng)認(rèn)真傾聽的學(xué)習(xí)習(xí)慣，體驗(yàn)成功的喜悅．

三、教學(xué)要點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：了解“九宮數(shù)獨(dú)”游戲規(guī)則，掌握解決“九宮數(shù)獨(dú)”游戲的屏除法．

教學(xué)難點(diǎn)：熟練運(yùn)用“九宮數(shù)獨(dú)”游戲規(guī)則和屏除法解決數(shù)獨(dú)游戲．

教學(xué)關(guān)鍵：培養(yǎng)有序、全面地思考問題的意識(shí)．

四、教學(xué)準(zhǔn)備

教師準(zhǔn)備：多媒體課件、九宮數(shù)獨(dú)益智學(xué)具、九宮數(shù)獨(dú)練習(xí)題單．

學(xué)生準(zhǔn)備：筆、九宮數(shù)獨(dú)益智學(xué)具．

五、教學(xué)過程

(一)興趣導(dǎo)入

師：“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了四宮數(shù)獨(dú)和六宮數(shù)獨(dú)，本節(jié)課來學(xué)習(xí)更高級(jí)別的數(shù)獨(dú)，請(qǐng)先看一段視頻吧．”

播放國家級(jí)數(shù)獨(dú)選手選拔賽視頻片段．

【設(shè)計(jì)意圖】上課伊始，教師通過數(shù)獨(dú)選拔賽視頻導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)獨(dú)的興趣和求知欲望，引入九宮數(shù)獨(dú)．

(二)初識(shí)九宮數(shù)獨(dú)

1.發(fā)現(xiàn)規(guī)則

師：“如視頻中介紹，我國每年都要通過比賽選拔數(shù)獨(dú)國家隊(duì)選手，這些選手要代表中國參加國際賽事呢！比賽中用到的數(shù)獨(dú)就是九宮數(shù)獨(dú)，它是最標(biāo)準(zhǔn)、最常見的數(shù)獨(dú)形式．仔細(xì)觀察(如圖2)，在四宮數(shù)獨(dú)、六宮數(shù)獨(dú)的基礎(chǔ)上，九宮數(shù)獨(dú)又有什么特點(diǎn)呢？”

圖2

生：“九宮數(shù)獨(dú)有九行、九列、九宮，而且每行、每列、每宮都含有1～9九個(gè)數(shù)字，且不重復(fù)．”

師：“總結(jié)得真棒！每行、每列、每宮都含有數(shù)字1～9，且不重復(fù)．這就是九宮數(shù)獨(dú)的規(guī)則．”

(板書：行、列、宮都含有數(shù)字1～9，不重復(fù)．)

2.運(yùn)用規(guī)則

師：“九宮數(shù)獨(dú)的規(guī)則我們已經(jīng)清楚了，那你能推理出這道數(shù)獨(dú)題(如圖3)中ABCD分別代表幾嗎？”

【設(shè)計(jì)意圖】在運(yùn)用規(guī)則中，熟悉規(guī)則，掌握規(guī)則，為之后的活動(dòng)打好基礎(chǔ)．

圖3

生：“我能推理出A代表幾，看第一行有數(shù)字1～8，只缺少9，所以A只能是9．”

生：“我的方法和他不一樣，我看第三宮也只缺少9，所以A只能是9．”

生：“我能推理出B，看第五列或者第八宮都只缺少8，所以B只能是8．”

師：“你們用的是我們學(xué)過的唯一法，真會(huì)學(xué)以致用！那如果B代表4可以嗎？”

生：“不可以，B是4的話，第五列或者第八宮都含有兩個(gè)4了，不符合規(guī)則．”

【設(shè)計(jì)意圖】此處反問，引起學(xué)生對(duì)數(shù)獨(dú)規(guī)則的重新審視，引導(dǎo)學(xué)生每個(gè)格都要認(rèn)真考慮，及時(shí)檢查．

師：“你的想法表達(dá)得真清晰！那誰能推理出C和D分別代表幾呢？”

生：“我是這樣判斷的，看第一宮缺少數(shù)字3和6，而C所在的第二行已經(jīng)有6了，所以C不能是6，只能是3，D只能是6了．”

師：“你們的推理能力好棒??！其實(shí)你們剛才推理出C和D的過程中，就用到了玩數(shù)獨(dú)游戲的基本方法——屏除法．就是在某行、某列、某宮中找到能填入某一數(shù)字的唯一位置，也就是把行、列、宮中其他空白位置都排除掉．”

(板書：屏除法．)

師：“老師要提醒大家，玩‘?dāng)?shù)獨(dú)’千萬不要憑空猜測(cè)，每個(gè)格的推理都要做到有理有據(jù)，請(qǐng)你推理下這個(gè)A(如圖4)代表幾呢？”

圖4

學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組交流，再匯報(bào)．

生：“我們小組是這樣推理的，A所在的行有7，4，6，所以A不能是7，4，6；A所在的列有5，8，所以A不能是5，8；A所在的宮有1，2，3，所以A不能是1，2，3．所以A只能是9．”

師：“你的推理過程好有條理呀！這道題中，推理A時(shí)你都考慮了哪些因素呢？”

生：“我同時(shí)考慮了A所在的行、列、宮上的數(shù)字．”

師：“你真善于總結(jié)！九宮數(shù)獨(dú)有九九八十一個(gè)格，盤面比較大，所以在推理每一個(gè)格時(shí)，我們都要兼顧行、列、宮，也就是要‘兼顧全局’．”

(板書：兼顧全局．)

(三)實(shí)戰(zhàn)探索，鞏固規(guī)則和方法

1.全班合作填九宮數(shù)獨(dú)

師：“你們想挑戰(zhàn)一個(gè)完整的九宮數(shù)獨(dú)(如圖5)嗎?”

圖5

師：“請(qǐng)同學(xué)們先仔細(xì)觀察和推理，想好的同學(xué)到前面來,邊寫邊大聲地闡述自己的想法,其他同學(xué)要認(rèn)真傾聽和檢驗(yàn)．誰愿意第一個(gè)到前面來講?”

通過仔細(xì)觀察和推理，部分學(xué)生上白板前填寫數(shù)獨(dú)，并交流推理過程，其他學(xué)生學(xué)習(xí)其推理過程并檢驗(yàn)，逐漸熟悉規(guī)則和方法．

師：“老師有個(gè)問題想向你請(qǐng)教一下，你是如何確定先填這兩個(gè)格的呢？”

生：“因?yàn)檫@一列已知數(shù)比較多，比較好推理未知數(shù)．”

師：“這真是個(gè)不錯(cuò)的推理入手點(diǎn)！”

有的學(xué)生在推理過程中，利用到前幾位學(xué)生剛填好的數(shù)字．

師：“哇！我發(fā)現(xiàn)上一位同學(xué)剛剛填好的數(shù)你立刻就利用上了呢！思維真靈活呀！同學(xué)們快看，你填的每一個(gè)數(shù)都可能會(huì)影響接下來的推理，所以我們填每一個(gè)數(shù)都要認(rèn)真、仔細(xì)！”

師：“剩下的空格很少了，接下來請(qǐng)同學(xué)上來只填數(shù)，下面和他想法一樣的同學(xué)來判斷對(duì)錯(cuò)，想法不同的請(qǐng)舉手．”

已經(jīng)推理出未知數(shù)的學(xué)生上前填數(shù)，其他學(xué)生判斷正誤．

【設(shè)計(jì)意圖】第一層思維訓(xùn)練以班級(jí)為單位，合作完成一道數(shù)獨(dú)題，讓學(xué)生在他人思路的啟發(fā)下逐漸熟悉九宮數(shù)獨(dú)的游戲規(guī)則和基本方法，培養(yǎng)有序、兼顧全局地思考問題的意識(shí)．一道數(shù)獨(dú)題答案是唯一的，但是解決這道題的思路和切入點(diǎn)卻是多樣化的，所以在這個(gè)環(huán)節(jié)中，請(qǐng)學(xué)生們來介紹他們的思路，以達(dá)到互相交流、互相啟發(fā)、逐步熟悉規(guī)則和方法的目的．

2.小組合作填九宮數(shù)獨(dú)

師：“剛剛我們用集體智慧完成了第一個(gè)九宮數(shù)獨(dú)，你們還想再挑戰(zhàn)一次嗎？”

師：“接下來挑戰(zhàn)提升,同桌兩人合作完成.請(qǐng)先看好題目要求，一位同學(xué)在填時(shí)，另一位同學(xué)要幫助檢查，然后互換角色，合作完成這道題(如圖6)．請(qǐng)輕輕掀開卡紙,露出棋盤,仔細(xì)校對(duì)已知數(shù)．準(zhǔn)備好了嗎？開始！”

圖6

學(xué)生兩人一組合作填九宮數(shù)獨(dú)，互相交流推理過程，進(jìn)一步熟悉規(guī)則和方法．

師：“大部分小組完成了這次挑戰(zhàn)，沒有完成的小組也僅有幾格之遙啦！你們思維真靈活、敏捷呀！剛才老師巡視時(shí)發(fā)現(xiàn)有一個(gè)小組遇到了困難，填不下去了，請(qǐng)他們來說說他們遇到的問題吧．”

生：“我們遇到了困難，有一個(gè)格無論填哪個(gè)數(shù)都和行、列、宮里其他數(shù)字重復(fù)，然后我們檢查發(fā)現(xiàn)之前有一個(gè)數(shù)字填錯(cuò)了，所以導(dǎo)致現(xiàn)在這個(gè)格填不了了，我們立刻改正了．”

師：“你們真善于反思！通過反思，你想提醒大家做數(shù)獨(dú)題的時(shí)候要注意什么？”

生：“我想提醒大家，做數(shù)獨(dú)時(shí)，每一個(gè)格的推理都要認(rèn)真，填錯(cuò)一個(gè)格，后面的推理就會(huì)出錯(cuò)．”

師：“我們一起回顧下，通過兩次挑戰(zhàn)，你積累了哪些玩九宮數(shù)獨(dú)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？?/p>

獨(dú)立回憶思考，小組交流經(jīng)驗(yàn)，集體匯報(bào)．

生：“我一般先從已知數(shù)多的行、列、宮推理，這樣更快些．”

生：“有時(shí)雖然一個(gè)空格所在的行已知數(shù)少，但是行、列、宮結(jié)合起來看，已知數(shù)就多了，所以要兼顧全局．”

生：“同學(xué)們，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？我發(fā)現(xiàn)同一個(gè)數(shù)字一定會(huì)在同一行的三個(gè)宮中出現(xiàn)三次，而且在這三個(gè)宮的不同行，同一列三個(gè)宮也是一樣．”

師：“你們真善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)！”

【設(shè)計(jì)意圖】第二層思維訓(xùn)練以小組為單位進(jìn)行競(jìng)賽．人數(shù)減少了，思路也就少了，問題也逐漸凸顯，例如有一組孩子因?yàn)橹疤畹臄?shù)是錯(cuò)誤的，且沒有仔細(xì)檢查，導(dǎo)致無法完成這個(gè)數(shù)獨(dú)題，借此時(shí)機(jī)，我讓所有學(xué)生一起反思，更能強(qiáng)化他們的通觀全局、認(rèn)真思考的意識(shí)．

3.靜心思考填九宮數(shù)獨(dú)

師：“剛剛是同桌兩人合作完成了一個(gè)數(shù)獨(dú)，你們想不想自己獨(dú)立完成一個(gè)數(shù)獨(dú)?”

學(xué)生獨(dú)立應(yīng)用新知挑戰(zhàn)一道九宮數(shù)獨(dú)(如圖7)．

圖7

【設(shè)計(jì)意圖】第三層思維訓(xùn)練是學(xué)生獨(dú)立挑戰(zhàn)數(shù)獨(dú)，在沒有同伴的提示下，獨(dú)立思考應(yīng)用九宮數(shù)獨(dú)的游戲規(guī)則和基本方法，兼顧全局來完成九宮數(shù)獨(dú)，在這個(gè)過程中，進(jìn)一步提高學(xué)生的觀察能力、分析能力及推理能力，增強(qiáng)有序、兼顧全局的思考意識(shí)，切實(shí)突破本課的難點(diǎn)．

(四)拓展延伸，延續(xù)興趣

1.多樣的數(shù)獨(dú)

師：“哇！你們才用了五分鐘！真是青出于藍(lán)勝于藍(lán)呢！其實(shí)我們這節(jié)課接觸的這三道數(shù)獨(dú)題是初級(jí)九宮數(shù)獨(dú)，讓我們一起來看看世界上最難的九宮數(shù)獨(dú)題吧(如圖8)！”

圖8

師：“這就是目前世界上公認(rèn)的最難的九宮數(shù)獨(dú)，它僅有21個(gè)已知數(shù)，有60個(gè)空格需要推理，當(dāng)然僅用我們學(xué)過的唯一法和屏除法是無法推理出此題的，還需要運(yùn)用更多的方法,以后我們還會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的．”

師：“還記得老師介紹過九宮數(shù)獨(dú)是數(shù)獨(dú)中最常見最標(biāo)準(zhǔn)的形式嗎？其實(shí)除了九宮數(shù)獨(dú),還有很多另類的數(shù)獨(dú). 請(qǐng)看這個(gè)是對(duì)角線數(shù)獨(dú)，如圖9(1)，它除了要滿足九宮數(shù)獨(dú)的規(guī)則外，還要每條對(duì)角線上的九個(gè)數(shù)字也要含有1～9且不重復(fù)呢．再來看這個(gè)數(shù)獨(dú)，如圖9(2)，它叫殺手?jǐn)?shù)獨(dú)，也叫Killer數(shù)獨(dú)，它除了要滿足九宮數(shù)獨(dú)的規(guī)則外，虛框內(nèi)的數(shù)字之和還要等于框內(nèi)提示數(shù)．還有這種結(jié)合了其他元素的變式數(shù)獨(dú)，如圖9(3)．你發(fā)現(xiàn)了嗎，這幾種數(shù)獨(dú)的基礎(chǔ)都是我們今天學(xué)習(xí)的九宮數(shù)獨(dú)，等我們能熟練地推理九宮數(shù)獨(dú)了，我們就可以挑戰(zhàn)它們了！”

(1)

(2)

(3)圖9

【設(shè)計(jì)意圖】興趣是最好的老師．對(duì)多種數(shù)獨(dú)和變形數(shù)獨(dú)的拓展，激發(fā)孩子繼續(xù)探究數(shù)獨(dú)，保持著求知欲望．

2.多彩的數(shù)獨(dú)

師：“請(qǐng)你思考一下，九宮數(shù)獨(dú)中數(shù)字參與運(yùn)算了嗎？”

學(xué)生獨(dú)立思考，小組交流．

生：“填數(shù)獨(dú)的時(shí)候，沒有計(jì)算．”

師：“對(duì)！其實(shí)九宮數(shù)獨(dú)里的數(shù)字沒有運(yùn)算價(jià)值，它們僅僅代表和區(qū)分不同的個(gè)體，那這樣我們可以用什么符號(hào)來代替數(shù)字呢？”

生：“我想用不同顏色來代替數(shù)字．”

生：“我可以用不同的平面圖形代替數(shù)字．”

生：“還可以用英文字母來代替數(shù)字．”

師：“你能設(shè)計(jì)出游戲規(guī)則嗎？和同伴討論一下你的新規(guī)則是否可行吧！”

生：“我們選九種不同的顏色，規(guī)則是九宮數(shù)獨(dú)中每行、每列、每宮都含有九種顏色，且不重復(fù)．”

生：“我們?cè)O(shè)計(jì)的數(shù)獨(dú)規(guī)則是每行、每列、每宮都含有九個(gè)英文字母，且不重復(fù)．”

生：“我用九種不同的水果替代數(shù)字，每行、每列、每宮都含有九種水果，且不重復(fù)．”

師：“哇！你們的思維真開闊！設(shè)計(jì)的規(guī)則真嚴(yán)謹(jǐn)呀！大家不僅會(huì)玩九宮數(shù)獨(dú)，還能設(shè)計(jì)出有創(chuàng)意的其他數(shù)獨(dú)，并制定出相應(yīng)的游戲規(guī)則，你們真了不起！”

師：“課后請(qǐng)將你設(shè)計(jì)的數(shù)獨(dú)游戲介紹給其他小伙伴或者你的父母吧！教會(huì)他們規(guī)則和方法，讓更多的人熱愛并挑戰(zhàn)數(shù)獨(dú)吧！”

【設(shè)計(jì)意圖】通過獨(dú)立設(shè)計(jì)變形數(shù)獨(dú)的游戲規(guī)則，將數(shù)獨(dú)的規(guī)則和解題方法熟練應(yīng)用，達(dá)到“結(jié)課不結(jié)趣”的目的，延伸學(xué)生對(duì)數(shù)獨(dú)的濃厚興趣．

六、專家點(diǎn)評(píng)

趙老師這節(jié)益智學(xué)具課堂讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了九宮數(shù)獨(dú)的演變歷史，充分挖掘了這個(gè)學(xué)具的特點(diǎn)，以訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力、開發(fā)大腦智力為主，體現(xiàn)了益智學(xué)具的優(yōu)越性．整節(jié)課環(huán)節(jié)清晰，先是全班同學(xué)一起來完成數(shù)獨(dú)，集體的智慧是多樣而又迅速的；接著減少人數(shù)，小組合作完成數(shù)獨(dú)，人數(shù)少了，思路也就少了；最后學(xué)生用自己掌握的“屏除法”獨(dú)立完成數(shù)獨(dú)，完全訓(xùn)練個(gè)人的推理能力．這樣一步步減少人數(shù)，一層層增加難度，在“玩”中引導(dǎo)、培養(yǎng)孩子的思維能力．在課的結(jié)尾，趙老師對(duì)數(shù)獨(dú)作了很好的拓展，讓學(xué)生用不同的字母或圖形來設(shè)計(jì)數(shù)獨(dú)，真正達(dá)到了“結(jié)課不結(jié)趣”的目的．整節(jié)課趙老師以益智學(xué)具為思維訓(xùn)練的載體，在關(guān)注學(xué)生思考力培養(yǎng)目標(biāo)的前提下進(jìn)行精心的設(shè)計(jì)和安排，使學(xué)生在課上積極動(dòng)手、動(dòng)腦，充分感受邏輯推理、遷移等思維過程，是一節(jié)成功的教學(xué)科研展示課．

點(diǎn)評(píng)人：黑龍江省大慶市直屬機(jī)關(guān)第二小學(xué) 王琰

(責(zé)任編輯：李 佳)

*視頻見光盤