函數(shù)極限求法的研究

【關(guān)鍵詞】極限；函數(shù)；數(shù)列；極限運(yùn)算

極限定義的高度抽象，使的我們很難用極限定義本身去求極限，又由于極限運(yùn)用分布于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的始終，許多重要的概念是由極限定義的，反過(guò)來(lái)我們又可以利用這些概念來(lái)求極限，所以極限的運(yùn)算方法十分繁多，針對(duì)這樣的情況本題論文會(huì)對(duì)極限的方法進(jìn)行總結(jié)性的研究。這方面的研究可以使的讀者善于從多角度多方位的去探索同一問(wèn)題，擴(kuò)展解題思路，尋找合適的解題方法，提高解題能力，同時(shí)也整合了讀者的知識(shí)框架，培養(yǎng)了讀者發(fā)散性思維的能力。

極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，描述了數(shù)列以及函數(shù)在趨于無(wú)限的過(guò)程中的變化趨勢(shì)，讓大家的認(rèn)識(shí)從有限擴(kuò)展到無(wú)限，從近似輾轉(zhuǎn)到精確，從量變飛躍質(zhì)變，是一種系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。求極限的方法也有很多。就具體的方法在題目中的運(yùn)用做了以下分類(lèi)。

1 利用極限的四則運(yùn)算法則

例題 1 ：求

解：

例題2 ：求

解：由于當(dāng)x→-1時(shí)，x3+1→0，x3-1→0，因此

不符合四則運(yùn)算法則的條件，需要進(jìn)行恒等變換：即消去當(dāng)x→-1時(shí)，分子分母為0的因子x+1后方可以利用極限四則運(yùn)算法則求解。

2 利用夾逼定理

夾逼定理：設(shè)an≤cn≤bn，

，則.

例題3：計(jì)算

解：設(shè)

則顯然有：an≤cn≤bn，

而，

，

于是，由夾逼定理可得：.

3 利用兩個(gè)重要的極限

兩重要極限：；.

例題4 ：求.

解：令t=π-x，則sinx=sin（π-t）=sint，且當(dāng)x→π時(shí)t→0所以有

.

4 利用無(wú)窮小量（不為零）的倒數(shù)為無(wú)窮大量，無(wú)窮大量的倒數(shù)為無(wú)窮小量

例題5 ：求

解：當(dāng)x→3時(shí)，

（注：是錯(cuò)誤的）

例題：求

解：當(dāng) x→∞時(shí)，

（注： 是錯(cuò)誤的）

5 利用無(wú)窮小量與有界變量的乘積是無(wú)窮小量

例題6 ：求

解：，而

.

6 利用等價(jià)無(wú)窮小量的代換.

設(shè)α～α'，β～β'，且存在，則

例題7 ：求

解：

7 利用積分中值定理求極限

設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，則，使得.積分中值定理的推廣形式是，設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，g（x）在[a，b]上不變號(hào)，則，使得.

例題8 ：求極限

解：

（0≤ξ≤1）.

8 利用變量代換求極限

例題9 ：求

解：設(shè)arccosx=1，則x=sint，當(dāng)x→0時(shí)，t→0.

9 利用左右極限判斷與求分段點(diǎn)處的極限

例題10 ：

解：

10 利用泰勒公式求極限

在極限含有復(fù)合式時(shí)，利用泰勒公式求極限是一種極為有效的方法

例題11：求

11 結(jié)束語(yǔ)

歸納以上求極限的解題方法，讓讀者對(duì)極限的基本概論做了全方位的疏通，在解題思路上有了明確的認(rèn)識(shí)，針對(duì)極限問(wèn)題具體分析，靈活的運(yùn)用求極限的法則，較熟練的選擇簡(jiǎn)便的方法。

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