淺談基本不等式與最大（小）值

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)（5）必修》（北京師范大學(xué)出版社）第三章第三節(jié)（3.2）《基本不等式與最大（小）值》。根據(jù)教學(xué)大綱和我所任教的學(xué)生的實(shí)際情況，我將《基本不等式與最大（?。┲怠穭澐譃閮晒?jié)課（基本不等式求最大（?。┲?，基本不等式求最大（?。┲档膶?shí)際應(yīng)用），這是第一節(jié)課“基本不等式與最大（?。┲怠?。利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)命題，是進(jìn)一步對(duì)基本不等式的運(yùn)用，同時(shí)也加深對(duì)函數(shù)的值域方法求解的拓展，而且在高考和實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，所以重點(diǎn)研究。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

基本不等式與最大（?。┲凳窃趯W(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了基本不等式，基本掌握了基本不等式的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，是學(xué)生對(duì)基本不等式的第一次應(yīng)用。教材在之前的學(xué)習(xí)中給出了兩個(gè)實(shí)際例子（定長(zhǎng)的鐵絲制作矩形面積最大和定面積的矩形求最小的周長(zhǎng)），已經(jīng)讓學(xué)生感受到基本不等式的實(shí)際背景，這兩個(gè)例子在實(shí)際生活中是很常見(jiàn)的最優(yōu)問(wèn)題。

三、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)任教班級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況，本節(jié)課我確定的教學(xué)目標(biāo)是：

掌握用基本不等式求函數(shù)（代數(shù)式）最值的方法，會(huì)靈活地創(chuàng)造基本不等式條件求最值

通過(guò)創(chuàng)設(shè)基本不等式條件的過(guò)程，讓學(xué)生加深理解，體驗(yàn)創(chuàng)造的樂(lè)趣，激發(fā)積極探索精神。

四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式與最大（小）值。

教學(xué)難點(diǎn)：如何變形，拼湊定值、靈活應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)條件求函數(shù)（代數(shù)式）的最值;多次使用不等式等號(hào)要同時(shí)成立、不能使用基本不等式要轉(zhuǎn)移到利用單調(diào)性求函數(shù)值域。

五、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情景，復(fù)習(xí)導(dǎo)入，提出問(wèn)題（約3分鐘）

1.利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值

①y=x（2-x），（0lt;xlt;2）;

②

師：求函數(shù)值域的一般方法是什么？以上兩題求法是否一樣呢？

生：第一小題直接利用一元二次函數(shù)性質(zhì)在某區(qū)間上求值域;第二小題利用函數(shù)的單調(diào)性求值域，這樣就可以把函數(shù)的最值求出來(lái)了。

另生：兩題可以統(tǒng)一到都用函數(shù)單調(diào)性求最值

引導(dǎo)學(xué)生回憶和拓展

【學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生可能說(shuō)零散的性質(zhì)，一部分同學(xué)可能淡忘了關(guān)于對(duì)號(hào)函數(shù)的性質(zhì)】

師：對(duì)于對(duì)號(hào)型函數(shù)的性質(zhì)，是否還能回憶起來(lái)如：，特別是單調(diào)性分界點(diǎn)的把握即

【設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)回憶對(duì)號(hào)函數(shù)，對(duì)于后面利用命題求函數(shù)的值域具有很好的指導(dǎo)性作用;而且為當(dāng)使用兩個(gè)命題失效時(shí)具有很好的啟發(fā)作用。數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生直觀掌握性質(zhì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣和欲望?！?/p>

（二）導(dǎo)入新課（約3分鐘）

不等式 ≥（agt;0，bgt;0）是解決最大（小）值問(wèn)題的有力工具.

引例：你可以把一段16cm長(zhǎng)的細(xì)鐵絲彎成形狀不同的矩形，如邊長(zhǎng)為4cm的正方形;長(zhǎng)5cm寬3cm的矩形;長(zhǎng)6cm寬2cm的矩形……，你會(huì)發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為4cm的那個(gè)正方形的面積最大.

在面積為16cm2的所有不同形狀的矩形中，邊長(zhǎng)為4cm的那個(gè)正方形的周長(zhǎng)最小.

【學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生經(jīng)過(guò)預(yù)習(xí)，回答總結(jié)這個(gè)問(wèn)題不難，需要注意的是如何把語(yǔ)言文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)，同時(shí)也有利于兩個(gè)命題的引出和識(shí)記】

這表明，x，y都為正數(shù)時(shí)，下面的命題成立：

（1）若x+y=s（和為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，積xy取得最大值;

（2）若xy=p（積為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，和x+y取得最小值2.

師：使用以上兩個(gè)命題，需要注意哪些方面

生：結(jié)合課本P91右邊藍(lán)色區(qū)域說(shuō)明，得到一正，二定，三相等即：“正”很容易理解，“定值”就是“和定乘積有最大值，積定和就最小值”，“相等”就是使得等號(hào)成立求的最值時(shí)，變量是否存在。

師：剛才這個(gè)小組總結(jié)的很好，很全面。還要強(qiáng)調(diào)的是對(duì)于命題中x，y字母使用時(shí)候可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從整個(gè)思維上有個(gè)先覺(jué)認(rèn)識(shí)，熟悉命題使用條件，特別是如何更好地創(chuàng)造定值條件，去求最值，擴(kuò)大使用范圍?！?/p>

（三）推進(jìn)新課

通過(guò)例題及練習(xí)加深對(duì)命題的理解、掌握。

1.命題（1）（約6分鐘）

【學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生盡管理解了兩個(gè)命題但是在使用的時(shí)候仍然是難以很好很順利的求解，必須通過(guò)例題練習(xí)加以掌握】

例1 設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，且2x+5y=20，求u=lgx+lgy的最大值.

引導(dǎo)：很明顯是使用命題（1），注意命題中字母是單項(xiàng)式，而且所求轉(zhuǎn)化為u=lgx+lgy=lg（xy）。由2x+5y=20定值易得10xy的最大值，那易得xy的最大值了。

解：因?yàn)閤gt;y，ygt;0，得20=2x+5y≥ .

即xy≤10.當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y時(shí)，等號(hào)成立，因此有解得x=5，y=2.當(dāng)x=5，y=2時(shí)，xy有最大值10.u=lgx+lgy=lgxy≤lg10=1.所以，當(dāng)x=5，y=2時(shí)，u=lgx+lgy有最大值1.

【設(shè)計(jì)意圖：熟悉使用命題（1）解決最大值問(wèn)題，板書(shū)規(guī)范解題步驟，規(guī)范解題】

（四）歸納小結(jié)（小組總結(jié)，教師點(diǎn)撥）（約5-10分鐘）

分組討論本節(jié)課主要知識(shí)內(nèi)容，方法，分別找一組總結(jié)內(nèi)容、一組總結(jié)解題方法、一組解題特別需要強(qiáng)調(diào)的，注意一組討論回答，其他組給予補(bǔ)充，小組量化加分提高積極性。

1.內(nèi)容：基本上是和定求乘積最大，積定求和最小;一正，二定，三相等。

2.方法：數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化化歸，類(lèi)比，拼湊思想化為定值運(yùn)用兩個(gè)命題。

3.特別強(qiáng)調(diào)：命題失效時(shí)轉(zhuǎn)而利用函數(shù)單調(diào)性判斷;多次使用不等式時(shí)候要同時(shí)成立。

（五）布置作業(yè)（約2分鐘）

P92練習(xí)1

P94習(xí)題3-3A組第1、2、3題

課堂作業(yè)

若0lt;xlt;2，求函數(shù)y=的最大值，并求相應(yīng)的x值.試問(wèn)0lt;xlt; 時(shí)

原函數(shù)有沒(méi)有最大值？0lt;x≤1時(shí)，有沒(méi)有最大值？若有，請(qǐng)你求出來(lái);若沒(méi)有，請(qǐng)你說(shuō)明理由.

求的最小值;③求的最大值。

六、教學(xué)反思

1.本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是利用基本不等式的兩個(gè)命題求解函數(shù)最值題，其中所給函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行合理變形及正確利用基本不等式的三要素是解題的關(guān)鍵，同時(shí)教案正是圍繞以上重點(diǎn)和關(guān)鍵來(lái)組織實(shí)施教學(xué)的，準(zhǔn)確體現(xiàn)了課標(biāo)要求重要的是讓學(xué)生體會(huì)到對(duì)最值的研究方法，以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中去，教師可以真正做到“授之以漁”而非“授之以魚(yú)”。

2.在教學(xué)過(guò)程中不斷向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在活動(dòng)中感受數(shù)學(xué)思想方法之美、體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法之重要，部分學(xué)生還能自覺(jué)得運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想方法去分析、思考問(wèn)題。