瞬變電磁測(cè)井原理研究Ⅲ:電磁波

臧德福,朱留方,張付明,沈建國(guó),沈永進(jìn),王振雷

(1.中石化勝利石油工程有限公司測(cè)井公司,山東 東營(yíng) 257096; 2.天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院功率超聲實(shí)驗(yàn)室,天津 300072)

0 引 言

瞬變電磁測(cè)井在井內(nèi)完成,所滿足的Maxwell方程包含電磁波的傳播[1-4],其瞬態(tài)激發(fā)波形的頻率成分豐富,這些頻率的電磁波在井內(nèi)的傳播特征以及對(duì)瞬變電磁測(cè)井的影響是瞬變電磁測(cè)井研究必須解決的基本問(wèn)題。在討論感應(yīng)測(cè)井的精確解時(shí)給出的勢(shì)函數(shù)解析表達(dá)式是推遲勢(shì),描述電磁波的傳播特征,將推遲勢(shì)展開(kāi)以后得到了勢(shì)函數(shù)的實(shí)部和虛部[1]。進(jìn)一步用級(jí)數(shù)展開(kāi)后發(fā)現(xiàn),實(shí)部的第1項(xiàng)是直接耦合場(chǎng)——一次場(chǎng);虛部的第1項(xiàng)是二次場(chǎng)——沒(méi)有用Doll幾何因子描述。從這些推導(dǎo)過(guò)程看,感應(yīng)測(cè)井可以用電磁波傳播特征刻畫(huà),或者是描述電磁波傳播的推遲勢(shì)的簡(jiǎn)化。那么電磁感應(yīng)與電磁波之間有什么樣的聯(lián)系和區(qū)別？瞬變電磁測(cè)井所測(cè)量到的瞬態(tài)波形到底是電磁波的傳播結(jié)果還是電磁感應(yīng)的結(jié)果呢？

波動(dòng)聲學(xué)是聲波測(cè)井的理論基礎(chǔ)[5-6],可以用二維譜研究聲波在井內(nèi)的傳播特性,并在儀器設(shè)計(jì)和資料處理方面發(fā)揮重要的指導(dǎo)作用,使聲波測(cè)井儀器從長(zhǎng)源距聲波、陣列聲波、偶極子聲波到正交偶極子聲波形成了系列測(cè)井儀器。

電磁波動(dòng)理論從Maxwell方程出發(fā),用電磁波的波動(dòng)特性研究電磁場(chǎng)的響應(yīng)。本文將聲波測(cè)井通常使用的解析方法[5-6]引入瞬變電磁測(cè)井,給出了裸眼井(柱狀分層)模型的二維譜,從二維譜中獲得了井內(nèi)電磁波的傳播速度隨頻率的變化特征,對(duì)比低頻和高頻段的電磁波傳播速度發(fā)現(xiàn),高頻段主要以電磁波傳播為主;低頻段電磁波的傳播受地層電導(dǎo)率影響,頻率越低傳播速度越慢。這些結(jié)果從電磁波傳播的角度再現(xiàn)了瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)的特征,為全面理解瞬變電磁測(cè)井原理提供了另外一條途徑。

1 無(wú)限大均勻介質(zhì)的電磁波速度

對(duì)于無(wú)限大均勻介質(zhì)的無(wú)源區(qū),簡(jiǎn)諧波ei ω t激發(fā)時(shí),由Maxwell方程得到滿足描述電磁場(chǎng)勢(shì)函數(shù)A的波動(dòng)方程

(1)

(2)

(3)

式中,α為相位常數(shù);β為衰減常數(shù)。

電磁波波長(zhǎng)為λ=2π/α,傳播速度為

(4)

傳播速度與頻率有關(guān),頻率越低,速度越小。圖1是無(wú)限大均勻介質(zhì)電磁波慢度U(類似于聲波時(shí)差,是速度v的倒數(shù))隨頻率的變化曲線。從圖1可見(jiàn),當(dāng)頻率大于50 MHz以后,慢度趨于常數(shù);與理想介質(zhì)相似;小于50 MHz時(shí),慢度隨頻率變化比較大,特別是在0～20 MHz頻段內(nèi),隨著頻率增加,其慢度曲線隨頻率變化明顯,頻率越低,慢度越大,傳播速度越慢。

圖1 無(wú)限大均勻介質(zhì)的電磁波慢度(時(shí)差)隨頻率的變化

2 裸眼井模型及其解

假設(shè)裸眼井邊界是一長(zhǎng)圓柱液-固界面,井里是液體,外面是固體。軸線上有一發(fā)射線圈,其軸線與井軸重合。建立柱坐標(biāo)系,其z軸與圓柱的軸線重合,井半徑為a,井內(nèi)液體的電阻率為σ1,介電常數(shù)為ε1,井外固體的電阻率為σ2,介電常數(shù)為ε2(見(jiàn)圖2)。井內(nèi)液體和井外固體均沒(méi)有鐵磁介質(zhì),磁導(dǎo)率均為μ,發(fā)射線圈中心位于坐標(biāo)原點(diǎn),激發(fā)的電磁場(chǎng)在圓柱內(nèi)、外的分布軸對(duì)稱。

圖2 裸眼井柱狀模型

對(duì)于軸對(duì)稱電磁場(chǎng),勢(shì)函數(shù)只有圓周方向的分量Aθ,利用勢(shì)函數(shù)Aθ可以得到電磁感應(yīng)強(qiáng)度B和圓周方向的電場(chǎng)強(qiáng)度Eθ

B=

(5)

(6)

設(shè)井內(nèi)液體圓周方向的勢(shì)函數(shù)為φ,井外固體圓周方向的勢(shì)函數(shù)為ψ。根據(jù)邊界條件,電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù),Eθ1=Eθ2;或電磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù),Br1=Br2?？梢缘玫?/p>

φ|r=a=ψ|r=a

(7)

再根據(jù)邊界上磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù),Hz1=Hz2?？傻玫?/p>

(8)

由上述邊界條件可得到井內(nèi)液體的電磁場(chǎng)分布

(9)

式中,第1項(xiàng)為直達(dá)波;第2項(xiàng)為廣義反射波;M為發(fā)射線圈激發(fā)的磁偶極子;系數(shù)B1為

(10)

直達(dá)波不包含井外固體(地層)的電參數(shù)(電導(dǎo)率、介電常數(shù))信息,直接考慮包含地層信息的廣義反射波,即式(9)的第2項(xiàng)。描述井內(nèi)電磁場(chǎng)特性的表達(dá)式為l1B1I0(l1r),它是波數(shù)k和頻率f的函數(shù),以波數(shù)k和頻率f為自變量構(gòu)成k—f平面。將表達(dá)式l1B1I0(l1r)的值繪制在k—f平面上,得到二維譜;將二維譜的極大值取出,得到極大值位置的分布;將極大值位置的波數(shù)k除以頻率f得到相應(yīng)的相慢度,相慢度是隨頻率變化的曲線。

3 裸眼井的二維譜

設(shè)井半徑a為0.1 m,井內(nèi)泥漿電導(dǎo)率σ=1,相對(duì)介電常數(shù)εr=50[ε0=1/36π×10-9C3/(N·m2)],井外固體是無(wú)限大地層,其電導(dǎo)率σ=1/30 S/m,相對(duì)介電常數(shù)εr=10,井內(nèi)液體和地層的相對(duì)磁導(dǎo)率為1。井內(nèi)液體的電磁波速度在高頻段的常數(shù)為V1,地層的為V2。

圖3是井內(nèi)瞬變電磁響應(yīng)的二維譜,顏色表示二維譜模的幅度,幅度比較大的位置表示其響應(yīng)比較大,幅度連成的線表示能夠在井中傳播的電磁波。將二維譜幅度的極大值繪出得到圖4,這些極大值位置連成了曲線。這些曲線刻畫(huà)了井內(nèi)能夠傳播的電磁波的模式,即模式波,并描述了模式波的傳播速度特征。因?yàn)榍€的斜率k/f表示慢度(即測(cè)井時(shí)差,是傳播速度的倒數(shù))。圖4中的2條接近直線的曲線V1、V2是無(wú)限大均勻介質(zhì)的電磁波傳播速度。V1曲線代表井內(nèi)泥漿的電磁波速度,V2曲線代表井外地層的電磁波速度。從圖4可見(jiàn),在k—f平面上,井內(nèi)所能夠傳播的電磁波只在一定的區(qū)域內(nèi)存在,隨著頻率的增加每條曲線逐漸與V1平行,速度與井內(nèi)液體的速度相等,在與V2相交的位置截止,每個(gè)截止位置對(duì)應(yīng)1個(gè)頻率,稱為截止頻率。截止頻率以下對(duì)應(yīng)的模式波消失。在截止頻率以上,傳播速度隨頻率連續(xù)減小,最后與V1相等。

圖3 裸眼井內(nèi)電磁波傳播的二維譜

圖4 裸眼井內(nèi)電磁波傳播的二維譜的極大值分布

從圖3、圖4可以看出,最上面有一個(gè)波與V1曲線重合,即在整個(gè)頻段都有與井內(nèi)泥漿的電磁波速度相等的波存在;只有在截止頻率附近才能出現(xiàn)與V2重合的電磁波,即與地層的電磁波傳播速度相等;大于截止頻率以后,其分布與V2岔開(kāi),隨著頻率的增加,從V2連續(xù)變化到V1,其速度隨頻率連續(xù)變化,不是常數(shù)。井內(nèi)液體中這類波對(duì)應(yīng)于圓柱形波導(dǎo)管中的模式波,是圓柱邊界條件對(duì)電磁波多次反射以后形成的。對(duì)于半徑為0.1 m的理想圓波導(dǎo),其截止頻率高達(dá)1 800 MHz。圖3所示的二維譜中的模式波截止頻率比較低,最低達(dá)20 MHz,這是由于裸眼井地層模型不是理想介質(zhì),井內(nèi)導(dǎo)電的泥漿和井外具有一定電導(dǎo)率的地層共同導(dǎo)致截止頻率降低。

圖5是將圖4中每個(gè)極大值的位置坐標(biāo)——波數(shù)k與頻率f相除以后所得到的慢度U=k/f隨頻率的變化曲線。在頻率小于20 MHz時(shí),井中幅度比較大的模式波的傳播速度與V1重合,以井內(nèi)泥漿的電磁波速度傳播。在20～250 MHz的頻段內(nèi),有2個(gè)模式波,第2個(gè)模式波只是在40 MHz、120 MHz附近與V2相交或者重合,以地層的電磁波速度傳播,隨著頻率的增加,其時(shí)差連續(xù)增加最終與V1重合。在250 MHz以后又出現(xiàn)了第3個(gè)模式波,在250～360 MHz范圍內(nèi),其模式與V2重合,以地層的電磁波傳播速度傳播。大于360 MHz以后,時(shí)差開(kāi)始增加,最后與V1重合。在510 MHz和760 MHz位置出現(xiàn)一段與V2重合的模式波。該模式波與其他連續(xù)的模式波不相交,獨(dú)立存在,是井筒的固有頻率所致,類似于聲波測(cè)井中的共振波,其分布是離散的。在這2個(gè)模式波的附近分別有相應(yīng)連續(xù)的模式波。這些模式波也有一段頻率區(qū)間與V2重合。在V2的上、下兩邊均是連續(xù)的模式波,慢度隨著頻率的增加而增加。

將圖3、圖4、圖5放大得到圖6、圖7、圖8,其頻率區(qū)間為0～500 MHz,更清晰地反映了井內(nèi)液體中能夠傳播的電磁波的特征。

圖5 井內(nèi)電磁波慢度隨頻率的變化

圖7 裸眼井內(nèi)電磁波傳播的二維譜極大值的分布0～500 MHz

圖8 裸眼井內(nèi)電磁波傳播的慢度隨頻率的變化0～500 MHz

從圖8可以看出,在頻率低于76 MHz后,上部有一個(gè)模式波,其時(shí)差曲線與V1重合,反映井內(nèi)液體的特征。下部還有一個(gè)模式波,其慢度比較小,隨著頻率的降低,慢度迅速增大(圖8沒(méi)有繼續(xù)計(jì)算低頻時(shí)該波的特征)。這樣,其波形形狀由于慢度(速度的倒數(shù))隨頻率的變化而嚴(yán)重變形。因此,在頻率低于20 MHz以后,井內(nèi)電磁波的傳播特征已經(jīng)不再明顯,主要由電磁感應(yīng)現(xiàn)象決定響應(yīng)的特征?；蛘哒f(shuō),井內(nèi)電磁波的傳播以嚴(yán)重頻散的特征出現(xiàn)。

4 分析與討論

波動(dòng)聲學(xué)理論最終可以給出不同位置的計(jì)算波形或者不同時(shí)刻的聲場(chǎng)分布。其中的二維譜是連接理論計(jì)算、聲波波形處理和實(shí)際應(yīng)用的有效工具。因?yàn)槎S譜描述了井內(nèi)所能夠傳播的聲波的幅度和速度特征。

瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)在井內(nèi)的二維譜同樣描述了井內(nèi)所能夠傳播的電磁波的幅度和速度特征。當(dāng)頻率大于100 MHz時(shí),二維譜只在一些特定的區(qū)域幅度較大,這些區(qū)域?qū)?yīng)井內(nèi)電磁波的傳播模式,只有在這些特定的頻率和波數(shù)電磁波才能夠在井內(nèi)傳播;在這些能夠傳播的區(qū)域中,只有一些離散的頻率段其傳播速度才與所探測(cè)地層的電磁波速度相等,才能夠測(cè)量到地層的介電常數(shù)。在其他頻率段,井內(nèi)電磁波的傳播速度隨頻率改變。在低頻段,井內(nèi)所測(cè)量的電磁波的傳播速度隨著頻率的減小迅速減小,這是因?yàn)榈貙拥碾姶挪▊鞑ニ俣仁艿貙与妼?dǎo)率的影響,隨著頻率的降低迅速減小。因此,用低頻可以測(cè)量地層的電導(dǎo)率。

電磁波測(cè)井與聲波測(cè)井的主要區(qū)別是在無(wú)限大均勻介質(zhì)中,聲波的傳播速度是常數(shù),有縱波和橫波2種,而電磁波的傳播速度隨頻率改變,高頻時(shí)趨于常數(shù),只有一個(gè)值,并且在井中電磁波的頻散特征與縱波的特征相似,具有固有頻率,在固有頻率處,其速度等于地層的電磁波速度,具有截止頻率;大于截止頻率后,其速度連續(xù)從地層的電磁波速度變化到井內(nèi)液體的速度;低頻時(shí)受電導(dǎo)率影響,地層和井內(nèi)液體的電磁波速度隨著頻率的降低迅速減小,電導(dǎo)率越高,磁導(dǎo)率越大,其速度減小越快,井中傳播的電磁波速度也隨著井內(nèi)、外介質(zhì)的電磁波速度的改變而改變,出現(xiàn)嚴(yán)重的頻散特征。這樣,其響應(yīng)時(shí)間會(huì)比較長(zhǎng),遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于聲波測(cè)井。低頻電磁波的主要表現(xiàn)為電磁感應(yīng)現(xiàn)象,從電磁波的角度看電磁感應(yīng)現(xiàn)象時(shí)其傳播速度很慢(遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于聲波的速度),所測(cè)量的瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)波形中,地層電導(dǎo)率將導(dǎo)致波形形狀發(fā)生變化,電導(dǎo)率信息主要分布在所測(cè)量的波形幅度中。

5 結(jié) 論

(1) 瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)所涉及的頻率小于100 Hz,在這段頻率范圍內(nèi),導(dǎo)電介質(zhì)的波數(shù)k0中電導(dǎo)率的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于介電常數(shù),井內(nèi)液體和井外固體的電磁波傳播速度隨頻率的降低急劇減小,頻散極其嚴(yán)重。

(2) 在裸眼井條件下,其電磁波的頻散也同樣嚴(yán)重,井內(nèi)所測(cè)量到的電磁波速度也跟著急劇減小,電磁響應(yīng)主要以電磁感應(yīng)特征為主。

(3) 與平面電磁波傳播相比,瞬變電磁測(cè)井響應(yīng)波形因?yàn)轭l散的影響將嚴(yán)重變形,即低頻電磁波的響應(yīng)與高頻的電磁波有本質(zhì)的區(qū)別,高頻(大于100 MHz)時(shí)電磁波在井中的傳播特征與聲波測(cè)井相似,既有離散的固有頻率段(在該頻率段,井中的電磁波傳播速度保持常數(shù)并等于地層的電磁波速度),也有連續(xù)的模式波,其傳播速度隨頻率的增加從地層的電磁波速度變化到井內(nèi)液體的電磁波速度。

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