“二次函數(shù)與一元二次方程”課堂實錄

一、創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)問題

（課前，多媒體播放歌曲《隱形的翅膀》，不少學(xué)生跟著旋律哼唱）

師：李老師來自東臺市實驗中學(xué)，今天在時堰中學(xué)和大家一起交流、學(xué)習(xí)，我有一種特別親切的感覺，為什么這么說呢？

（大屏幕上顯示：東臺市時堰中學(xué)、東臺市實驗中學(xué)）

師：大家一起將兩個校名讀一遍。

（生齊讀）

師：哪位同學(xué)能發(fā)現(xiàn)其中的奧妙？

生1：“時堰”和“實驗”讀音相同。

師：對了！“時堰”和“實驗”讀音相同，用數(shù)學(xué)的眼光看，“時堰”和“實驗”讀音不僅相似，而且全等。難道這就是傳說中的“緣分”？

（聽課老師和學(xué)生均大笑，鼓掌）

師：我們剛剛學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，請大家思考，在本學(xué)期所學(xué)的內(nèi)容中，有哪個章節(jié)的內(nèi)容和“二次函數(shù)”特別有“緣分”，聯(lián)系較密切？

生（齊）：一元二次方程！

師：下面和大家一起來學(xué)習(xí)第6章第3節(jié)“二次函數(shù)與一元二次方程”。

思考：通過兩校校名的讀音相同，引出課題“二次函數(shù)與一元二次方程”，不僅能拉近師生之間的距離，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，還滲透了類比的數(shù)學(xué)思想，暗示著本節(jié)課探究的這兩個“二次”之間也有著很深的淵源。從教學(xué)反饋看，達到了教者預(yù)設(shè)的效果。

二、合作交流，探索問題

教學(xué)片段1：教師提出一個很具體的問題，請大家一起探究。

探究一： 求二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像與x 軸的公共點坐標。

師：請同學(xué)們畫出二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像，仔細觀察拋物線與x軸的公共點情況，它與一元二次方程x2-2x-3的兩個實數(shù)根之間有什么聯(lián)系呢？

生2：令y=0，可得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，所以二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像與x軸的公共點坐標是（-1，0）和（3，0）。

經(jīng)過各位學(xué)生在準備好的網(wǎng)格紙上的畫圖（如圖1），得出結(jié)論：拋物線與x軸的公共點橫坐標為-1、3，即為一元二次方程x2-2x-3=0的兩個實數(shù)根。

思考：“探究一”從“函數(shù)值為0”著手，探索了二次函數(shù)與相應(yīng)的一元二次方程之間的關(guān)系：①從函數(shù)關(guān)系式看，當(dāng)二次函數(shù)y=x2-2x-3中的函數(shù)值y取特殊值0時即得到一元二次方程x2-2x-3=0；②從一元二次方程x2-2x-3=0的根的幾何意義看，一元二次方程x2-2x-3=0的兩實數(shù)根即為二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像與x軸的公共點的橫坐標，滲透了數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，也體現(xiàn)了對立統(tǒng)一的辯證思想。

三、理性概括，構(gòu)建新知

教學(xué)片段2：在教師指導(dǎo)下探究更一般的情形。

探究二：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0 ）有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，那么二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0 ）的圖像與x軸有沒有公共點？如果有，有幾個公共點？說出公共點的坐標。

生3：有兩個公共點，坐標為A（x1，0）、B（x2，0）。

（注：如圖2，教師適時地把圖1中的A、B兩點的橫坐標換成圖2中的x1和x2，讓學(xué)生結(jié)合圖形進行歸納，既能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，又能體會到從特殊到一般的思維方式）

思考：學(xué)生經(jīng)歷過“探究一”的特殊問題的探索，已經(jīng)積累了一定的經(jīng)驗，歸納出一般性的結(jié)論已經(jīng)水到渠成。通過“探究二”，可將重點放在引導(dǎo)學(xué)生體驗從具體到抽象、從特殊到一般的思維方法上。

師：反過來，如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸有兩個公共點A（x1，0）、B（x2，0），那么，一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的情況如何？

生4：有兩個不相等的實數(shù)根x=x1、x=x2。

師：對，這就是說“如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0 ）的圖像與x軸有兩個公共點A（x1，0）、B（x2，0） ，就等價于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0 ）有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2”。而一元二次方程ax2+bx+c（a≠0 ）的根的情況又可以根據(jù)什么式子進行判斷呢？

生5：根的判別式。

師：一元二次方程ax2+bx+c（a≠0 ）有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，則根的判別式的符號如何？

生6：大于0。

師：正確，我們可以把它們之間的關(guān)系歸納如下表：

思考：把二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點、一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根以及b2-4ac>0三者關(guān)系由特殊到一般進行分析，最后歸納，大有瓜熟蒂落之感！并且三者之間關(guān)系緊密，用“等價于”符號相連接，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。

四、實踐應(yīng)用，類比創(chuàng)新

師：經(jīng)歷了上述探究過程，我們已經(jīng)基本學(xué)會了如何探索二次函數(shù)的圖像與x軸公共點的情況、相應(yīng)的一元二次方程根的情況以及這兩者之間的關(guān)系。下面，請大家分組合作，完成探究，并把本小組討論的最后結(jié)果歸納到數(shù)學(xué)探究報告單上.

數(shù)學(xué)探究報告單（一）

班級：_____ 姓名：_____ 組別：_____

日期：_______年___月___日

小組成員：_________ 組長：_________

評價成績：_________

數(shù)學(xué)探究報告單（二）

班級：_____ 姓名：_____ 組別：_____

日期：_______年___月___日

小組成員：_________ 組長：_________

評價成績： ________________

思考：由于在“探究一”“探究二”中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了探究問題的方法，故后面的兩個問題可以放手讓學(xué)生分小組在合作過程中運用類比的方法繼續(xù)進行探究，老師對有困難的小組適時進行引導(dǎo)、點撥，并以數(shù)學(xué)探究報告單的形式按“由特殊到一般”“類比”的數(shù)學(xué)思想方法進行歸納，然后以小組代表匯報的形式上臺進行陳述，老師及時補充、小結(jié)、鼓勵，使學(xué)生逐步獲得技能。

五、歸納小結(jié)，提煉升華

教學(xué)片段3：師生共同總結(jié)涉及到的數(shù)學(xué)思想方法，并進行鞏固練習(xí)。

師：同學(xué)們，經(jīng)歷了前面三組問題的探究，我們已經(jīng)體會了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

生7：數(shù)形結(jié)合。

生8：分類討論。

生9：從特殊到一般。

生10：類比的思想。

師：這節(jié)課的課題是“二次函數(shù)與一元二次方程”，當(dāng)然蘊含函數(shù)思想和方程思想。通過上面的探究，你能把我們剛剛得到的成果完整地歸納一下嗎？

生11：拋物線與x軸的公共點個數(shù)和一元二次方程根的判別式[Δ]之間的關(guān)系（如圖3）：

（1）拋物線與x軸有兩個公共點[Δ]>0；

（2）拋物線與x軸只有一個公共點[Δ]=0；

（3）拋物線與x軸沒有公共點[Δ]<0。

（教師拿出一根粗電線做成的“拋物線”，配合生11，在黑板上進行拋物線的平移演示，主要目的是讓學(xué)生進一步體會拋物線與x軸的公共點的個數(shù)，然后帶著滿臉的疑惑提問）

師：如果拋物線的開口方向向下呢？

生12：同樣的只需要看其與x軸的公共點的個數(shù)，就能知道相應(yīng)的一元二次方程的解的情況，也即知道根的判別式[Δ]與0的大小關(guān)系。

思考：讓學(xué)生對照圖形進行歸納，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；平移“拋物線”，演示其與x軸的不同位置體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法；通過圖3中的拋物線開口向上的情況進行歸納，然后提問開口向下時有何結(jié)論，體現(xiàn)了類比的數(shù)學(xué)思想方法。在這些方法的引領(lǐng)和滲透下，讓學(xué)生把探究的過程、形成的結(jié)論進行歸納，學(xué)生的感受當(dāng)然很“自然”。

師：同學(xué)們，課前大家欣賞的是什么歌曲？

生（齊）：《隱形的翅膀》。

師：大家會唱這首歌嗎？

生（齊）：會唱。

師：今天這一節(jié)課我們運用了不少的數(shù)學(xué)思想方法來解決問題，這些數(shù)學(xué)思想方法就像“隱形的翅膀”，既能幫助我們解決問題，又能使我們的思維自由飛翔。老師將歌曲中的兩句歌詞改動了兩個字。

（大屏幕上顯示“我看見，每天的‘習(xí)題’也會有變化，我知道，我一直有雙隱形的翅膀”，學(xué)生充滿激情地齊唱）

師：大家唱得太好了！同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)得“本領(lǐng)”，應(yīng)該到了大顯身手的時刻了，讓我們試試數(shù)學(xué)思想這個“隱形的翅膀”，怎樣助你飛翔，請運用所學(xué)知識解決下列問題。

（1）不畫圖像，你能說出函數(shù)y=x2+x-6的圖像與x軸的公共點坐標嗎？

（2）判斷下列函數(shù)的圖像與x軸是否有公共點，并說明理由。

①y=x2-x； ②y=x2+6x-9； ③y=3x2+6x+11

（注：上面兩道題是課本上的練習(xí)，目的是鞏固二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，具體解法略）

（3）①已知拋物線y=x2+px-q與x軸的兩個公共點為（-1，0）、（3，0），則p= ____，q=_____；其對稱軸為直線_________；②若x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數(shù)根，則拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是_____________。

思考：第（3）題不僅能使學(xué)生進一步理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，更重要的是滲透代入思想。在實際教學(xué)過程中，筆者歸納的“訣招”是：“圖像經(jīng)過點，坐標往里領(lǐng)?！笨谠E通俗易懂，教學(xué)效果明顯，并由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想歸納出：若x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數(shù)根，則拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=[x1+x22]。

（4）已知拋物線y=x2-6x+a， ①若其頂點在x軸上，則a=_________；②若與x軸有兩個公共點，則a的范圍是_________；③若與x軸沒有公共點，則a的范圍是_________；④將題目中拋物線y=x2-6x+a改為y=ax2-6x+1，則上面3個小題的答案有沒有變化呢？

（5）已知：函數(shù)y=ax2+x+1的圖像與x軸只有一個公共點，求這個函數(shù)關(guān)系式。（此題為鹽城市2010年中考數(shù)學(xué)試卷最后一題的第1小題）

思考：上面兩題主要考查學(xué)生對拋物線與x軸公共點的情況和一元二次方程根的判別式[Δ]之間的關(guān)系，滲透的是轉(zhuǎn)化思想。值得一提的是第（4）題的第④小題，拋物線改為y=x2-6x+1后，需注意a≠0；尤其要注意的是第（5）題中的函數(shù)不一定是二次函數(shù)，它也可以是一次函數(shù)。兩小題放在一起，讓學(xué)生通過比較，加深印象。評講第（4）（5）兩小題時，還用了教者自編的防錯“訣招”：“函數(shù)關(guān)于愛克斯（x），一次二次要三思！”此口訣通俗有趣，便于記憶，利于理解，深受聽課師生的歡迎。

（6）二次函數(shù)y=x2-2x+m 的圖像與坐標軸有兩個公共點，求m的值。

思考：解本題時學(xué)生極易在兩處出錯。首先，題目條件是已知“函數(shù)圖像與坐標軸有兩個公共點”，學(xué)生容易錯看成“與x軸有兩個公共點”；其次，只考慮拋物線與x軸只有一個公共點（拋物線與x軸相切）的情形，遺漏了拋物線與x軸有兩個公共點且經(jīng)過原點的情形。解此題應(yīng)分別考慮m=0和m≠0兩種情況，本題滲透的是分類的數(shù)學(xué)思想方法?？偠灾?，教者精心設(shè)計的練習(xí)，旨在檢測學(xué)生對兩個“二次”關(guān)系的理解，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的滲透和對學(xué)生完成練習(xí)的指引作用。