級數(shù)求和的若干方法

級數(shù)求和是高等數(shù)學中的一個重要內容。本文主要分為數(shù)項級數(shù)求和與函數(shù)項級數(shù)求和兩部分。在數(shù)項級數(shù)求和的若干方法中，主要討論了級數(shù)收斂定義求和法，傅里葉級數(shù)求和法，阿貝耳定理法，利用冪級數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和。其中，用級數(shù)收斂定義法是基礎，包括裂項相消，錯位相減等九種常見方法。在函數(shù)項級數(shù)求和的若干方法中，則選取特殊的冪級數(shù)與三角函數(shù)項級數(shù)，討論了冪級數(shù)性質法，逐項求導法與逐項積分法，轉換成微分方程法等。并采用講述和舉例相結合的方式，選取一些典型題目進行分析，體會理解方法。

無窮級數(shù)理論是高等數(shù)學中的一個重要組成部分。它是研究函數(shù)的性質，函數(shù)的表達，進行數(shù)值計算的有力工具，其應用是隨著微積分理論的發(fā)展而發(fā)展起來的，無論是在數(shù)學學科還是在其他科學技術中都有廣泛的應用，其理論的發(fā)展也起到了極其重要的影響和作用。求收斂級數(shù)的和是研究級數(shù)的任務之一。無窮級數(shù)求和是一個綜合性的問題，涉及到的數(shù)學理論知識和方法很多，技巧性也比較強，一般很難掌握遵循的規(guī)律和解題的要領，是學習的重點也是難點，所以歸納總結一些級數(shù)求和的常用方法顯得尤為重要。

在大多數(shù)教材或者其他數(shù)學書籍中，大量的介紹了級數(shù)的有關概念以及判斷級數(shù)斂散性的定理，級數(shù)求和的常用方法，并且很多文獻對級數(shù)求和進行了深層的探討，數(shù)項級數(shù)求和法一般歸納為三類：一是基本方法，包括利用等比數(shù)列的求和公式，裂項，組合及錯位相減等方法；二是常用方法，包括逐項微分和逐項積分法，利用初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，利用函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式等；三是特殊方法，包括交換求和順序等；冪級數(shù)求和法歸納為兩類：一是利用冪級數(shù)的性質法，包括冪級數(shù)的運算，逐項微分與逐項積分；二是把冪級數(shù)轉化成微分方程法。這些方法之間是相互聯(lián)系的。例如，待定系數(shù)法中，把待定的系數(shù)求出后再用裂項相消法。多數(shù)方法所解決的一類題目都是有共同特點的，比如說求部分和子序列法對非正項級數(shù)常常是行之有效的。但并不是每一道題目，只能用那一種方法，很多題目可以有多種不同的解法。例如，求級數(shù) 的和，可以用待定系數(shù)與裂項相消相結合的方法，也可以利用已知級數(shù)和與級數(shù)基本性質的方法，蘊含的思想不同，解法就不同，但最終的結果是一致的。

無窮級數(shù)包括常數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)，對于無窮級數(shù)求和首先要考慮其收斂性，常數(shù)項級數(shù)在收斂時可以求和，函數(shù)項級數(shù)在其收斂域內可以求和。第一部分為常數(shù)項級數(shù)求和法，具體方法主要分為四類：一是利用級數(shù)收斂定義求和法，其中包括了公式法，分組求和法，裂項相消法等九種方法。在裂項相消法中，具體分為五種常見的形式。二是利用冪級數(shù)求常數(shù)項級數(shù)的和，主要運用冪級數(shù)的相關性質。三是利用阿貝耳定理法，其基本思想也可以歸結為利用冪級數(shù)的性質法。四是利用傅里葉級數(shù)求和法。第二部分是函數(shù)項級數(shù)求和法，主要是特殊的冪級數(shù)和三角函數(shù)項級數(shù)。其中，冪級數(shù)求和法主要運用冪級數(shù)的和，乘積，復合運算，逐項求導與逐項積分的性質。三角函數(shù)項級數(shù)則巧妙的與復變量指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系。

特別需要注意的是，對于無窮級數(shù)求和，首先，要考慮其斂散性，常數(shù)項級數(shù)在收斂時才可以求和，函數(shù)項級數(shù)在其收斂域內可以求和。

在常數(shù)項級數(shù)求和的若干方法中，主要利用級數(shù)收斂定義求數(shù)項級數(shù)和的方法，傅里葉級數(shù)求和法，阿貝耳定理法以及利用冪級數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和。其中，利用級數(shù)收斂定義求數(shù)項級數(shù)和的方法是基礎，包括公式法，分組求和法，錯位相減法，裂項相消法，方程式法，待定系數(shù)法，利用歐拉公式法，子序列求和法，利用遞推關系式法，這九種方法和中學所學的數(shù)列知識緊密聯(lián)系，都是利用中學所學的基本求和公式，或者將所求級數(shù)化為已知的等比數(shù)列，然后再進行求和運算，方法簡單，容易掌握解題技巧。利用冪級數(shù)求和法是通過已知的冪級數(shù)展開式，使求和變得簡潔，并且將變量用不同的數(shù)值代入，即可得到許多數(shù)項級數(shù)的和。阿貝耳定理法是利用冪級數(shù)的連續(xù)性定理和阿貝耳第二定理，并且建立在冪級數(shù)性質的基礎上，其實質可以歸納到利用冪級數(shù)求和法。傅里葉級數(shù)求和法則按照公式依次計算出某一函數(shù)的傅里葉系數(shù)，然后利用傅里葉展開式在這一函數(shù)上指定點的值計算出原級數(shù)的和。

在函數(shù)項級數(shù)求和的若干方法中，主要為冪級數(shù)求和與三角函數(shù)項級數(shù)求和的方法。冪級數(shù)求和需利用冪級數(shù)的和，乘積，復合等運算，在收斂域內逐項求導與逐項積分的性質，將級數(shù)轉化為一些易知的基本求和公式的級數(shù)。還可以建立以和函數(shù)為未知函數(shù)的微分方程，通過解微分方程得到和函數(shù)，使冪級數(shù)和微分方程很好的結合在一起，但問題的難點在于如何構造微分方程，并且要熟悉掌握微分方程的解法。三角函數(shù)項級數(shù)求和則巧妙的運用復變量指數(shù)函數(shù)展開式，使計算變得簡便。

級數(shù)求和涉及到的數(shù)學理論知識很多，并且運用一定的方法技巧，所以是個綜合性的問題。在以后的學習中要善于發(fā)現(xiàn)探索，及時總結，并結合級數(shù)在其他科學技術及理論知識的應用，歸納出新的方法，將級數(shù)更廣泛的應用在數(shù)學以及其他科學領域中，以實現(xiàn)它的價值。

（作者單位：遼寧工程技術大學理學院）