數(shù)學助你認識時空彎曲

8月6～11日，第七屆世界華人數(shù)學家大會在北京召開，這對世界華人數(shù)學家來講是一場盛會，但對很少涉足該領域的普通人來講，數(shù)學仍然與生活有很大距離。不了解數(shù)學的人常常會有“數(shù)學是什么”的疑惑，或者根本無法理解一大堆繁復的公式在說什么，好像只有專門受過很多訓練的人才能看懂。其實，數(shù)學世界中一些很深刻的內(nèi)容，實際理解起來非常簡單，而且還能對人類文明產(chǎn)生深遠的影響。王詩宬院士為大家?guī)硪粓鋈趨R文史哲的數(shù)學講座，從非歐幾何的誕生講起，用文學的語言、史學的故事、哲學的思辨為我們打開了數(shù)學神秘而有趣的大門。

專家名片

王詩宬 數(shù)學家、北京大學教授。1988年在美國加州大學洛杉磯分校獲博士學位，2005年當選為中國科學院數(shù)學物理學部院士?，F(xiàn)為中國數(shù)學會理事長，北京大學數(shù)學科學學院教授，長江學者特聘教授，Algebraic and Geometric Topology等5個數(shù)學雜志的編委。曾獲中國青年科學家獎、求是杰出青年獎、國家杰出青年基金、陳省身數(shù)學獎、國家自然科學獎二等獎。

1古希臘幾何學大成

各個古文明，包括埃及文明、兩河流域文明、中國和印度文明在發(fā)展過程中獲得了大量的經(jīng)驗和實用知識，如建筑、水利、農(nóng)田測量等，但這些知識往往沒有上升到理論層次。同時，有些知識我們可以在實踐中獲得，但有些知識無法通過經(jīng)驗得到，比如中學數(shù)學所講的無理數(shù)就是在實踐中永遠無法得到。我們看到一個邊長為1的正方形，自然會問對角線的長度是多少，所以像根號二就是一個推導而得的數(shù)字。

兩河流域主要指幼發(fā)拉底河和底格里斯河。富有開拓精神的希臘人，把他們在旅行中見識兩河流域文明和古埃及文明中的幾何學帶回家鄉(xiāng)，與當時希臘人崇尚的自然真理——唯理主義思潮相結(jié)合。學者中開始流行起通過推理、證明得到新數(shù)學知識的風尚，還出現(xiàn)很多最初的數(shù)學學校，各種教本也應運而生。從畢達哥拉斯（古希臘數(shù)學家、哲學家）到柏拉圖（古希臘哲學家、思想家），經(jīng)過希臘學者幾百年的努力和積淀，終于出現(xiàn)了一本集希臘幾何學大成的著作——歐幾里得的《幾何原本》。所寫著作中沒有自己的新的定理而能流芳百世的人物，除了歐幾里得找不到第二人。

古希臘著名數(shù)學家、歐式幾何學開創(chuàng)者歐幾里得（公元前325年～公元前265年）所著的《幾何原本》對后世產(chǎn)生了十分深遠的影響，此書面世后使先前所使用的所有幾何教本基本自行退出了歷史舞臺，且一直被沿用了2000多年。這本書也成為大多數(shù)科學家、思想家和工程師訓練邏輯思維最好的培訓教材，因為平面幾何的數(shù)學訓練對人的邏輯思維培養(yǎng)大有裨益。更為重要的是，歐幾里得從幾個基本原理出發(fā)推導出一套數(shù)學理論，這套公理推導的方式影響了現(xiàn)代科學，比如而后的牛頓力學體系，從牛頓三大定律和萬有引力定律推出整個力學，當然這個定律里可能存在漏洞，隨著時代發(fā)展不斷發(fā)現(xiàn)新的事物，再添加修改。古希臘盛行公理推導的方式，特別是思辨思維的方式，成為現(xiàn)代科學源自歐洲的原動力之一。

歐幾里得的五個公理中，前四條非常簡單，大家都相信。第一，任何兩點可以連成一條直線；第二，直線可以無限延長；第三，經(jīng)過一個點用一個半徑可以畫出一個圓；第四，直角都相等；第五條比較復雜，即隨便畫兩條直線，然后再畫一條直線與它們相交，假如這兩條直線同旁的內(nèi)角的和比180°小，那么這兩條線無線延長后一定會相交。第五條并不像前面四條那樣可以簡明地推出，所以歐幾里得將它放至第五位。在《幾何原本》里，歐幾里得先用前面四條公理推出絕對幾何，最后加進第五條來推其他的部分。

2 數(shù)學詩人的詩意

后來人們試圖簡化第五條公理，波斯人奧馬·哈亞姆提煉出：過直線L外的一點可以而且只可以作一條直線和L不相交。哈亞姆是數(shù)學家、醫(yī)學家、天文學家和詩人，對科學作過很多貢獻。他曾寫過一本有名的阿拉伯文的代數(shù)書，之后，此書被翻譯成拉丁文、法文，在文藝復興時期傳到西方。他被認為是10～14世紀之間最杰出的數(shù)學家。同時由于哈亞姆的詩也寫得非常好，中國學者稱他為波斯的李白，哈亞姆同屈原、曹雪芹一起被聯(lián)合國科教文組織作為世界文化名人進行紀念。哈亞姆的詩有很多種譯本，我手中有兩種譯本，分別是張暉譯的《柔巴依詩集》和郭沫若譯的《魯拜集》。張暉從波斯文翻譯哈亞姆的詩，而郭沫若不懂波斯文，從英文和日文翻譯而來，所以兩個譯本中沒有一首詩是一樣的，以一首充滿唯物主義色彩的詩為例：

“啊，世界仍將存在，當我們故去，芳名行將泯滅，也不留下遺跡，我們來世之前，世界沒有受損，我們棄世之后，也將與此無異?！薄獜垥熥g

“你我通過帷幕之后，啊，世界是永遠存留，你我的來而又去，大海里拋了個小小石頭。”——郭沫若譯

3 歐式幾何的空間真的唯一且真實？

現(xiàn)在我們認為歐洲的科學非常先進，但并非一直如此。早期希臘文明非常發(fā)達，但之后歐洲經(jīng)過中世紀的黑暗混戰(zhàn)，一度落后于世界上很多地方。在歐洲處于中世紀混沌時，阿拉伯世界則在許多方面都處于科學的頂端。希臘人和阿拉伯人特別是在數(shù)學方面的成就非常輝煌，阿拉伯人促進了代數(shù)學地位的提升，希臘人則主要研究幾何。阿拉伯數(shù)字其實源自印度，因為是由阿拉伯人傳到歐洲，故而歐洲人稱之為阿拉伯數(shù)字。

回到歐幾里得的第五公理，因為它并不像前四條一樣簡明，所以曾經(jīng)有很多人曾嘗試證明歐氏第五公理是否正確，但限于當時人們的知識水平還不夠高，所以這些人往往未能有所成就。其實科學研究也需要特定的時機，當時機沒有到來之前，人們很難有機會做出成果。很久之后，才終于有人開始萌生第五公理是不是不能由其他公理證明出來的想法，即第五公設與前面四條相獨立。

為了證明它的獨立性，尼古拉·羅巴切夫斯基（1792～1856年，俄羅斯數(shù)學家、非歐幾何早期發(fā)現(xiàn)人之一）發(fā)表了第一篇非歐幾何的文獻，他承認歐幾里得前面四條公設是對的，但他對原來的第五公設“過直線L外的一點可以而且只可以作一條直線和L不相交”做了假設，將它改為“過直線L外的一點可以做無數(shù)條直線與L平行”，并以此為條件反推，若結(jié)果存在矛盾，那么就證明了歐幾里得的第五公理的正確性?？墒墙Y(jié)果卻出人意料，他反推之后竟然沒有推出矛盾，反而得到了很多其他結(jié)論，雖然這些結(jié)論在習慣了歐幾里得幾何世界的人看來非常的奇怪。比如，羅巴切夫斯基認為三角形只要相似就面積相等。在我們經(jīng)驗世界的幾何里，這是絕對不對的，相似的三角形面積可以任意大。羅巴切夫斯基的推理結(jié)論也被稱為虛幾何。

因為歐幾里得的幾何定理普遍存在于這個世界，可以被我們直接地觀測到，故而我們非常容易相信歐式幾何。那么有沒有一個模型可以實現(xiàn)巴切夫斯基的幾何推理呢？換句話說，我們熟悉的歐幾里得空間是不是我們存在的唯一真實的空間形式？

4 數(shù)學通才鮮為人知的成就

后來有很多數(shù)學家建立各種模型來實現(xiàn)羅巴切夫斯基的推理，如貝爾特拉米模型、克萊因模型，其中非常重要的一個模型叫龐卡萊模型。儒勒·昂利·龐卡萊是物理學家、數(shù)學家、天文學家、哲學家。作為物理學家，他曾擔任過法國物理協(xié)會的主席；作為天文學家，他提出天體力學新方法有三大卷；作為哲學家，他是哲學散文大師；作為數(shù)學家，他還頗有建樹，被認為是世界上最后一個通才。他既是法國科學院院士，又是法蘭西學院的院士，這在法國歷史上、甚至世界歷史上都是少有的。

雖然龐卡萊名譽天下，但卻很少有人知道他對狹義相對論作出了重大貢獻。提到狹義相對論，我們現(xiàn)在通常都只會聯(lián)想到愛因斯坦。狹義相對論里最基本的是光速在任何觀察系里都不變，這個觀點最早曾被龐卡萊提出。1898年的物理學出現(xiàn)很多矛盾，50多歲的龐卡萊在《科學與假設》一書中提出，假定光速不變，那么所有的矛盾都不存在了，當時龐卡萊只是把這個假設當作一種可能性而已。而當時還非常年輕的愛因斯坦卻將這一假設看作真理，非常執(zhí)著進行了深入地研究，進而達到了比龐卡萊更直接、更深刻的結(jié)論。

關(guān)于龐卡萊在狹義相對論的貢獻，愛因斯坦在回憶錄里這樣寫道：“我經(jīng)常整晚與哈比尼特和索羅文一起閱讀、討論哲學著作，這些閱讀，加上龐卡萊和馬赫的著作，對我的發(fā)展影響非常大?！被艚鹪凇稌r間簡史》中直接將龐卡萊歸結(jié)為狹義相對論的發(fā)明人之一。理查德·費曼《物理學講義》也反復提到了龐卡萊的相對論原理。

當時處于歷史前沿的科學巨人的成就極其杰出。在那個知識大爆發(fā)的時代，有天賦的年輕人可以很快接觸到科學前沿。如今，我們的學科分類如此細化，雖然受教育的機會更多了，但同時想要在科學前沿做出成就也變得更難了。

5 難以理解的非歐幾何世界

歐幾里得空間有兩個基本的概念，一是承載體，歐幾里得平面的承載體是一個平面，比如我們平時拿的每一張紙、教學用到的黑板。二是直線，即最短距離。而非歐幾何的承載體是半徑為R的一個圓盤，圓盤的邊界不包括在里面，整個非歐世界就只有這么大。非歐世界中所定義的直線則是此平面上與單位圓盤邊界垂直的所有直線和圓周。這樣我們就會提出兩個問題：一是，如此設定的直線可以無限延長嗎？二是，為什么設定的直線是彎的？現(xiàn)在假如容許定義這些圓周就是直線，那么過這條直線L外一點P，可以做無數(shù)條直線與L都不相交，也就是與L平行。

要解釋非歐幾何的直線是否可以無限延長的問題，則涉及到長度的概念，同時還需要使用物理學概念。假如存在一個半徑為1的物理世界，這個世界遵循如下定理：與原點（圓心）距離為x處的溫度為1-x2。也就是說，原點處距離為0，溫度就是1，越靠近邊界溫度越低，非?？拷吔鐣r溫度趨于0。它滿足的第二個定理是，由于熱脹冷縮，物體的長度與溫度成正比?，F(xiàn)在假定在這個世界中有兩個人手拉著手走向邊界，走了一段距離后溫度變低，熱脹冷縮，人越往前走越短。但對于他們生活的世界來說，所有的東西都熱脹冷縮，所有的物體都變小變短了，所以他們并不會感覺到自己的變化，只會覺得自己在均勻地往前走，而且前面的世界永遠都走不到頭。因為越往前人越短，步子越小，他們會認為原點到邊界的距離為無窮遠，在他們的生活中，直線是可以無限延長的，只是這個距離在外部人看來是有限長的，這樣就能理解非歐幾何中直線可以無限延長的概念了。

我們避免用復雜公式來解釋非歐幾何的直線為什么會是彎的。簡單舉例，在上述假定的圓盤中，圓盤以圓心為原點旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)速度非常大的時候，圓盤邊界的速度接近于光速。按照狹義相對論里的效應，以光速運動時長度會縮短，于是可以看到離中心越遠的位置轉(zhuǎn)動的速度越大，人會縮短得越明顯，越靠近圓心人越大。在圓盤上放兩個點：A點和B點，設想人從A走到B。若圓盤靜止，不存在接近光速長度縮短的現(xiàn)象時，人從A到B沿著直線走最快。切換到高速旋轉(zhuǎn)的情形，若還是按照直線的路徑走，人離圓心較遠，人的腿長度被收縮了，步子更小，于是你會發(fā)現(xiàn)有條更短的路，就是一條曲線，表面上看兩點的距離是變長了，但由于人靠近圓心時身體會變大、腳步也會更大，實際上會走得更快，這就是人選擇的最快（最短）的路。在這種情況下，用走路所花費時間量來衡量路徑的長短，曲線更“短”、直線更“長”。在高速旋轉(zhuǎn)的圓盤模型中，通過精確的數(shù)學計算得知，最短的路程就是與邊界垂直的圓周。

6 如何證明三維空間的彎曲？

在地球表面上，所謂的直線其實是沿著地表存在的一條線，這條線實際上是大圓，比如我們把橡皮筋繃緊放在地球儀上，表示地球上的直線，它正是一個大圓。歐式幾何中，三角形的內(nèi)角和等于π，相鄰兩邊各取中點，兩點連一線，此線長度等于底長的二分之一。但是球式幾何中，三角形的內(nèi)角和大于π，而且可直觀看到相鄰兩邊各取中點，連成中位線的長度大于底長的二分之一。直觀講，在地球儀表面沿著大圓、赤道做出一個三角形，赤道與三角形中另外兩條曲線垂直，形成的兩個角加起來已經(jīng)是90°了，還多一個角，其內(nèi)角和一定大于180°。在雙曲幾何中，借用花瓶凹面模型，仍然拿一個橡皮筋在花瓶上面固定、拉緊形成三角形，于是出現(xiàn)了有現(xiàn)實意義的內(nèi)角和小于180°的三角形，它的中位線小于底長的二分之一。

嚴格講，人們很早便將球式幾何應用到航海和天體測量，從上海坐船到溫哥華，大圓航線（曲線）的航程需要5060海里，等角航線（直線）的航程卻需要5370海里，而雙曲幾何的更多意義在理論、思想層面上。幾乎與非歐幾何同時，誕生了黎曼幾何，如果沒有黎曼幾何，很難想象后來會如何產(chǎn)生愛因斯坦的廣義相對論，這些知識在更深的層次為物理世界和我們所存在的空間形式做鋪墊。

平時很多人會聽到“空間的彎曲”一詞，其實只要借助地球儀、花瓶等模型，就能將二維的概念放到三維的空間里，任何人都能看見它的彎曲，就能容易相信空間彎曲這件事情。想要看到空間彎曲，我們往往需要待在更高的維度中才能顯而易見地觀測到。但我們不是生活在四維空間里，所以可能很難理解物理世界里所講的空間彎曲、三維空間的彎曲。實際上用一套方法進行計算，至少從理論上講是彎曲的。在實際操作中，假設在相距很遠的地方有三股光線，如果我們通過測量得知三股光線的夾角和小于180°，那我們就能發(fā)現(xiàn)空間的彎曲。

所以，數(shù)學其實可以幫助我們拓寬對這個世界的認識。我們需要不斷使用更高級的科學手段進行研究，打破以往的常規(guī)，看到一個更加科學、更加真實的世界。