一類具有階段結(jié)構(gòu)且被連續(xù)收獲的時(shí)滯B-D捕食模型

張慧勤，賈建文

(1.運(yùn)城師范高等?？茖W(xué)校，山西 運(yùn)城　044000；2.山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 臨汾　041004)

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一類具有階段結(jié)構(gòu)且被連續(xù)收獲的時(shí)滯B-D捕食模型

張慧勤1，賈建文2

(1.運(yùn)城師范高等?？茖W(xué)校，山西 運(yùn)城044000；2.山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 臨汾041004)

摘要：研究了一類捕食者具有階段結(jié)構(gòu)且被連續(xù)收獲的具有時(shí)滯的Beddington-Deangelis捕食模型.應(yīng)用脈沖微分方程比較定理，獲得了捕食者滅絕周期解全局吸引的充分條件以及系統(tǒng)持久的充分條件.

關(guān)鍵詞：時(shí)滯；階段結(jié)構(gòu)；脈沖；全局吸引性；持久性

【引用格式】張慧勤，賈建文.一類具有階段結(jié)構(gòu)且被連續(xù)收獲的時(shí)滯B-D捕食模型[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，17(2)：148-153.

1模型建立

在自然界中，有很多種群的個(gè)體的生命歷程會(huì)經(jīng)歷幼年和成年兩個(gè)階段，在研究這些種群時(shí)把它們分成兩個(gè)不同的階段更加符合實(shí)際情況，因此，階段結(jié)構(gòu)模型引起了人們的極大興趣[1-2].同時(shí)，一個(gè)個(gè)體從幼年成長到成年也需要一定的時(shí)間，因此，時(shí)滯也是一個(gè)不可忽略的因素[3-4].近些年來，與可持續(xù)發(fā)展直接相關(guān)的可再生資源最優(yōu)化管理問題已經(jīng)有很多學(xué)者進(jìn)行了廣泛的研究[5-6].

本文研究一類食餌具有脈沖擾動(dòng)、捕食者被連續(xù)收獲的具有時(shí)滯和階段結(jié)構(gòu)的Beddington-Deangelis 捕食模型：

(1)

初始條件為

本文中假設(shè)幼年捕食者不具有捕食能力.考慮到實(shí)際的生物意義，我們僅在D={(x，y1，y2)∈3x，y1，y2≥0}上研究系統(tǒng)(1).

因?yàn)橄到y(tǒng)(1)的第1個(gè)方程和第3個(gè)方程不包含y1(t)，所以我們可以把系統(tǒng)(1)簡化為

(2)

2相關(guān)引理

引理1[6]脈沖微分方程

其中a>0，b>0，μ>0，n為正整數(shù)，有唯一一個(gè)全局吸引的正周期解

引理2[4]考慮方程

x′(t)=ax(t-τ)-bx(t)-cx2(t)，

其中a，b，c和τ都是正的常數(shù)，并且對任意的t∈[-τ，0]，都有x(t)>0.則有如下結(jié)論：

證明：定義 V(t)=λx(t)+y1(t)+y2(t)，則

考慮下面的脈沖微分方程

3捕食者滅絕周期解及其全局吸引性

因?yàn)?/p>

由上式和系統(tǒng)(2)的第2個(gè)方程，有

考慮下面的比較方程

由此可知，對任意的ε1>0，存在T1，使得當(dāng)t>T1+τ時(shí)，有y2(t)<ε1.

結(jié)合上面的結(jié)論和系統(tǒng)(2)的第1個(gè)方程，可得

由此，我們得到z1(t)≤x(t)≤z2(t)，并且當(dāng)t→+時(shí)，(t).這里，z1(t)和 z2(t)分別為脈沖方程

4系統(tǒng)的持久性

證明：系統(tǒng)(2)的第2個(gè)方程可以寫成

根據(jù)引理3可以得到

(3)

由定理2的條件可知，我們可以選擇足夠小的y0>0，ε>0使得

(4)

我們斷言：對任意的t0>0，當(dāng)t≥t0時(shí)，y2(t)0，使得當(dāng)t≥t0時(shí)，有y2(t)

(5)

因此，由系統(tǒng)(2)的第2個(gè)方程及x(t)>σ可得

由此便得出矛盾.從而證明了當(dāng)t≥t1時(shí)，有y2(t)≥y*.

由式(5)和y2(t)≥y*，對任意的t≥t1，有

至此，我們證明了對于任意的t0>0，當(dāng)t≥t0時(shí)，式子y2(t)

根據(jù)上述斷言，那么就只存在兩種情形：

(ⅰ)對于充分大的t，有y2(t)>y0.

(ⅱ)對于充分大的t，有y2(t)在y0處振動(dòng).

此時(shí)，存在正的常數(shù)t*和δ，使得y2(t*)=y2(t*+δ)=y0，并且當(dāng)t*δ.

如果δ>τ，則當(dāng)t*q.而當(dāng)t*+τq.

因?yàn)閰^(qū)間[t*，t*+δ]是任意選取的，因此，對于足夠大的t，我們有y2(t)>q.證畢.

證明：設(shè)(x(t)，y1(t)，y2(t))是系統(tǒng)(1)的任意解.由系統(tǒng)(1)的第1個(gè)方程，得

根據(jù)比較定理[7]和引理 1可得：對任意的ε0>0，當(dāng)t→+時(shí)，有，其中

，

結(jié)合定理 2可知系統(tǒng)(1)是持久的.證畢.

5生物意義

根據(jù)生物資源管理的實(shí)際情況，本文我們考慮了捕食者具有階段結(jié)構(gòu)且被連續(xù)收獲的具有時(shí)滯的B-D捕食模型.其中食餌具有脈沖輸入，且對捕食者進(jìn)行連續(xù)捕獲.我們分析了系統(tǒng)(1)的捕食者滅絕周期解的全局吸引性，并且得到了系統(tǒng)(1)持續(xù)生存的條件.研究結(jié)果表明：捕食者的捕獲量E和對食餌的脈沖投放量μ對系統(tǒng)(1)的持久性起著重要作用，即其能阻止捕食者的滅絕，可以對生態(tài)平衡起到保護(hù)作用.

參考文獻(xiàn)：

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[7] V Lakshmikantham，D D Bainov，P Simronov.Theory of impulsive differential equations[M].Singapore：World Scientific，1989.

【責(zé)任編輯：伍林】

A Stage-structured B-D Predator-prey Model with Impulsive Stocking and Continuous Harvesting

Zhang Huiqin1，Jia Jianwen2

(1．YunchengAdvancedNormalCollege，Yuncheng044000，China；2．SchoolofMathematicalandComputerScience，ShanxiNormalUniversity，Linfen041004，China)

Abstract：A delayed stage-structured B-D predator-prey model with impulsive stocking on prey and continuous harvesting on predator is investigated.Using the comparison theorem of impulsive differential equations，we obtained the sufficient conditions for the global attractivity of the predator-eradication periodic solution and the permanence of the system.

Key words：delay；stage-structure；impulsive；globally attractivity；permanence

中圖分類號(hào)：O175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

作者簡介：張慧勤(1983-)，女，碩士，講師，主要從事生態(tài)數(shù)學(xué)研究，E-mail：103724782@qq.com；賈建文(1963-)，男，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事生態(tài)數(shù)學(xué)研究，E-mail：jiajw.2008@163.com.

基金項(xiàng)目：山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013011002-2).

收稿日期：2015-12-25

文章編號(hào)：1009-4822(2016)02-0148-06

DOI：10.11713/j.issn.1009-4822.2016.02.002