淺談帶電粒子在電磁場中的運動

唐建國

【摘 要】 帶電粒子在有界勻強磁場中的運動實質(zhì)是一類運動問題，這一類運動由于研究對象的特殊（帶電粒子，不計重力）和運動環(huán)境的特殊（有界勻強磁場）及處理方法的特殊而在所有運動問題中備受青睞。

【關(guān)鍵詞】 帶電粒子；電磁場；運動

【中圖分類號】G633.2 【文獻標(biāo)識碼】B 【文章編號】2095-3089（2016）07-0-01

帶點粒子運動場境主要是勻強磁場或者勻強電場。這涉及到帶電粒子在磁場中的速度和其它物理量，帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，在勻強電場中做類平拋運動是基本問題。對應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力要求較高。1、分析受力。帶電粒子在電場中受電場力，在磁場中受洛倫茲力。（不計重力）2、畫軌跡。根據(jù)帶電粒子的受力情況和初始狀態(tài)，畫出運動軌跡的示意圖。3、找圓心。畫出兩條與入射速度和出射速度垂直的半徑?；蛘弋嬕粭l與入射速度垂直的半徑。一條弦的中垂線，其交點就是圓弧的圓心。4、找輔助三角形。尋找已知量和半徑有聯(lián)系的三角形。根據(jù)數(shù)學(xué)知識寫出有關(guān)的關(guān)系式。5、套規(guī)律。帶電粒子在勻強電場中，做類平拋運動，根據(jù)平拋規(guī)律寫出關(guān)系式。在勻強磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律寫出關(guān)系式。

一、帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法

1、圓心的確定

因為洛倫茲力F指向圓心，根據(jù)F⊥v，畫出粒子運動軌跡中任意兩點（一般是射入和射出磁場兩點），先作出切線找出v的方向再確定F的方向，沿兩個洛倫茲力F的方向畫其延長線，兩延長線的交點即為圓心，或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位置。

2、半徑的確定和計算

利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑（或圓心角），并注意以下兩個重要的幾何特點：

①粒子速度的偏向角φ等于轉(zhuǎn)過的圓心角α，并等于AB弦與切線的夾角（弦切角）θ的2倍，即φ=α=2θ。

②相對的弦切角θ相等，與相鄰的弦切角θ′互補，即θ+θ′=180°。如右圖所示：

3、粒子在磁場中運動時間的確定

若要計算轉(zhuǎn)過任一段圓弧所用的時間，則必須確定粒子轉(zhuǎn)過的圓弧所對的圓心角，利用圓心角α與弦切角的關(guān)系，或者利用四邊形內(nèi)角和等于360°計算出圓心角α的大小，并由表達式，確定通過該段圓弧所用的時間，其中T即為該粒子做圓周運動的周期，轉(zhuǎn)過的圓心角越大，所用時間t越長，注意t與運動軌跡的長短無關(guān)。

4、明確“φ=α=2β”

帶電粒子沿垂直于磁場的方向進入有界磁場，其運動軌跡為一圓?。▋?yōu)弧或劣弧），連接圓弧的兩端點（入射點、出射點）即得弦，而粒子在入射點或出射點的速度方向即為該圓弧的切線。為了更準(zhǔn)確的反映它們的關(guān)系，定義：

φ──偏向角，即粒子沿偏轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)過的角度，反映在入射點與出射點的速度方向上；

α──回旋角，即粒子經(jīng)過圓弧所對的圓心角；

β──弦切角，即粒子的速度與“弦”所成的角。

如圖1所示，易證：φ=α=2β。

二、帶電粒子在有界磁場中及電場中運動類型的分析

例1：一半徑為R的圓表示一柱形區(qū)域的橫截面（紙面）。在柱形區(qū)域內(nèi)加一方向垂直于紙面的勻強磁場，一質(zhì)量為m。電荷量為q的粒子沿圖中直線在圓上的a點射入柱形區(qū)域，在圓上的b點離開該區(qū)域，離開時速度方向與直線垂直。圓心O到直線的距離為?，F(xiàn)將磁場換為平等于紙面且垂直于直線的勻強電場，同一粒子以同樣速度沿直線在a點射入柱形區(qū)域，也在b點離開該區(qū)域。若磁感應(yīng)強度大小為B，不計重力，求電場強度的大小。

解：粒子在磁場中做圓周運動。設(shè)圓周的半徑為r，由牛頓第二定律和洛侖茲力公式得①

式中v為粒子在a點的速度。

過b點和O點作直線的垂線，分別與直線交于c和d點。由幾何關(guān)系知，線段和過a。b兩點的軌跡圓弧的兩條半徑（未畫出）圍成一正方形。因此②

設(shè)有幾何關(guān)系得③④

聯(lián)立②③④式得

再考慮粒子在電場中的運動。設(shè)電場強度的大小為E，粒子在電場中做類平拋運動。設(shè)其加速度大小為a，由牛頓第二定律和帶電粒子在電場中的受力公式得qE=ma⑥

粒子在電場方向和直線方向所走的距離均為r，有運動學(xué)公式得

⑦r=vt⑧

式中t是粒子在電場中運動的時間。聯(lián)立①⑤⑥⑦⑧式得⑨

總之找圓心、畫軌跡是解題的基礎(chǔ)。帶電粒子垂直于磁場進入一勻強磁場后在洛倫茲力作用下必作勻速圓周運動，抓住運動中的任兩點處的速度，分別作出各速度的垂線，則二垂線的交點必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用數(shù)學(xué)知識求出圓周運動的半徑及粒子經(jīng)過的圓心角從而解答物理問題。

三、“帶電粒子在磁場中的圓周運動”的極值型問題

尋找產(chǎn)生極值的條件：①直徑是圓的最大弦；②同一圓中大弦對應(yīng)大的圓心角；③由軌跡確定半徑的極值。

例題：半徑r=10cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強磁場，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點O處相切；磁場B=0.33T垂直于紙面向內(nèi)，在O處有一放射源S可沿紙面向各個方向射出速率均為的α粒子；已知α粒子質(zhì)量電量，則α粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角θ及在磁場中運動的最長時間t各多少？

分析：α粒子從點O進入勻強磁場后必作勻速圓周運動，其運動半徑由一定；由于α粒子從點O進入磁場的方向不同故其相應(yīng)的軌跡與出場位置均不同，則粒子通過磁場的速度偏向角θ不同；要使α粒子在運動中通過磁場區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角θ最大，則必使粒子在磁場中運動經(jīng)過的弦長最大；因而圓形磁場區(qū)域的直徑OP即為粒子在磁場中運動所經(jīng)過的最大弦；故α粒子從點O入磁場而從點P出場的軌跡如圖圓O所對應(yīng)的圓弧示，該弧所對的圓心角即為最大偏轉(zhuǎn)角θ。由前面計算知△SO/P必為等邊三角形，故α=30°且θ=2α=60°。此過程中粒子在磁場中運動的時間由即為粒子在磁場中運動的最長時間。如下圖所示

總之，對一些基本規(guī)律如圓心的確定，偏轉(zhuǎn)角和圓心角及弦切角的關(guān)系，圓形有界場中若帶電粒子進入時速度方向過磁場圓心則出去時速度必過圓心等要熟練掌握和應(yīng)用。這些規(guī)律應(yīng)在學(xué)生進行一定量練習(xí)題目基礎(chǔ)上進行引導(dǎo)得出，并通過相應(yīng)練習(xí)題進行體會，不能一蹴而就，急于求成。

參考文獻：

1.張興剛；淺議帶電粒子在磁場中運動的求解方法[J]；當(dāng)代教育論壇（教學(xué)版）；2010年02期

2.岳亮；分析物理情景構(gòu)建科學(xué)模型[J]；中學(xué)教學(xué)參考；2010年05期

3.李艷軍；歸類解析2009年高考電場類試題[J]；考試與招生；2010年02期

4.黃干生；帶電粒子在交變電、磁場中的運動[J]；中學(xué)生數(shù)理化（高考版）；2010年01期