利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)確定極值點與拐點的方法探析

邵景行

【摘 要】應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷給定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的增減性與凸凹性，明確極值點和拐點是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重點與難點，本文現(xiàn)就該內(nèi)容所涉及到的方法做一簡單的歸納與整理，以期對該內(nèi)容的學(xué)習(xí)者有所幫助。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；極值點；駐點；拐點

Analysis on the Method of Determining the Extreme Point and the Turning Point by using the Function Derivative

SHAO Jing-xing

（Hainan Normal University School of mathematics and statistics， Haikou Hainan 571158， China）

【Abstract】Using the derivative of the function within the specified interval decreasing function and convex and concave of judgment and determine the function of the extreme point and inflection point is the emphasis and difficulty in the process of learning higher mathematics， methods in this paper， the content involves the do generalize a finishing， in order on the learners help.

【Key words】Derivative； The extreme Point； The Turning Point

1 關(guān)于函數(shù)的增減性

定義1：對于某區(qū)間內(nèi)任意給定的x1、x2，且x1

根據(jù)定義1的幾何意義，有如下判斷函數(shù)增加性的方法。

定理1：設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，若在（a，b）內(nèi)f ′（x）>0，則f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增；若在（a，b）內(nèi)f ′（x）<0，則f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減。

有些函數(shù)在整個的考察范圍上并不是單調(diào)的，這時就要把考察范圍劃分成幾個單調(diào)區(qū)間。導(dǎo)數(shù)等于0的點和導(dǎo)數(shù)不存在的點可能是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點，所以，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟為：

（1）確定函數(shù)的定義域；

（2）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f′（x）=0的點和f ′（x）不存在的點，將定義域分割成幾個部分區(qū)間；

（3）列表確定f ′（x）在各個部分區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定f（x）的單調(diào)增減區(qū)間。

2 關(guān)于函數(shù)的極值點

定義2：設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)任意的x（x≠x0），恒有f（x）f（x0）），則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極大值（或極小值）。

極大值與極小值均被稱為極值，使函數(shù)取到極值的點x0稱為f（x）的極值點。函數(shù)取到極值的位置可能是切線斜率等于0（f ′（x）=0）的位置，但切線斜率等于0（f ′（x）=0）的位置不一定就是極值點，除了f′（x）=0的這些位置之外，還有一些位置也可能會是極值點，就是那些函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)不存在（不可導(dǎo)）的位置。

定理2：若函數(shù)f（x）在點x0處可導(dǎo)，且在點x0處取得極值，則必有f ′（x0）=0。

定理3：設(shè)函數(shù)f（x）在點x0處連續(xù)，在點x0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)。

（1）當(dāng)x0，而當(dāng)x>x0時，f ′（x）<0，則x0是函數(shù)f（x）的極大值點，f （x0）是函數(shù)極大值。

（2）當(dāng)xx0時，f ′（x）>0，則x0是函數(shù)f（x）的極小值點，f （x0）是函數(shù)極小值。

（3）當(dāng)xx0時，f ′（x）的符號相同，則x0不是函數(shù)的極值點。

根據(jù)以上定理，求函數(shù)f（x）的極值可按以下步驟進行：

（1）求出函數(shù)的定義域及一階導(dǎo)數(shù)f ′（x）；

（2）求出可能極值點即f（x）的駐點和f ′（x）不存在的點；

（3）用定理3判斷出是否是極值點，若是，再判斷是極大值點還是極小值點；

（4）求出各極值點的函數(shù)值就得到函數(shù)的極值。

3 關(guān)于函數(shù)的凸凹性

定義3：在區(qū)間（a，b）內(nèi)，若曲線弧位于其任意一點切線的上方，則稱曲線弧在（a，b）內(nèi)是凹的，此區(qū)間為凹區(qū)間；若曲線弧位于其任意一點切點的下方，則稱該曲線弧在（a，b）內(nèi)是凸的，此區(qū)間為凸區(qū)間。

一般來說利用定義判斷函數(shù)的凸凹性是比較困難的，一般利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)來判斷，對于凹曲線，當(dāng)x逐漸增加時，其圖像上每一點切線的斜率是逐漸增加的，即函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f ″（x）>0；而對于凸曲線，當(dāng)x的逐漸增加，圖像上任一點切線斜率是逐漸減小的，即函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f ″（x）<0。

定理4：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間（a，b）內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，則：

（1）若在區(qū)間（a，b）內(nèi)，f ″（x）>0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的曲線是凹的；

（2）若在區(qū)間（a，b）內(nèi)，f ″（x）<0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的曲線是凸的。

4 關(guān)于函數(shù)的拐點

定義4：連續(xù)曲線y=f（x）上的凹曲線與凸曲線的分界點，稱曲線y=f（x）的拐點。

可見，當(dāng)函數(shù)f（x）的二階導(dǎo)數(shù)f ″（x）存在時，拐點兩側(cè)f ″（x）的符號一定相反。我們一般按照下列步驟來判定曲線y=f（x）的拐點。

（1）確定函數(shù)y=f（x）的定義域；

（2）求出可能拐點即使函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f ″（x）=0的點和二階導(dǎo)數(shù)f ″（x）不存在的點。

（3）對可能是拐點的每一個點x0，考察f ″（x）在點x0左右兩側(cè)的符號是否相反，是則是拐點，不是則不是拐點。

5 實例解析在區(qū)間（-∞，0]和[2/3，+∞）上曲線是凹的，在區(qū)間[0，2/3]上曲線是凸的。點（0，1）和（2/3，11/27）是曲線的拐點。

6 總結(jié)

綜上所述，函數(shù)的極值點是那些把函數(shù)的增減區(qū)間劃分開來的點，在這些點兩側(cè)函數(shù)的增減性是相反的，而能夠做到這一點的點有兩種，一種是一階導(dǎo)數(shù)等于0的點即駐點，還有一種就是一階導(dǎo)數(shù)不存在的點，但這兩種點兩側(cè)的增減性又有可能是相同的，所以為了找出函數(shù)的極值點，應(yīng)該先把可能是極值點的這兩類點找出來，然后一一確認這些點是否極值點。曲線的拐點是那些能把曲線的凸凹性劃分開來的點，在這樣的點兩側(cè)曲線的凸凹性正好是相反的，而能夠做到這一點的點同樣有兩種，一種就是二階導(dǎo)數(shù)等于0的點，再就是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點。但這兩種點兩側(cè)的凸凹性卻也不一定是相反的，所以為了尋求曲線的拐點，我們應(yīng)先把可能是拐點的這兩種點找出來，再一一確認他們的兩側(cè)凸凹性是否相反。

【參考文獻】

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[責(zé)任編輯：王楠]