高中數(shù)學(xué)常見錯誤分析及解決策略——以指、對數(shù)函數(shù)為例

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高中數(shù)學(xué)常見錯誤分析及解決策略
——以指、對數(shù)函數(shù)為例

陳姍姍

(廣東省中山市第二中學(xué)，528429)

很多學(xué)生常在數(shù)學(xué)考試之后“懊惱不已”,因為很多本應(yīng)該會做的題目卻沒有拿到一定的分?jǐn)?shù),盡管學(xué)生一直想避免這種情況,但現(xiàn)實中,多數(shù)學(xué)生還是很難做到,因為一些常見的錯誤總是錯了一次又一次．所以說,要想真正學(xué)好數(shù)學(xué)并不是件容易的事,這不僅需要教師的努力,同時學(xué)生也應(yīng)該清楚地認(rèn)識到自己在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中所碰到的常見錯誤,并及時找到避免錯誤的辦法．本文就高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所碰到的常見錯誤及其解決策略進(jìn)行初步探討．

一、知識性錯誤

高中數(shù)學(xué)知識點多,難度大,很多學(xué)生吃不透,對所學(xué)知識一知半解,模棱兩可,多個知識之間混淆,或者根據(jù)已有的經(jīng)驗,發(fā)生錯誤的遷移,因此容易犯一些知識性的錯誤．下面分析常見的三種知識性錯誤．

1.概念理解不清

正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．一些學(xué)生數(shù)學(xué)之所以差,概念不清往往是最直接的原因,特別是中等偏下的學(xué)生,他們的理解能力和領(lǐng)悟能力稍差,對所學(xué)概念經(jīng)常模棱兩可,一知半解,更有甚者干脆靠死記硬背,而不去真正透徹理解,只是機械的、零碎的認(rèn)識．這樣久而久之,從而嚴(yán)重影響了對概念基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握和運用．

我們知道,對數(shù)概念特別抽象,學(xué)生很難接受,困難不在于計算,而是在于理解．其實對數(shù)問題就是已知底數(shù)和冪的值,求指數(shù)的過程．只要學(xué)生能夠掌握對數(shù)與指數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系(當(dāng)a>0,a≠1時,ax=N?x=logaN)所有對數(shù)的運算問題都可以迎刃而解．在這個轉(zhuǎn)化式中,學(xué)生有兩個常見出錯點:一是a>0,a≠1;二是真數(shù)N>0．人教版必修1是這樣規(guī)定正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義:amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1),也就是說分?jǐn)?shù)指數(shù)冪都可以寫成根式的形式,那么首先就應(yīng)該考慮到根式要有意義才行,比如(-2)〖SX(〗34〖SX)〗=〖KF(S〗4(-2)3〖KF)〗是沒有意義的．因為真數(shù)N是ax的值,所以必須為正數(shù),部分學(xué)生沒有理解指數(shù)、對數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,所以總是出錯,如解不等式log〖SX(〗12〖SX)〗x>2,很多學(xué)生的答案都是x<〖SX(〗14〖SX)〗,而漏掉x>0．

每一個概念的產(chǎn)生都有豐富的知識背景,舍棄這些背景,對概念直接死記硬背,數(shù)學(xué)知識點零碎、復(fù)雜，概念嚴(yán)謹(jǐn)，對邏輯能力、空間思維能力、動手解題能力要求較高．這就要求每一位學(xué)生不但要知其然,而且更要知其所以然．

2.公式、法則、定理混淆

在新課標(biāo)環(huán)境下,運算能力仍然是高考著重考察的能力之一．雖然高考“多考一點想,少考一點算”,但并不意味著“想”比“算”更重要．每年高考結(jié)束以后,學(xué)生耿耿于懷的經(jīng)常是算錯了或是運算繁瑣而算不下去了．而計算上出現(xiàn)問題,我們不能把原因總是歸結(jié)為不夠細(xì)心．據(jù)筆者觀察,非常重要的一個原因就是許多高中生只是注重思維訓(xùn)練,而忽視運算的基本功,特別是他們以為熟知的初中數(shù)學(xué)運算性質(zhì)．

有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):對于任意有理數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì):

(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q)

(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q)

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)

這三個運算性質(zhì)看似簡單,因為和初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)幾乎雷同,所以學(xué)生在做題時習(xí)慣性按照以前的做法做下去,比如:

[(-2)2]〖SX(〗32〖SX)〗=(-2)2×〖SX(〗32〖SX)〗=(-2)3=-8.

這樣做顯然是錯誤的,忽視了有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)中關(guān)鍵的一點“a>0”.對此，老師在講解時應(yīng)反復(fù)強調(diào)并分析原因．正確的解法是:[(-2)2]〖SX(〗32〖SX)〗=4〖SX(〗32〖SX)〗=22×〖SX(〗32〖SX)〗=23=8.造成這種錯誤的根本原因就是沒有理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與整數(shù)指數(shù)冪的區(qū)別.教師授課時應(yīng)該加以重視,通過舉一反三和正反例子來說明二者的異同點,并指出常見的錯誤類型與學(xué)生一起分析．

然而,在學(xué)習(xí)了三個對數(shù)的運算性質(zhì)之后,學(xué)生就更加混淆不清了．有關(guān)對數(shù)的三個基本運算性質(zhì):如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:

(1)loga(M·N)=logaM+logaN;

(2)loga〖SX(〗MN〖SX)〗=logaM-logaN

(3)logaMn=nlogaM(n∈R)

對于初學(xué)者來說,掌握并理解這三個性質(zhì)并不容易,因此各種錯誤也是層出不窮:如:下列等式成立的是()

(A)log2(3÷5)=log23-log25

(B)log2(-10)2=2log(-10)

(C)log2(3+5)=log23·log25

(D)log2(-5)3=-log253

類似于選項C的這種錯誤是非常常見的．學(xué)生沒有完全掌握對數(shù)的運算性質(zhì),從而與指數(shù)的運算性質(zhì)混淆一起．再看下面幾個有關(guān)指數(shù)的運算:

(1)2n+1-2n=2n

(2)〖SX(〗12n〖SX)〗-〖SX(〗12n+1〖SX)〗=〖SX(〗12n+1〖SX)〗

(3)2n·2n+1=22n+1

(4)〖SX(〗22n+12n〖SX)〗=2n+1,

由于筆者任教的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般,所以這種看似簡單的計算,出錯率卻很高,(1)、(2)其實就是合并同類項,(3)、(4)才是用指數(shù)的運算公式“同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變指數(shù)相加;同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變指數(shù)相減”．學(xué)生在做題時經(jīng)常把對數(shù)的運算法則和指數(shù)的運算法則混淆,作為教師我們要示范舉例說明,再讓學(xué)生舉例說明,給學(xué)生足夠的時間去發(fā)現(xiàn)錯誤、糾正錯誤,從而使學(xué)生形成正確的認(rèn)知．

3.圖象畫法不準(zhǔn)確

高中數(shù)學(xué)強調(diào)“數(shù)形結(jié)合”的解題思想,很多問題的解決如果能借助于圖象,往往能起到事半功倍的效果.正確理解并合理應(yīng)用函數(shù)圖象,在很大程度上能夠幫助我們鞏固、消化所學(xué)的理論知識．借助于圖象,能夠使我們所研究的問題簡單化、直觀化、清晰化．因此,每位高中生都應(yīng)該掌握識圖、作圖、用圖的本領(lǐng)．有了圖象就可以將某些枯燥、抽象的理論知識具體化、形象化．所以同學(xué)們一定要熟知我們所學(xué)習(xí)過的每一個函數(shù)的圖象,只有這樣才能做到融會貫通,舉一反三．

轉(zhuǎn)移支付制度的設(shè)計是央地財政關(guān)系的重要組成部分，是賦予地方政府相應(yīng)“財權(quán)”后如果其仍然收支失衡的一個重要補充。目前大的改革方向是增加一般性轉(zhuǎn)移支付的比重，降低專項轉(zhuǎn)移支付的比重。原因顯然是由于專項轉(zhuǎn)移支付制度的“一事一議”、“易上難下”等容易產(chǎn)生許多問題。但從目前來看，轉(zhuǎn)移支付制度的關(guān)鍵在于如何明晰一般性轉(zhuǎn)移支付與專項轉(zhuǎn)移支付的界限，更好地發(fā)揮兩種轉(zhuǎn)移支付制度各自的優(yōu)點，更好地完善制度框架設(shè)計，不能簡單地提高或降低某項轉(zhuǎn)移支付的比重。

例如，k為何值時,方程|3x-1|=k無解?有一解?兩解?

這是一道常見的數(shù)形結(jié)合的題目,把方程的根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點,即函數(shù)y=|3x-1|與y=k的交點問題,通過畫圖(如圖1),觀察圖象,易知:k<0時無解;k=0或k≥1時一解;0

然而部分學(xué)生在作圖時卻忽略了漸近線,作出如圖2的圖象，得出這樣的答案:k<0時無解;k=0時一解;k>0時兩解．錯誤的原因就在于沒有掌握指數(shù)函數(shù)的圖象是無限接近x軸,即x軸是指數(shù)函數(shù)圖象的漸近線這一知識點所造成的．

二、計算錯誤

計算在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要,提高計算能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要一環(huán)．不少學(xué)生在考試成績出來時總是遺憾的說:“這題我會做的,但是算錯了數(shù)”,或者常常聽到不少老師埋怨:“學(xué)生的計算能力太差了,連這么簡單的運算都過不了關(guān),甚至數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生運算結(jié)果也常出差錯．”就算是簡單的計算錯誤代價也是很大的,動不動就扣5分以上,如果出現(xiàn)幾處這樣的錯誤,那么對學(xué)生情緒影響更大.筆者分析簡單的計算錯誤無非就是以下5種:

(1)跳步產(chǎn)生錯誤．很多學(xué)生在考試過程中貪快,搶時間,在進(jìn)行一些簡單的計算時,覺得沒有問題,直接跳步計算,在這個過程中往往會出錯．

(3)口算導(dǎo)致錯誤．這個是學(xué)生最容易犯的錯誤,比如:90°-15°=85°;17×5=65．

(4)抄寫錯誤．由于粗心或者心理壓力過大,學(xué)生在解題過程中往往出現(xiàn)上下步數(shù)值不匹配的現(xiàn)象,把上一步的2抄成3,正負(fù)號抄錯,漏抄等等,或在草稿紙上已經(jīng)將最后答案計算出來了,結(jié)果往答題紙上抄寫的時候,出現(xiàn)了錯誤．

計算錯誤是“會而不對”中最常見的現(xiàn)象,很多學(xué)生因為這樣的情況直接影響高考走向．?dāng)?shù)學(xué)離不開計算,提高計算能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的第一步,能避免的錯誤盡量避免,不要眼高手低,要腳踏實地．

三、教材理解不透徹

新課標(biāo)對反函數(shù)的學(xué)習(xí)要求是:知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)(a>0,a≠1)．對反函數(shù)的處理,只要求以具體函數(shù)為例進(jìn)行解釋和直觀理解.例如,可通過比較同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù),說明指數(shù)函數(shù)y=ax和對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)(a>0,a≠1)．不要求一般地討論形式化的反函數(shù)定義,也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)．但是在學(xué)生平時的學(xué)習(xí)和考試中包括各省市的模擬題頻頻出現(xiàn)關(guān)于反函數(shù)的題目．

例如，函數(shù)y=〖JB((〗〖SX(〗12〖SX)〗〖JB))〗x的反函數(shù)的圖象大致是()

這是我校高三的一道月考題,得分情況很不樂觀:

滿分5分，平均分0.96,得分率0.19,難度系數(shù)0.34,區(qū)分度0.69,標(biāo)準(zhǔn)差1.97,人數(shù)57,對11人，錯46人，選A有9人，選B有32人，選C有5人，選D有11人.

5分的題目平均分不到0.2，足以說明學(xué)生對反函數(shù)的理解真的很差.事實上這道題很簡單,錯誤的原因就在于沒有吃透教材,因為教材上沒有例題,所以學(xué)生沒有給予足夠的重視,碰到這類題目只有丟分．

總之,錯誤出現(xiàn)了,我們不能總簡單地歸結(jié)為:粗心大意、心理壓力過大等原因,要認(rèn)真分析,找到錯誤的原因,并根據(jù)自己出現(xiàn)的問題進(jìn)行調(diào)整,將錯誤降到最低．