把握數(shù)學(xué)本質(zhì)　合理設(shè)計(jì)教學(xué)——以“兩條直線相互垂直”一課為例

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把握數(shù)學(xué)本質(zhì)合理設(shè)計(jì)教學(xué)
——以“兩條直線相互垂直”一課為例

王善波

(江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校，225700)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》指出:“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真,努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)．”對(duì)于課本上每一個(gè)數(shù)學(xué)法則,都應(yīng)想方設(shè)法揭示其發(fā)展過(guò)程．這就要求我們遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,精心設(shè)計(jì)問(wèn)題,把重要法則的學(xué)習(xí)過(guò)程設(shè)計(jì)成為在教師指導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程,并以此讓學(xué)生獲得那些終身受用的東西,即數(shù)學(xué)的本質(zhì):數(shù)學(xué)的精神、思想和方法．

本文以筆者所聽(tīng)的一節(jié)課“兩條直線相互垂直”為例,從教學(xué)設(shè)計(jì)的角度對(duì)這節(jié)課作簡(jiǎn)要的反思并提出幾點(diǎn)想法,希望能與同行交流,并得到數(shù)學(xué)教育專家們的指導(dǎo)．

一、課堂簡(jiǎn)錄

師:在上一節(jié)課中,我們一起探討了兩條直線相互平行的位置關(guān)系.我們知道,當(dāng)直線斜率不存在時(shí),……直線斜率存在時(shí),……該結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立(教師邊講邊通過(guò)投影屏幕展示結(jié)論)．請(qǐng)同學(xué)們回憶,我們是用什么方法探究?jī)芍本€平行的位置關(guān)系?

(學(xué)生回憶思考)

師:我們是從兩條直線平行的圖形出發(fā),通過(guò)它們傾斜角的大小關(guān)系,推導(dǎo)到兩條直線斜率的關(guān)系;反過(guò)來(lái),確定了直線方程滿足一定關(guān)系時(shí),可以得出兩條直線平行．這正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想方法．

師:本節(jié)課,請(qǐng)大家也按照這樣的方法來(lái)探討兩條直線垂直的位置關(guān)系,請(qǐng)看下面的問(wèn)題．

(教師在投影屏幕上出示問(wèn)題:如果兩條直線l1,l2滿足l1⊥l2,那么它們的傾斜角有什么關(guān)系?斜率又有什么關(guān)系?)

問(wèn)題提出不足30秒后,教師請(qǐng)一位同學(xué)回答．

師:很好!那么它們的斜率又有什么關(guān)系呢?

生2:它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)．

師:其他同學(xué)有不同意見(jiàn)嗎?

生3:當(dāng)兩條直線的斜率都存在且不為零時(shí),斜率互為負(fù)倒數(shù),也就是斜率之積等于-1;當(dāng)其中一條直線斜率不存在時(shí),另一條直線的斜率為零.

(教師在投影屏幕上打出問(wèn)題,然后在小組間巡視、觀察．2分鐘后,教師發(fā)現(xiàn)多數(shù)同學(xué)對(duì)于k1k2=-1的條件無(wú)法轉(zhuǎn)化,不知如何入手,教師有些急躁,于是提示學(xué)生可以從三角函數(shù)的知識(shí)或從平面幾何的知識(shí)入手．)

又過(guò)了幾分鐘,教師請(qǐng)同學(xué)來(lái)交流自己的探究結(jié)果．

生4:當(dāng)一條直線的斜率不存在,另一條直線斜率為零時(shí),這兩條直線垂直;當(dāng)兩直線斜率滿足k1k2=-1時(shí),我還沒(méi)有想好．

教師詢問(wèn)是否有同學(xué)想好如何說(shuō)明,學(xué)生沒(méi)有反應(yīng),這時(shí)教師沒(méi)有繼續(xù)引導(dǎo)(后來(lái)知道,怕教學(xué)任務(wù)不能完成),于是自己在黑板上畫(huà)圖,用課本習(xí)題介紹的相似三角形的方法證明了k1k2=-1時(shí),兩條直線也垂直．(限于篇幅,證明過(guò)程從略)教師最后強(qiáng)調(diào)反過(guò)來(lái)也成立,將黑板上原有結(jié)論中的“?”改為“?”．

由于上面用時(shí)較長(zhǎng),所以對(duì)于定理的應(yīng)用只講了課本的例題1(詳見(jiàn)蘇教版必修2).教師先請(qǐng)同學(xué)說(shuō)明思路,然后請(qǐng)另一個(gè)同學(xué)板演．

二、反思

教師是在類比兩條直線平行的位置關(guān)系上提出了本節(jié)課的研究課題,即兩條直線垂直與它們方程之間的關(guān)系.應(yīng)該說(shuō)是在學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)上開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng),從原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中生長(zhǎng)出新知識(shí),產(chǎn)生新問(wèn)題,這在常規(guī)課堂中并不少見(jiàn),即先把本節(jié)課要用到的知識(shí)、方法復(fù)習(xí)一遍,再拋出要研究的問(wèn)題.但這樣做真的有利于學(xué)生學(xué)力的提高嗎?仔細(xì)思考不難發(fā)現(xiàn)教師是牽著學(xué)生向前走的,研究的問(wèn)題和方法都是教師提出的,教師認(rèn)為學(xué)生只要模仿就行了,學(xué)生只是被動(dòng)地完成老師布置的任務(wù)．筆者認(rèn)為可以這樣處理,先提出解析幾何的兩大基本問(wèn)題,思考已經(jīng)解決了哪些問(wèn)題,還要解決哪些問(wèn)題,由學(xué)生自己提出如何借助直線的方程來(lái)研究直線的垂直問(wèn)題,然后讓學(xué)生分析討論,教師逐步引導(dǎo)、補(bǔ)充,最后自然而然就會(huì)回到定理的等價(jià)性問(wèn)題上了．這樣,通過(guò)問(wèn)題提供學(xué)生在思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的學(xué)習(xí)任務(wù),能激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與興趣；另外,也使得教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化,保持思想方法的一致性,符合教學(xué)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)原則．

定理建構(gòu)是本節(jié)課的難點(diǎn),由兩直線垂直得到直線傾斜角的關(guān)系,進(jìn)一步得到直線斜率之間關(guān)系,這一過(guò)程進(jìn)行比較順利,學(xué)生容易理解．但是其逆命題的說(shuō)明教師處理得比較生硬,用三角形相似的方法在學(xué)生頭腦中沒(méi)有“生長(zhǎng)點(diǎn)”,學(xué)生有“丈二和尚摸不著頭腦”的感覺(jué).教材中的處理是一帶而過(guò),沒(méi)有過(guò)多解釋,只是在后面的習(xí)題中作為問(wèn)題給出,原因是這部分要用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí),而三角函數(shù)的內(nèi)容安排在必修4．定理的建構(gòu)應(yīng)該建立在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上,即使教師采用講授法,也應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際水平和認(rèn)知特點(diǎn).其實(shí)，我校學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)必修4的相關(guān)內(nèi)容,學(xué)生在思考該問(wèn)題時(shí),已經(jīng)能夠想到將斜率轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的正切值,再轉(zhuǎn)化為角的大小關(guān)系．學(xué)生在課堂上沒(méi)有回答出,主要原因是三角函數(shù)知識(shí)的遺忘以及教師留給學(xué)生的時(shí)間不充分(在筆者附近座位的個(gè)別同學(xué)已經(jīng)按此思路演算)．筆者認(rèn)為,此處既然是本課的難點(diǎn),應(yīng)讓學(xué)生充分思考,必要時(shí)可以相互討論,教師可以補(bǔ)充一些提示語(yǔ).如“條件是什么?”“要證明的結(jié)論是什么?”“斜率如何轉(zhuǎn)化?”等等,幫助學(xué)生分析,讓學(xué)生在思維受阻時(shí)能調(diào)整思路,明確方向．處理好這一過(guò)程將大大提高學(xué)生的邏輯思維能力,這與“重結(jié)果,更重過(guò)程”的理念是一致的．

定理的應(yīng)用既是對(duì)定理的進(jìn)一步理解,又是對(duì)教學(xué)效果的反饋.從本節(jié)課來(lái)看,學(xué)生掌握了兩條直線相互垂直時(shí)的代數(shù)關(guān)系,在具體應(yīng)用時(shí)還不夠熟練,有些解題的過(guò)程還需要調(diào)整和優(yōu)化,這些可以通過(guò)后續(xù)課程補(bǔ)充．在這里,筆者的想法是,可以先安排一道判斷兩直線是否垂直的問(wèn)題,然后再談例1.這樣一正一反,前后呼應(yīng),兩個(gè)方面的應(yīng)用都有,題目由易到難,后面有可能還可以綜合起來(lái)進(jìn)行變式,有利于學(xué)生“結(jié)構(gòu)化”的接受、掌握．對(duì)于板演學(xué)生的做法,用待定系數(shù)法解題也未嘗不可,對(duì)這類個(gè)案,可以加以引導(dǎo),如“已知直線上一點(diǎn),要求直線方程,還需要什么條件”等,從而對(duì)前面所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納、鞏固．由于時(shí)間關(guān)系,學(xué)生的課堂訓(xùn)練量偏少,需要在課后進(jìn)行彌補(bǔ),以便學(xué)生更好地理解所學(xué)知識(shí)．

三、認(rèn)識(shí)

1.遵循認(rèn)知規(guī)律

有效的教學(xué)取決于有效的學(xué)習(xí),對(duì)教師教學(xué)效果的評(píng)價(jià)應(yīng)著眼于學(xué)生獲得了什么,除了知識(shí)的獲取外,更要注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)．從這個(gè)意義上講,教師不應(yīng)該是知識(shí)的傳授者,而應(yīng)該成為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者．學(xué)生在前面已經(jīng)經(jīng)歷過(guò)運(yùn)用直線的方程研究?jī)蓷l直線平行,本節(jié)課可以說(shuō)是對(duì)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題這一核心方法以及如何運(yùn)用該方法進(jìn)行研究的復(fù)習(xí)與鞏固,處理得好,可以有“異曲同工”之妙．從認(rèn)知規(guī)律來(lái)講,一種方法的掌握,必須經(jīng)過(guò)模仿、內(nèi)化、應(yīng)用等多個(gè)環(huán)節(jié),通過(guò)不斷的訓(xùn)練,達(dá)到螺旋上升,直至完全領(lǐng)會(huì)．因此,必須創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境來(lái)引導(dǎo)學(xué)生積極思考，高明的教師往往善于提出有價(jià)值的問(wèn)題,引發(fā)學(xué)生思考、提問(wèn)．有價(jià)值的問(wèn)題要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”提出．問(wèn)題的解決既不能讓學(xué)生“唾手可得”,也不能“遙不可及”,而是讓他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中達(dá)到一種“憤、悱”狀態(tài),能夠“跳一跳,夠得著”,體會(huì)學(xué)習(xí)的快樂(lè),增強(qiáng)自信心．

2.保證學(xué)生的主體地位

當(dāng)學(xué)生成為學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體,學(xué)習(xí)才是有效的學(xué)習(xí)．傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式中,教師在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成事先準(zhǔn)備的內(nèi)容,注重了知識(shí)的傳輸,對(duì)作為學(xué)習(xí)主體的學(xué)生關(guān)注不夠,因而教學(xué)效率不高,學(xué)習(xí)的效果自然不會(huì)好．保證學(xué)生的主體地位,就是心中有學(xué)生,考慮到學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)心向等,設(shè)計(jì)合理的問(wèn)題．適合學(xué)生的教學(xué)才是有效的教學(xué),關(guān)注學(xué)生成為有效教學(xué)的前提．課前,要關(guān)注新舊知識(shí)的聯(lián)系,學(xué)生是否具備學(xué)習(xí)新知識(shí)的學(xué)習(xí)條件,是否具備了學(xué)習(xí)新知的“心向”;課上,要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),包括學(xué)習(xí)的反應(yīng)、情緒等,對(duì)出現(xiàn)的問(wèn)題及時(shí)處理,調(diào)整自己的教學(xué);課后,也要關(guān)注學(xué)生的反饋,包括作業(yè)、學(xué)生問(wèn)題等．教學(xué)過(guò)程中,只有對(duì)學(xué)生全程關(guān)注,才能有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué),才是高效的課堂,才會(huì)是高質(zhì)量的教學(xué)．

3.重視數(shù)學(xué)精神的滲透

一位著名的哲學(xué)家說(shuō)過(guò)，“真正教育的旨趣”,即“即使是學(xué)生把教給他的所有知識(shí)都忘記了,但還能使他獲得受用終身的東西的那種教育,才是最高最好的教育”．因而,教學(xué)中最重要的就是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法,而數(shù)學(xué)知識(shí)只是第二位的．本節(jié)課中,有著活動(dòng)于解決問(wèn)題過(guò)程中的數(shù)學(xué)精神,從簡(jiǎn)單推及復(fù)雜,從特殊推及一般,把一般化歸為特殊(這也是一種發(fā)現(xiàn)的法則,一種發(fā)現(xiàn)的方法的過(guò)程).另外,本節(jié)課也給出了解析幾何中一般的研究方法,涉及到一系列的數(shù)學(xué)思想．所以,在給學(xué)生講授數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),不能僅著眼于把該定理,該問(wèn)題本身的知識(shí)教給學(xué)生,還要利用這些定理、問(wèn)題啟發(fā)鍛煉學(xué)生的思維能力,教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理、法則的方法,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)在活動(dòng)中提升．