臨坡雙層粘土地基極限承載力的上限分析*1

胡衛(wèi)東，曹文貴，袁青松

(1. 湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙　410082；2. 湖南理工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，湖南 岳陽(yáng)　414000)

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臨坡雙層粘土地基極限承載力的上限分析*1

胡衛(wèi)東1,2?，曹文貴1，袁青松1

(1. 湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙410082；2. 湖南理工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，湖南 岳陽(yáng)414000)

摘要：在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，結(jié)合臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基臨近邊坡的非對(duì)稱(chēng)性特征和層狀地基特征，構(gòu)建出臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基的多滑塊組合單側(cè)滑移破壞模式；根據(jù)速度相容關(guān)系和速度三角形閉合條件，確定出多滑塊離散模式相對(duì)應(yīng)的機(jī)動(dòng)允許速度場(chǎng)；引入上限極限分析理論，導(dǎo)出臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基極限承載力計(jì)算模型，在此模型上采用序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行優(yōu)化求解，建立了臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基極限承載力確定方法.利用Matlab的符號(hào)運(yùn)算功能和優(yōu)化函數(shù)編程計(jì)算進(jìn)行實(shí)例分析，并與有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，表明了本文研究方法的可行性與合理性.

關(guān)鍵詞：臨坡地基；雙層粘土地基；上限分析；條形基礎(chǔ)；極限承載能力

目前，均質(zhì)淺基礎(chǔ)地基的承載力問(wèn)題已經(jīng)有了較深入研究，但實(shí)際上工程大部分地基都是非均質(zhì)層狀地基，土層之間的力學(xué)指標(biāo)差別較大，使得成層土地基與均質(zhì)土地基在破壞機(jī)理和破壞模式上有著顯著不同，其相應(yīng)地基極限承載力也必然存在較大差別，因此，開(kāi)展成層土地基承載力確定方法的研究有著重要的工程意義，這也正是本文研究的出發(fā)點(diǎn).

由于受到土層厚度和力學(xué)強(qiáng)度指標(biāo)等的影響，成層土地基的破壞模式更加復(fù)雜，給成層土地基承載力確定方法的研究造成了較大困難，盡管如此，不少學(xué)者通過(guò)長(zhǎng)期研究，在成層土地基承載力確定方法方面取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步，形成了包括極限平衡法、滑移線法、極限分析法和數(shù)值分析法等多種研究方法[1-11].然而，已有成層土地基承載力確定方法的研究仍然存在一定程度的問(wèn)題和不足，如Hasen[1]加權(quán)平均法取有效深度范圍內(nèi)不同土層厚度的加權(quán)平均強(qiáng)度后直接用于均質(zhì)土的Hasen公式，其方法由于簡(jiǎn)單實(shí)用得到了較為廣泛的運(yùn)用，但仍然只是一種半經(jīng)驗(yàn)方法；Meyerhof和Hanna[2]提出的剪切理論認(rèn)為上部土層發(fā)生沖剪破壞，下部土層發(fā)生整體剪切破壞，經(jīng)過(guò)大量模型試驗(yàn)檢驗(yàn)該理論運(yùn)用于成層土地基極限承載力計(jì)算具有一定合理性，但只能解決硬土層下臥軟土層地基承載力問(wèn)題；楊永新[3]等基于滑移線場(chǎng)理論，研究了極限平衡區(qū)中上層粉土和下層砂土的地基承載能力，其研究方法的適應(yīng)性仍受到一定限制；Zhu[4]等及Burd和Frydman[5]等采用數(shù)值分析方法能有效解決復(fù)雜邊界問(wèn)題和非均質(zhì)土層問(wèn)題，但由于土體強(qiáng)度參數(shù)選擇的困難，也并沒(méi)有在實(shí)際工程應(yīng)用中被廣泛接受；Florkiewxicz[6]等基于極限分析上限理論，采用多滑塊組合破壞模式研究雙層和三層非水平分層地基的極限承載力，經(jīng)過(guò)與其它理論研究方法結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析，驗(yàn)證了其正確性和有效性；Michalowski[7]等采用折線間斷面形式構(gòu)建了無(wú)粘性土下臥飽和軟粘土雙層地基的機(jī)動(dòng)速度場(chǎng)，對(duì)比分析了多種破壞模式的適用性，但是上述兩者確定的機(jī)動(dòng)速度場(chǎng)實(shí)際應(yīng)用到臨坡地基當(dāng)中仍有待進(jìn)一步改進(jìn).

近年來(lái)，臨近斜坡淺基礎(chǔ)下層狀粘土地基廣泛出現(xiàn)在各類(lèi)巖土工程結(jié)構(gòu)中，但就目前來(lái)說(shuō)，從臨坡地基出發(fā)開(kāi)展臨坡層狀粘土地基破壞模式和承載力性狀的研究還不夠深入.已有的臨坡均質(zhì)粘土地基破壞模式大多假定滑動(dòng)面為圓弧或?qū)?shù)螺旋線[12]，但現(xiàn)實(shí)情況下，由于斜坡的存在和層狀構(gòu)造土的性質(zhì)各異，臨坡層狀粘土地基應(yīng)力-應(yīng)變分布極為復(fù)雜，使得其在地基破壞模式上與臨坡均質(zhì)粘土地基相比已發(fā)生了很大改變，層狀地基越不均質(zhì)，真正的最危險(xiǎn)滑動(dòng)面偏離圓弧滑動(dòng)面越遠(yuǎn)，而且也并非對(duì)數(shù)螺旋線就能逼近真實(shí)滑動(dòng)面，因此，臨坡層狀粘土地基的任意滑動(dòng)面形狀的確定尤為重要.采用多滑塊組合破壞模式的上限極限分析方法，無(wú)需事先對(duì)極限狀態(tài)下的連續(xù)滑動(dòng)面形狀做出各種假設(shè)，能有效結(jié)合地基臨近斜坡和層狀構(gòu)造的特征，真實(shí)反映層狀地基粘土重度、粘聚力、土層厚度、埋深和坡角等不同影響因素作用下的破壞模式，而且，上限極限分析方法能避免對(duì)滑塊間作用力過(guò)多假設(shè)，不需考慮土體復(fù)雜的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系且理論嚴(yán)謹(jǐn)，這就為臨坡成層土地基承載力確定方法的研究提供了一條有效的研究途徑，這也正是本文研究的重要內(nèi)容之一.

為此，本文將從臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基破壞模式研究入手，在考慮基礎(chǔ)埋深和臨坡距離等影響的基礎(chǔ)上，采用多滑塊組合破壞模式，利用上限極限分析方法，構(gòu)建臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基機(jī)動(dòng)允許的速度場(chǎng)，建立新的臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基極限承載力分析模型，以期完善臨坡地基承載力分析的理論與方法.

1臨坡雙層粘土地基破壞模式

已有研究成果表明，采用單側(cè)滑動(dòng)破壞模式的臨坡地基極限承載力分析方法往往較為保守和安全[13]，為此，本文假設(shè)臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基在均布極限荷載Qu作用下，沿ACD滑動(dòng)破壞面發(fā)生單側(cè)滑動(dòng)破壞，如圖1所示.

圖1　臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基破壞模式

上述即為本文確定的臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基的多滑塊組合破壞模式，根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系，剛性三角形多滑塊破壞幾何模型實(shí)際由2n個(gè)幾何可變參量αi，βi(i=1,…,n)確定，其它參量如li，di，Si(i=1,…,n)等均可由以上可變參量求得，其具體分析過(guò)程如下：

(1)

(2)

(3)

三角形滑塊底邊邊長(zhǎng)di其大小可表示為：

(4)

(5)

(6)

沿滑動(dòng)面上n個(gè)三角形滑塊的面積，其大小可表示為:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中i=2,…,n.

斜坡頂面水平，條形基礎(chǔ)外側(cè)邊緣距坡頂距離L可用距離比系數(shù)a表示，則有:

L=ab

(12)

斜坡表面為直線，具有足夠延伸長(zhǎng)度，斜坡傾角為η，于是，斜坡上第n+1個(gè)三角形被動(dòng)滑塊BDE的剛體幾何形狀即可確定，其三角形滑塊兩個(gè)底角μ和ξ及面積SBDE均可由以上幾何參量表示.

(13)

(14)

(15)

至此，構(gòu)建出了臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基多剛性滑塊組合的幾何破壞模型，該分析模型較好地反映了臨坡雙層地基臨近邊坡的非對(duì)稱(chēng)性特征和雙層地基層狀特征，為本文采用極限分析方法確定臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基極限承載力奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).在此基礎(chǔ)上，為了保證單側(cè)滑移幾何破壞機(jī)構(gòu)成立，剛性滑塊的幾何變量還應(yīng)滿足以下邊界約束條件：

(16)

滑動(dòng)破壞面ACD需滿足破壞面上凹的限定，即

0<θ1<θ2<…<θi<…<θn<π

(17)

式中θ表示邊界滑動(dòng)面線段順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至向下垂直線的夾角(如圖1所示).

同時(shí)剛性三角形滑塊BDE還須滿足以下幾何約束條件

(18)

上式亦可表示為約束方程

(19)

2機(jī)動(dòng)允許速度場(chǎng)的建立

臨坡雙層粘土地基破壞機(jī)構(gòu)機(jī)動(dòng)允許速度場(chǎng)的構(gòu)建是采用極限上限分析方法確定臨坡地基承載力必須解決的關(guān)鍵問(wèn)題，為了確定允許速度場(chǎng)，首先做如下假定：

1)臨坡地基為水平層狀地基，持力層范圍內(nèi)有兩層飽和粘土，采用不排水剪有效粘聚力，內(nèi)摩擦角φ1=φ2=0.

2)條形基礎(chǔ)基底與地基土間允許產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，基礎(chǔ)以速度VP垂直向下運(yùn)動(dòng).

3)臨坡粘土地基服從Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則和相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則.

在上述假設(shè)基礎(chǔ)上，根據(jù)速度相容的閉合三角形幾何關(guān)系，可得到如圖 2所示速度關(guān)系和圖3所示破壞機(jī)構(gòu)的機(jī)動(dòng)允許速度場(chǎng)[16]，再由矢量分析原理及速度相容性要求可以推導(dǎo)出各速度間斷面上速度.

圖2　速度關(guān)系

1)由圖2 所示速度關(guān)系，根據(jù)速度相容關(guān)系，條形基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)速度方向垂直向下，其大小可表示為:

VP=V1sinβ1

(20)

式中V1表示滑塊1斜向下的運(yùn)動(dòng)速度，考慮到AC為速度間斷面，V1實(shí)際為AC面上的間斷速度.

2)根據(jù)圖3所示破壞機(jī)構(gòu)的機(jī)動(dòng)允許速度場(chǎng)，剛性滑塊在運(yùn)動(dòng)中不產(chǎn)生重疊和扭曲畸變，滿足相容速度閉合的三角形幾何關(guān)系，由此可計(jì)算各速度間斷線上的速度[17]，滑動(dòng)破壞面ACD即各三角形滑塊底邊上間斷速度Vi實(shí)際方向?yàn)檠鼗瑒?dòng)面切向方向，其大小可表示為：

(21)

圖3　破壞機(jī)構(gòu)相應(yīng)允許速度場(chǎng)

各三角形滑塊間接觸面間斷速度Vi,i+1方向?yàn)檠鼗瑝K間接觸面切向方向，其大小可表示為:

(22)

3)斜坡上剛性滑塊BDE為被動(dòng)滑塊體，考慮到各剛性滑塊之間擠壓運(yùn)動(dòng)必然具備連續(xù)性的特點(diǎn)，滑塊BDE的運(yùn)動(dòng)速度與第n號(hào)滑塊體上速度Vn不僅方向完全相同，大小也相等，因此，BD面兩側(cè)速度連續(xù)，BD面不是速度間斷面，BD面上沒(méi)有能量耗散.

3能量耗散率的計(jì)算

3.1外力功率

本文研究問(wèn)題的外力包括考慮埋深引起的分布力q、基底極限壓力Qu及各滑體自重力，各外力功率具體計(jì)算方法如下：

1)q外力功率Wq

(23)

式中q為基礎(chǔ)外側(cè)坡頂面由于埋深作用的豎向均勻分布?jí)毫Γ挥?jì)基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)地基極限承載力的影響，則其值可用式(24)表示

q=γ1H

(24)

式中γ1為第1層粘土即埋深內(nèi)地基土體重度；H為基礎(chǔ)的埋置深度.

2)Qu外力功率WQu

WQu=QubV1sinβ1

(25)

(26)

(27)

式中γ2為第2層粘土重度.

(28)

(29)

式中i=2,…,n.于是，第1層粘土地基其余滑塊受自重外力總功率為

(30)

式中：

(31)

第2層粘土地基其余滑塊受自重外力總功率為：

(32)

式中：

(33)

5)斜坡上滑塊BDE自重外力功率WSBDE

(34)

將式(1)和式(15)代入，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得

(35)

于是，總的外力功率W為:

(36)

3.2內(nèi)能耗散率

本文研究問(wèn)題的內(nèi)能耗散率包括各滑塊間速度間斷面和破壞間斷面ACD的能量耗散率，具體分析方法如下：

(37)

式中i=1,…,n-1;c1為第1層飽和粘土有效粘聚力.于是，第1層粘土地基滑塊間速度間斷面總能量耗散率為:

(38)

式中：

(39)

(40)

式中i=1,…,n-1;c2為第2層飽和粘土有效粘聚力.于是，第2層粘土地基滑塊間速度間斷面總能量耗散率為：

(41)

式中：

(42)

2)AC間斷面能量耗散率Dd1

(43)

(44)

于是，總的內(nèi)能耗散率D為：

(45)

4臨坡雙層粘土地基極限承載力上限解

根據(jù)上限定理，對(duì)于一個(gè)允許的機(jī)動(dòng)速度場(chǎng)，外力做功功率與內(nèi)能耗散率必然相等，在所有與任意機(jī)動(dòng)允許的速度場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的極限荷載中，真正的極限荷載最小[17-19].根據(jù)前面確定的臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基破壞模式和機(jī)動(dòng)允許速度場(chǎng)，利用上限分析方法可確定極限承載力上限解.

WSBDE)/bV1sinβ1

(46)

根據(jù)上限定理，最優(yōu)的上限解應(yīng)是滑動(dòng)地基處于極限狀態(tài)時(shí)，臨坡地基極限承載力Qu上限解的最小值，即式(46)的最小值，利用Matlab的符號(hào)運(yùn)算功能編程計(jì)算可以得到臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基極限承載力的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，于是，利用上限法求解臨坡地基極限承載力可轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問(wèn)題：

Qu=f(αi,βi)

(47)

在對(duì)上式進(jìn)行優(yōu)化求解時(shí)，須滿足式(16)～(19)非線性約束條件，由于序列二次規(guī)劃算法(SQP算法)非常適應(yīng)于高度非線性問(wèn)題，且具有較高的效率，因此，本文采用SQP優(yōu)化算法[15]，在Matlab環(huán)境下編制相應(yīng)程序，對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化求解.

5驗(yàn)證與比較

5.1理論計(jì)算與有限元分析對(duì)比

為了驗(yàn)證本文臨坡地基雙層粘土地基極限承載力上限分析解法的可行性，結(jié)合工程算例采用有限元分析軟件Abaqus進(jìn)行臨坡地基極限承載力模擬分析并與本文方法分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.某臨坡條形基礎(chǔ)雙層地基，基礎(chǔ)埋深H=1 m，地基持力層范圍內(nèi)為兩層飽和粘土，第1層粘土厚度h=1.0 m，c1=40 kPa，γ1=18 kN/m3，φ1=0°，第2層粘土c2=20 kPa，γ2=16 kN/m3，φ2=0°.基礎(chǔ)寬度b=2 m，基礎(chǔ)外側(cè)邊緣距坡頂距離與基礎(chǔ)寬度之比a=1，邊坡坡角η=20°.

本次數(shù)值分析按平面應(yīng)變問(wèn)題模擬臨坡雙層粘土地基，條形基礎(chǔ)為剛性基礎(chǔ)，臨坡地基材料的彈性模量E=45×103kPa，泊松比υ=0.3，土體采用彈塑性本構(gòu)模型，服從線性Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則.有限元分析得到荷載-位移(P-S)曲線如圖4所示，荷載加至Qu=123.5 kPa時(shí)，臨坡地基滑動(dòng)破壞，其相應(yīng)位移場(chǎng)如圖5所示.

圖4　臨坡雙層粘土地基P-S曲線

圖5　臨坡雙層粘土地基位移場(chǎng)

本文采用多滑塊組合分析模型，一般來(lái)說(shuō)塊體劃分越小，剛性滑塊的數(shù)量越多，結(jié)果越接近于真實(shí)解，取20個(gè)滑塊時(shí)能夠獲得較好的上限解.根據(jù)本文方法計(jì)算該臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘性地基工程算例，得到臨坡地基極限承載力Qu=128.6kPa，結(jié)果表明本文方法計(jì)算結(jié)果與有限元數(shù)值分析結(jié)果相差較小，本文上限解是較好的上限解，驗(yàn)證了本文上限分析方法的可行性與適用性.同時(shí)繪制本文分析方法對(duì)應(yīng)極限狀態(tài)下的破壞模式如圖6所示，與數(shù)值模擬分析所得潛在滑裂面接近，說(shuō)明了本文臨坡雙層地基多滑塊組合破壞模型的有效性.

圖6　優(yōu)化后的破壞模式

5.2理論計(jì)算與其他上限方法的對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文承載力公式和優(yōu)化算法的正確性與優(yōu)越性，采用以下算例，上下粘土層參數(shù)取相同值，研究問(wèn)題變?yōu)閱螌油恋呐R坡地基承載力問(wèn)題，與同樣采用單側(cè)滑移破壞模式，引入上限極限理論計(jì)算臨坡地基極限承載力的文獻(xiàn)[13-15]進(jìn)行比較.某臨坡條形基礎(chǔ)地基，基礎(chǔ)寬度b=2 m，基礎(chǔ)距坡頂距離與基礎(chǔ)寬度比a=0，基礎(chǔ)埋深H=2 m，地基土體重度γ=18 kN/m3，土體內(nèi)摩擦角φ=30°，地基土粘聚力c=20 kPa，邊坡角η=20°.計(jì)算得到臨坡條形基礎(chǔ)地基極限承載力Qu，并與文獻(xiàn)[13-15]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析，如表1所示.

表1　計(jì)算結(jié)果比較(距離比a=0)

本文與以上3種文獻(xiàn)都利用了上限極限分析理論和優(yōu)化方法對(duì)臨坡地基極限承載力進(jìn)行求解，通過(guò)比較計(jì)算結(jié)果可以看出：本文計(jì)算所得的地基極限承載力Qu數(shù)值略小,是較優(yōu)的上限解，在工程實(shí)際應(yīng)用中偏于安全；同時(shí)幾種方法的結(jié)果較接近，這也進(jìn)一步說(shuō)明了本文承載力公式和優(yōu)化算法的正確性和合理性.

6結(jié)論

1)本文從臨坡地基出發(fā)，結(jié)合臨坡成層土地基臨近邊坡的非對(duì)稱(chēng)性特征和層狀地基特征，開(kāi)展臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基承載力性狀的研究，構(gòu)建了臨坡地基多滑塊組合單側(cè)滑移破壞模式，為臨坡成層土地基承載力確定奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).

2)在臨坡條形基礎(chǔ)雙層粘土地基多滑塊破壞模式的基礎(chǔ)上構(gòu)建對(duì)應(yīng)機(jī)動(dòng)允許速度場(chǎng)，引入上限極限分析理論和優(yōu)化方法建立了可考慮地基破壞模式非對(duì)稱(chēng)性、地基土成層性狀、基礎(chǔ)埋深和基礎(chǔ)與坡頂距離等影響的臨坡地基極限承載力的確定方法.

3)結(jié)合工程算例，通過(guò)與有限元數(shù)值分析方法及其他上限極限分析方法的對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文臨坡雙層粘土地基極限承載力上限解是較好的上限解，其滑動(dòng)破壞面接近數(shù)值模擬潛在滑動(dòng)面，表明本文方法的可行性與合理性.

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Upper Bound Solution for Ultimate Bearing Capacity of the Two-layer Clay Foundation Adjacent to Slope

HU Wei-dong1, 2?，CAO Wen-gui1，YUAN Qing-song1

(1.Geotechnical Engineering Institute, Hunan Univ, Changsha，Hunan410082, China;2. College of Civil Engineering and Architecture,Hunan Institute of Science and Technology , Yueyang,Hunan414000, China)

Abstract:Combined with the characteristics of the asymmetry failure mode of the two-layer clay foundation near slope and layered properties, the unilateral sliding failure mode of two-layer foundation under strip footing adjacent to slope was built on the basis of the existing relevant researches. The failure mechanism was formed by many sliders. According to speed compatible relationships and triangle closed condition, the corresponding planar kinematically admissible velocity field was constructed. By introducing the upper limit analysis theory, the ultimate bearing capacity calculation model of strip footings over two-layer foundation soil was derived. A new approach for determining the ultimate bearing capacity of two-layer foundation under strip footing adjacent to slope was put forward by using sequential quadratic programming optimization algorithm. By the use of Matlab symbolic operation function and optimization function, the finite element numerical analysis results were analyzed and compared with programmed calculation. The feasibility and rationality of the proposed approach was shown.

Key words:ground foundation adjacent to slope; two-layer soils; upper limit analysis; strip footing; ultimate bearing capacity

中圖分類(lèi)號(hào)：U416.14

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

作者簡(jiǎn)介：胡衛(wèi)東(1976-)，男，湖南岳陽(yáng)人，湖南理工學(xué)院副教授，湖南大學(xué)博士研究生?通訊聯(lián)系人，E-mail:huweidong506@163.com

*收稿日期：2014-12-24基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378198)，National Natural Science Foundation of China(51378198)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20130161110017)

文章編號(hào)：1674-2974(2016)01-0110-07