生成性教學(xué)視野下的“合并同類項(xiàng)”有效教學(xué)*

□任宏章

（南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校，江蘇蘇州 215100）

生成性教學(xué)視野下的有效教學(xué)，以課堂有效生成和有效思維活動(dòng)為考量指標(biāo)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)計(jì)問(wèn)題來(lái)導(dǎo)學(xué)，營(yíng)造輕松、和諧的課堂氣氛，激活學(xué)生的探究欲望，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中自主思考、自主發(fā)現(xiàn)，在對(duì)話情境中互相補(bǔ)充、互相完善，從而自主歸納出概念、法則，并在概念、法則的形成過(guò)程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，形成數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng).

“合并同類項(xiàng)”是蘇科版義務(wù)教育教科書(shū)《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第三章第四節(jié)的內(nèi)容，它是進(jìn)行整式的加減的基礎(chǔ)，也是整式部分的核心知識(shí).基于七年級(jí)學(xué)生的學(xué)情，筆者將學(xué)習(xí)目標(biāo)確定為：（1）通過(guò)分類感悟同類項(xiàng)的本質(zhì)特征，自然生成同類項(xiàng)的概念，會(huì)識(shí)別同類項(xiàng)；（2）依據(jù)實(shí)際圖形，貫通乘法分配律，歸納合并同類項(xiàng)法則，會(huì)合并同類項(xiàng).學(xué)習(xí)重點(diǎn)是：理解同類項(xiàng)的概念，會(huì)合并同類項(xiàng).學(xué)習(xí)難點(diǎn)是：合并同類項(xiàng)法則的緣起與歸納.

在彈性預(yù)設(shè)的前提下，生成性教學(xué)的流程，是由現(xiàn)場(chǎng)師生根據(jù)人的生成功能和不同的教學(xué)情狀，自主而智慧地構(gòu)建教學(xué)活動(dòng)，并在不斷變化、充滿生機(jī)的教學(xué)形態(tài)中獲取生成意義、促使生命不斷發(fā)展的過(guò)程[1].生成性教學(xué)視野下的“合并同類項(xiàng)”有效教學(xué)主要有兩個(gè)特征：課堂實(shí)現(xiàn)五個(gè)生成，思維呈現(xiàn)五個(gè)發(fā)展.

一、創(chuàng)設(shè)求知情境，分類生成標(biāo)準(zhǔn)，發(fā)展分析思維

苗東升教授認(rèn)為：“如果部分被整合、組織在整體中，它們就被屏蔽起來(lái)，整體地考察系統(tǒng)無(wú)法了解這類屬性；如果解構(gòu)系統(tǒng)，把部分從整體中分離出來(lái)成為獨(dú)立存在的對(duì)象，這些屬性就會(huì)釋放出來(lái)，可以為人們直接考察.”[2]鑒于此，筆者將“合并同類項(xiàng)”教學(xué)安排為從“欣賞圖形，整體感悟”環(huán)節(jié)開(kāi)始，采取解構(gòu)系統(tǒng)的方式組織教學(xué).

［引例］從不同角度考慮求下面長(zhǎng)方形面積（原圖見(jiàn)課本第80頁(yè)，此處略）.

生1：從整體看長(zhǎng)方形面積為（100+200）（a+b）.

生2：從局部看，可表示為4個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和100a+200a+240b+60b.

生3：從組成看，可表示為兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和（100+200）a+（240+60）b.

三個(gè)學(xué)生的回答都正確，是學(xué)生在原有知識(shí)基礎(chǔ)上的自然生成.筆者整合寫(xiě)成：

學(xué)生看到多項(xiàng)式中的某些單項(xiàng)式被合并了，必然產(chǎn)生疑問(wèn)：這些項(xiàng)為什么能夠合并？能夠合并的單項(xiàng)式有什么特征？

對(duì)課本中這個(gè)圖形的運(yùn)用，多數(shù)教師持淡化處理態(tài)度，更有不少教師拋棄“不同角度考慮求長(zhǎng)方形面積”問(wèn)題，沒(méi)有發(fā)揮其“解構(gòu)系統(tǒng)”的作用.而圖形運(yùn)用的意義在于：（1）利用幾何圖形研究代數(shù)問(wèn)題是學(xué)生進(jìn)入初中階段的首例，也為后續(xù)學(xué)習(xí)整式乘除、乘法公式用幾何圖形研究奠定了基礎(chǔ)，是數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范；（2）圖形面積不同表示方式相通，讓學(xué)生感受到單項(xiàng)式可以像有理數(shù)加法一樣進(jìn)行合并；（3）圖形面積不同表示方式相通，是實(shí)際意義的“恒等”，可以用來(lái)解釋說(shuō)明數(shù)學(xué)意義.教師若進(jìn)行有效的引導(dǎo)，學(xué)生就可以從整體上感悟?qū)W習(xí)合并同類項(xiàng)知識(shí)的必要性和必然性.

二、感悟圖形要義，類比生成概念，發(fā)展抽象思維

剛從小學(xué)升入初中的學(xué)生，抽象思維能力相對(duì)薄弱，形象思維能力相對(duì)較強(qiáng).呈現(xiàn)形象直觀的東西更易于學(xué)生理解，學(xué)生憑借對(duì)圖形的理解，能夠初步感悟“合并單項(xiàng)式”的價(jià)值，也必然產(chǎn)生新的疑問(wèn)：究竟什么樣的項(xiàng)可以合并？

課堂上，筆者引導(dǎo)讓學(xué)生從生活感悟開(kāi)始，通過(guò)“制定標(biāo)準(zhǔn)，合情分類”環(huán)節(jié)開(kāi)始深入學(xué)習(xí).

［問(wèn)題］制訂標(biāo)準(zhǔn)，將下列用品進(jìn)行分類（圖略）.

生4：書(shū)本類：音樂(lè)課本、中學(xué)教材全解；車類：自行車、小汽車；水果類：菠蘿、香蕉.

俗話說(shuō)“物以類聚”，顯然學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分類，回答正確也是必然的結(jié)果.教師需要做的是幫助學(xué)生將這種生活經(jīng)驗(yàn)遷移到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解中.于是，筆者給出如下問(wèn)題：

［思考］從單項(xiàng)式組成要素出發(fā)，嘗試制訂一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，將下列單項(xiàng)式進(jìn)行分類：

-100a，5ab2，0，200a，-13ab2，-2

生 5：-100a與 200a放在一起，5ab2與-13ab2一起，0與-2放在一起.

學(xué)生的回答精準(zhǔn)到位，但怎樣揭開(kāi)“放在一起”的面紗，需要再加以思考.

師：（追問(wèn)）為什么要這樣放在一起？

這激發(fā)了學(xué)生的深層次思考，教學(xué)轉(zhuǎn)向“明理悟道，生成概念”環(huán)節(jié).

師：（引導(dǎo)）從單項(xiàng)式組成要素出發(fā)，放在一起的單項(xiàng)式有什么特征？

生6：組成單項(xiàng)式要素是系數(shù)、字母、字母指數(shù).放在一起的項(xiàng)形式上是一樣的.

師：“形式上是一樣的”說(shuō)得非常好，“形式上是一樣的”的真實(shí)含義是什么呢？

生7：“形式上是一樣的”是指所含的字母相同.

生8：“形式上是一樣的”是指字母的指數(shù)相同.

生9：“形式上是一樣的”是指所含的字母相同，相同字母的指數(shù)也相同.

生1100：“形式上是一樣的”與單項(xiàng)式的系數(shù)無(wú)關(guān).

師：沒(méi)有字母的單項(xiàng)式怎么看？

生1111：常數(shù)項(xiàng)都是形式上一樣的.

師：形式上一樣的項(xiàng)取個(gè)怎樣的名字呢？

生：（眾）同類項(xiàng).

師：那同類項(xiàng)如何定義呢？

生1122：形式上一樣的項(xiàng)叫作同類項(xiàng).

生1133：（搖頭）所含的字母相同，相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)是同類項(xiàng).

生1144：多項(xiàng)式中，所含的字母相同，相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)是同類項(xiàng).

生1155：特別地，常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng).

從上述師生對(duì)話中可以看出，同類項(xiàng)的概念已經(jīng)生成，而且是學(xué)生自主進(jìn)行的抽象生成.作為分類的標(biāo)準(zhǔn)“字母與字母指數(shù)”所呈現(xiàn)的特征就是同類項(xiàng)概念的要義，同類項(xiàng)概念生成的過(guò)程中，概念的本質(zhì)特征不斷被挖掘，表達(dá)不斷完善，思想碰撞的結(jié)果是智慧的生成.這樣的課堂生成是有效的，學(xué)生的抽象思維能力得到了發(fā)展，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也在新知識(shí)的生成過(guò)程中形成了.

為了鞏固對(duì)同類項(xiàng)概念的理解，筆者接著安排了“辨析理解，鞏固概念”環(huán)節(jié).

［練習(xí)］下列各組單項(xiàng)式，是否為同類項(xiàng)？說(shuō)明理由.

生16：（1）不是.因?yàn)榍罢吆帜竎，所含的字母不相同.

生1177：（2）不是.因?yàn)楹笳卟缓帜?，所含的字母不相?

生1188：（3）不是.因?yàn)橄嗤帜傅闹笖?shù)不相同.

生1199：（4）是.因?yàn)樗淖帜赶嗤嗤帜傅闹笖?shù)也相同.

通過(guò)辨析，學(xué)生鞏固了對(duì)同類項(xiàng)概念的理解，同時(shí)認(rèn)識(shí)到：判定單項(xiàng)式是不是同類項(xiàng)，應(yīng)依據(jù)概念進(jìn)行，與字母排列順序無(wú)關(guān).此時(shí)，學(xué)生具有了批判思維能力.

三、領(lǐng)悟要素變化，貫通生成法則，發(fā)展歸納思維

既然同類項(xiàng)可以合并，那么怎樣合并同類項(xiàng)呢？

筆者設(shè)計(jì)了“依據(jù)算律，生成法則”環(huán)節(jié).

根據(jù)你對(duì)學(xué)校占地面積問(wèn)題的理解，說(shuō)說(shuō)上述同類項(xiàng)如何進(jìn)行合并？

嘗試將下列單項(xiàng)式合并，并歸納合并同類項(xiàng)法則：

（1）2c+3c（2）5ab2-13ab2（3）-9x2y3+5x2y3

生20：學(xué)校占地面積表達(dá)式，運(yùn)用了逆向乘法分配律.

師：逆向乘法分配律的表達(dá)過(guò)程中，單項(xiàng)式組成要素發(fā)生了怎樣的變化？

生2211：系數(shù)加減了，字母和指數(shù)沒(méi)有變化.

生22、23、24 三個(gè)同學(xué)到黑板前板書(shū)（1）（2）（3）的合并過(guò)程.

師：從上述單項(xiàng)式的合并過(guò)程審視，說(shuō)明什么是合并同類項(xiàng)？歸納合并同類項(xiàng)法則.

生2255：根據(jù)乘法分配律把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫作合并同類項(xiàng).

生26：合并同類項(xiàng)法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

有了對(duì)同類項(xiàng)概念的深刻理解，同類項(xiàng)的合并與乘法分配律自然容易貫通，學(xué)生在歸納合并同類項(xiàng)的概念時(shí)一氣呵成，合并同類項(xiàng)法則也是自然生成.這樣，課堂教學(xué)能夠高效實(shí)施，有效生成和有效思維活動(dòng)也可以迅捷開(kāi)展.

四、深悟運(yùn)算原理，剖析生成方法，發(fā)展邏輯思維

歸納了合并同類項(xiàng)法則，目的是為了運(yùn)用，課堂進(jìn)入“嘗試運(yùn)用，形成能力”環(huán)節(jié).

［例題］合并下列各式中的同類項(xiàng)：

（1）-3x＋2y-5x-7y

（2）a2-3ab＋5-a2-3ab-7

（3）5m3-3m2n-m3＋2nm2-7＋2m3

生27、28、29 三位同學(xué)到黑板前板書(shū)（1）（2）（3）的合并過(guò)程.

生27：（板書(shū)）原式 =-3x-5x＋2y-7y

=-（3-5）x＋（2-7）y

=-2x＋（-5）y

=-2x-5y.

生28：（板書(shū)）原式 =a2-3ab＋5-a2-3ab-7

=（a2-a2）-（3ab-3ab）＋5-7

=-2

生29：（板書(shū)）略.

師：觀察三位同學(xué)的板書(shū)過(guò)程，是否正確？書(shū)寫(xiě)是否合乎規(guī)范？

生3300：生27把-3x-5x合并錯(cuò)了，正確的應(yīng)該是：（-3-5）x=-8x.

生30發(fā)言后，筆者讓他到黑板前改正，并說(shuō)出每一步的運(yùn)算依據(jù)：

原式=-3x-5x＋2y-7y（加法交換律）

=（-3-5）x＋（2-7）y（合并同類項(xiàng)法則）

=-8x＋（-5）y（有理數(shù)加法法則）

=-8x-5y（去括號(hào)法則）

生31：生28把-3ab-3ab合并錯(cuò)了，正確的應(yīng)該是：（-3-3）ab=-6ab.

筆者再追問(wèn)，讓學(xué)生31 回答了運(yùn)用合并同類項(xiàng)法則合并同類項(xiàng)的一般步驟.

嘗試運(yùn)用是學(xué)生在理解合并同類項(xiàng)法則基礎(chǔ)上進(jìn)行的，如果教師直接板書(shū)，學(xué)生可以依樣畫(huà)葫蘆，但對(duì)問(wèn)題的理解以及對(duì)算理的感悟就不會(huì)深刻.讓學(xué)生自己嘗試解決，然后互相糾錯(cuò)，犯錯(cuò)者在被同學(xué)指出錯(cuò)誤后就能領(lǐng)會(huì)得更深刻，指錯(cuò)者認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤點(diǎn)也會(huì)更加清晰，課堂真實(shí)體現(xiàn)解題的生成過(guò)程，給學(xué)生提供了互相學(xué)習(xí)、糾正錯(cuò)誤、提高認(rèn)識(shí)的機(jī)會(huì).這促使真正意義的學(xué)習(xí)發(fā)生，在反思剖析、生成運(yùn)用合并同類項(xiàng)法則的一般方法中，發(fā)展了學(xué)生的邏輯思維能力.

好課的絕妙之處還在于創(chuàng)新和提高，為此筆者設(shè)計(jì)“類比拓展，提升能力”環(huán)節(jié).

［拓展］請(qǐng)你仿照上面的方法，合并下列各式中的“同類項(xiàng)”：

（1）3（x＋y）-6（x＋y）-8（x＋y）

（2）（a-b）2＋（a＋b）-（a-b）2-（a＋b）

生32：（1）原式=3x＋3y-6x-6y-8x-8y

=3x-6x-8x＋3y-6y-8y

=（3-6-8）x+（3-6-8）y

=-11x-11y

生3333：（1）原式=3x-6x-8x+3y-6y-8y

=（3-6-8）（x+y）

=-11（x+y）

比較生32 和生33 的做法，前者沒(méi)有領(lǐng)會(huì)“同類項(xiàng)”的真正含義，后者領(lǐng)會(huì)了新情境下“同類項(xiàng)”的意義.從思維水平方面看，前者是守舊和規(guī)范，后者是創(chuàng)新和提高.“同類項(xiàng)”知識(shí)的類比創(chuàng)新運(yùn)用提升了學(xué)生的解題能力.在做完（1）之后，學(xué)生完成（2）就順利多了，當(dāng)然還有少數(shù)學(xué)生把（a-b）2想當(dāng)然展開(kāi)成a2-b2，這是對(duì)（a-b）2整體形式認(rèn)識(shí)不足，也為以后學(xué)習(xí)完全平方公式做了鋪墊.課堂在筆者的預(yù)設(shè)下不斷生成，學(xué)生在不斷的生成中提高認(rèn)識(shí)、健全認(rèn)識(shí)、發(fā)展能力.

五、禪悟課堂體系，對(duì)話生成思想，發(fā)展系統(tǒng)思維

只有學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)中借助文本生成了新的意義，才能最終獲取自己的意義，且不同學(xué)習(xí)者生成的意義又各不相同，于是就需要與他者交往，進(jìn)入與他者共在的世界。筆者設(shè)計(jì)“小組討論，總結(jié)建構(gòu)”環(huán)節(jié)，積極嘗試由學(xué)生來(lái)完成學(xué)習(xí)項(xiàng)目，筆者只提供學(xué)生課堂小結(jié)的問(wèn)題鏈：

1.什么是同類項(xiàng)？合并同類項(xiàng)法則內(nèi)容是什么？

2.我們用了什么方法研究同類項(xiàng)？

3.研究同類項(xiàng)過(guò)程中用到了哪些數(shù)學(xué)思想？

4.通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)習(xí)到了什么新知識(shí)？獲得了什么經(jīng)驗(yàn)？還有什么疑問(wèn)？

小組內(nèi)簡(jiǎn)單交流后，組織班級(jí)交流，然后筆者總結(jié)并投影.

知識(shí)：兩概念一法則，字母指數(shù)都一樣，只求系數(shù)代數(shù)和.

方法：借助圖形研究，從特殊到一般研究.

思想：分類思想，類比思想，整體思想.

在問(wèn)題鏈的引導(dǎo)之下，學(xué)生自主完成課堂小結(jié)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)從哪里來(lái)、怎樣運(yùn)用就會(huì)有明確的認(rèn)知.長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的教學(xué)，學(xué)生就會(huì)形成學(xué)習(xí)反思的習(xí)慣，通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的思考，通過(guò)課堂中師生、生生的對(duì)話，自然構(gòu)建新知識(shí)體系，生成研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，發(fā)展數(shù)學(xué)的系統(tǒng)思維能力.筆者認(rèn)為：學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì)應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程中經(jīng)由感悟而獲得，應(yīng)當(dāng)是對(duì)新知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程的反思；課堂教學(xué)重視的應(yīng)該的是對(duì)新知識(shí)形成過(guò)程的研究學(xué)習(xí)，課堂學(xué)習(xí)的目的在于數(shù)學(xué)思想的形成，以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

最后布置課堂作業(yè)，應(yīng)分層要求，設(shè)必做題和選做題，滿足不同學(xué)生的不同發(fā)展需求.