基于三分量電磁矢量傳感器的波達(dá)角和極化參數(shù)估計(jì)

趙繼超　陶海紅　計(jì)茹　高志奇

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710071)

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基于三分量電磁矢量傳感器的波達(dá)角和極化參數(shù)估計(jì)

趙繼超陶海紅計(jì)茹高志奇

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710071)

摘要針對(duì)傳統(tǒng)的降維四元數(shù)旋轉(zhuǎn)不變子空間算法(Dimension Reduction Quaternion Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, DRQ-ESPRIT)存在“四元數(shù)模型相干”和孔徑損失問(wèn)題,改進(jìn)了DRQ-ESPRIT算法,并提出了偽虛擬對(duì)稱擴(kuò)展孔徑四元數(shù)旋轉(zhuǎn)不變子空間算法 (Fake Virtual Symmetrical Aperture Expansion Quaternion Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, FVSAEQ-ESPRIT)．所提算法通過(guò)修正極化角度域?qū)蚴噶亢完囋臻g相移矢量的乘法順序,解決了“四元數(shù)模型相干”問(wèn)題,并利用導(dǎo)向矢量的虛擬對(duì)稱操作和Khatri-Rao子空間方法,增加了極化敏感陣列的自由度,提高了波達(dá)角(Direction of Arrival, DOA)和極化參數(shù)的估計(jì)精度．最后,仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性．

關(guān)鍵詞三分量電磁矢量傳感器;四元數(shù)模型;波達(dá)角;極化參數(shù)

DOI10.13443/j.cjors.2015040203

Joint DOA and polarization parameters estimation based on three-component electromagnetic vector sensor

ZHAO JichaoTAO HaihongJI RuGAO Zhiqi

(NationalLaboratoryofRadarSignalProcessing,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

Abstract The dimension reduction quaternion estimation of signal parameters via rotational invariance techniques (DRQ-ESPRIT) algorithm has “quaternion model coherence” and aperture loss problems. The fake virtual symmetrical aperture expansion Q-ESPRIT (FVSAEQ-ESPRIT) algorithm is proposed to improve the DRQ-ESPRIT algorithm in this paper. The proposed algorithm solves the “quaternion model coherence” problem by switching the multiplication sequence between the electromagnetic expression and spatial steering vector. Meanwhile, symmetrical operation of steering vector and Khatri-Rao subspace process are utilized to increase the degrees of freedom of the polarization sensitive array, so that the estimation accuracy of direction of arrival (DOA) and polarization parameters is improved. Finally, the simulation results show the effectiveness of the proposed algorithm.

Keywords three-component electromagnetic vector sensor; quaternion model; DOA; polarization parameters

引言

與傳統(tǒng)的標(biāo)量陣列相比,極化敏感陣列不僅包含了信源的空域信息,還包含了極化信息,使得極化敏感陣列有更好的抗干擾能力和更高的分辨能力．

極化敏感陣列的數(shù)學(xué)模型最早是由Paldi N. E.在1994年基于麥克斯韋方程提出的[1]．Li Jian等學(xué)者將旋轉(zhuǎn)不變子空間算法(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)[2]和多重信號(hào)分類(Multiple Signal Classification, MUSIC)算法[3]推廣到極化敏感陣列信號(hào)處理中[4-5]．但是這兩種經(jīng)典超分辨算法,以及其改進(jìn)算法的數(shù)學(xué)模型均是基于復(fù)數(shù)表示的,要求各個(gè)互相正交天線分量的接收數(shù)據(jù)按照陣列空間維數(shù)排列展開(kāi),形成一個(gè)長(zhǎng)的數(shù)據(jù)矢量,即長(zhǎng)矢量數(shù)據(jù)模型(Long Vector, LV),這種數(shù)學(xué)模型破壞了天線分量間的正交關(guān)系．

針對(duì)長(zhǎng)矢量模型的不足,Sebastian Miron等人首次基于四元數(shù)模型提出了適用于二分量極化敏感陣列的四元數(shù)MUSIC(Quaternion MUSIC, Q-MUSIC)算法[6]．四元數(shù)模型相較于復(fù)數(shù)模型多了兩個(gè)虛部,使得四元數(shù)模型能更好地表征二分量極化敏感陣列接收數(shù)據(jù)的正交性．文獻(xiàn)[6]的仿真實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了四元數(shù)模型優(yōu)于復(fù)數(shù)模型．文獻(xiàn)[7]和[8]針對(duì)三分量和六分量極化感敏陣列,先后提出了雙四元數(shù)MUSIC(Biquaternion MUSIC, BQMUSIC)算法和四四元數(shù)MUSIC(Quad-Quaternion MUSIC, QQ-MUSIC)算法．但是上述三種算法均需要四維譜峰搜索,運(yùn)算量十分巨大,工程實(shí)現(xiàn)較為困難．

國(guó)內(nèi)諸多學(xué)者在降低Q-MUSIC算法運(yùn)算量方面作了很多研究．文獻(xiàn)[9]提出了降維Q-MUSIC,將四維譜峰搜索分成兩次二維譜峰搜索實(shí)現(xiàn),有效降低了運(yùn)算量．在降維Q-MUSIC的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[10-11]又將陣元的空域信息用四元數(shù)表示,提高了波達(dá)角(Direction of Arrival, DOA)和極化參數(shù)的估計(jì)精度．文獻(xiàn)[12]將四元數(shù)模型應(yīng)用到ESPRIT, 提出了四元數(shù)ESPRIT(Quaternion ESPRIT, Q-ESPRIT),無(wú)需譜峰搜索就可以估計(jì)參數(shù)．然而由于四元數(shù)不滿足乘法交換律,文獻(xiàn)[9-12]中卻改變了極化-角度域?qū)蚴噶亢完囋臻g相移矢量的乘法順序,使得文獻(xiàn)[9-12]的數(shù)學(xué)模型與文獻(xiàn)[6-8]的數(shù)學(xué)模型相比,四元數(shù)數(shù)據(jù)不能由復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)通過(guò)四元數(shù)運(yùn)算構(gòu)造得到,且存在“四元數(shù)模型相干”問(wèn)題,丟失了信源的極化信息．雖然文獻(xiàn)[13]針對(duì)“四元數(shù)模型相干”問(wèn)題提出了解決方案,但是損失了陣列的孔徑信息,且數(shù)學(xué)模型依然采用文獻(xiàn)[9-12]中的數(shù)學(xué)模型．本文首先修正了文獻(xiàn)[13]的數(shù)學(xué)模型中極化-角度域?qū)蚴噶亢完囋臻g相移矢量的乘法順序,解決了“四元數(shù)模型相干”問(wèn)題;其次針對(duì)由三分量電磁矢量傳感器組成的均勻線陣(Uniform Linear Array, ULA),提出了一種偽虛擬對(duì)稱擴(kuò)展孔徑Q-ESPRIT(Fake Virtual Symmetrical Aperture Expansion Quaternion ESPRIT, FVSAEQ-ESPRIT)．所提算法將Khatri-Rao子空間操作擴(kuò)展到四元數(shù)模型中,增加了極化敏感陣列的自由度,還通過(guò)導(dǎo)向矢量的虛擬對(duì)稱操作,避免了文獻(xiàn)[13]中降維Q-ESPRIT (Dimension Reduction Q-ESPRIT, DRQ-ESPRIT)的孔徑損失,使得FVSAEQ-ESPRIT不僅增加了可估計(jì)信源的數(shù)目,而且參數(shù)估計(jì)精度更高．

為了確保本文算法的有效性,需要做以下假設(shè): 1) 信源個(gè)數(shù)已知; 2) 入射信號(hào)的俯仰角不等于0°和180°,極化輔角不等于0°和90°．

符號(hào)說(shuō)明: Θ和?分別表示Khatri-Rao積和Kronecker積; [□]r,[□]i,[□]j和[□]k分別表示取四元數(shù)的實(shí)部,第一虛部(i部),第二虛部(j部)和第三虛部(k部)．

1四元數(shù)及相關(guān)運(yùn)算

四元數(shù)是由Hamilton于1843年提出的一種四維超復(fù)數(shù),四元數(shù)h由一個(gè)實(shí)部和三個(gè)虛部組成: h=a+bi+cj+dk,其中a,b,c,d∈R,虛部i, j, k滿足:

i2=j2=k2=ijk=-1;

ij=-ji=k; ki=-ik=j; jk=-kj=i．

簡(jiǎn)要介紹下本文用到的四元數(shù)基本運(yùn)算,定義四元數(shù)h的共軛h*為h*=a-bi-cj-dk．

2數(shù)學(xué)模型

假設(shè)極化敏感陣列是由M個(gè)三分量電磁矢量傳感器組成的ULA,其中,雙偶極子分量嚴(yán)格指向x軸和z軸,磁環(huán)分量平行于x-y平面,如圖1所示．為了方便討論,記由嚴(yán)格指向x軸的偶極子組成的ULA為子陣1,由平行于x-y平面分布的磁環(huán)組成的ULA為子陣2,由嚴(yán)格指向z軸的偶極子組成的ULA為子陣3．

圖1　本文所提陣列

當(dāng)有N個(gè)彼此獨(dú)立的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶完全極化信號(hào)入射到該極化敏感陣列時(shí),在復(fù)數(shù)模型下,子陣1,2和3的接收數(shù)據(jù)矩陣可以分別表示為:

=Ax(θ,φ,γ,η)s(t)+nex(t),

(1)

=Az(θ,γ,η)s(t)+nhz(t),

(2)

=B(θ,γ)s(t)+nez(t)．

(3)

式中： Ax(θ,φ,γ,η),Az(θ,γ,η)和B(θ,γ)分別為子陣1,2和3的陣列流型;極化-角度域?qū)蚴噶縠xn(θn,φn,γn,ηn)=cosφncosθnsinγnejηn-sinφncosγn為第n個(gè)信號(hào)沿x軸的電場(chǎng)表達(dá)式；極化-角度域?qū)蚴噶縣zn(θn,γn)=sinθncosγn為第n個(gè)信號(hào)沿z軸的磁場(chǎng)表達(dá)式；極化-角度域?qū)蚴噶縠zn(θn,γn,ηn)=-sinθnsinγnejηn為第n個(gè)信號(hào)沿z軸的電場(chǎng)表達(dá)式; q(θn)=[1,ejβn,ej2βn,…,ej(M-1)βn]T為第n個(gè)信號(hào)的陣元空間相移矢量,βn=-2πdcosθn/λ,n=1,2,…,N;λ是入射信源的波長(zhǎng),陣元間距d=λ/2;sn(t)表示第n個(gè)信號(hào)的復(fù)包絡(luò); nex(t),nhz(t)和nez(t)均為加性高斯白噪聲,并假設(shè)噪聲分量彼此獨(dú)立,且功率均為σ2．

基于子陣1和2的接收數(shù)據(jù),通過(guò)四元數(shù)運(yùn)算構(gòu)造四元數(shù)模型下的接收數(shù)據(jù)為

x(t)=xhz(t)+ixex(t)

=A(θ,φ,γ,η)s(t)+n(t)．

(4)

式中:θn∈[0,π],φn∈[0,2π),γn∈[0,π/2],ηn=[-π,π)分別是第n個(gè)信號(hào)的俯仰角、方位角、極化輔角和極化相位差；極化-角度域?qū)蚴噶喀穘(θn,φn,γn,ηn)為四元數(shù)模型下第n個(gè)信號(hào)沿x軸電場(chǎng)和沿z軸的磁場(chǎng)的表達(dá)式為

Ψn=hzn(θn,γn,ηn)+iexn(θn,φn,γn,ηn)

(5)

n(t)=nhz(t)+inex(t)為四元數(shù)模型下的噪聲矩陣．

需要注意的是在參考文獻(xiàn)[9-13]中,子陣1和2在四元數(shù)模型下的接收數(shù)據(jù)矩陣表示為

(6)

與本文式(4)相比,式(6)改變了極化-角度域?qū)蚴噶喀泛完囋臻g相移矢量q的乘法順序,由于四元數(shù)不滿足乘法交換律,這些文獻(xiàn)中的數(shù)學(xué)模型存在兩個(gè)問(wèn)題:其一,基于式(6)的四元數(shù)模型,其數(shù)據(jù)不能像式(4)那樣,由復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)通過(guò)四元數(shù)運(yùn)算構(gòu)造得到;其二,改變乘法順序后的數(shù)學(xué)模型存在“四元數(shù)模型相干”問(wèn)題,接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣會(huì)丟失信源的極化信息[13]．

3FVSAEQ-ESPRIT算法

3.1四元數(shù)模型下Khatri-Rao子空間操作

假設(shè)矢量傳感器接收的噪聲分量為彼此獨(dú)立的加性高斯白噪聲,通過(guò)x(t)和xez(t)的互相關(guān)操作可以有效地抑制噪聲對(duì)角度估計(jì)精度的影響為

(7)

式中,Rs=diag{Ps1,Ps2,…,PsN}為信號(hào)協(xié)方差矩陣,由于假設(shè)信號(hào)為彼此獨(dú)立的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶完全極化信號(hào),所以Rs為實(shí)對(duì)角矩陣,對(duì)角線元素Psn表示第n個(gè)信源的功率．

因?yàn)樗脑獢?shù)乘法運(yùn)算不滿足交換律,所以對(duì)R進(jìn)行Khatri-Rao子空間向量化操作時(shí),不能按照列方向矢量化,而是需要按照行方向矢量化

vec(R)=vec(ARsBH)=(AΘB*)rs．

(8)

式中,rs=[Ps1,Ps2,…,PsN]T．

由文獻(xiàn)[14]可知,經(jīng)過(guò)Khatri-Rao子空間處理后得到的vec(R)是冗余的．為了去除重復(fù)項(xiàng),引入降維矩陣D:

D=[Du;eM?eM;Dd]．

(9)

式中:

(10)

(11)

em為1×M維除了第m個(gè)元素等于1,其他元素均為0的行向量,m=1,2,…,M．

通過(guò)降維矩陣D除去式(8)的重復(fù)項(xiàng),可得

f=Dvec(R)=D(AΘB*)rs=Grs．

(12)

式中,

(13)

3.2構(gòu)建旋轉(zhuǎn)不變結(jié)構(gòu)

假設(shè)信源數(shù)已知,利用參考文獻(xiàn)[15]的類空間平滑操作,構(gòu)造(2M-N)×N維矩陣Rα:

(14)

式中,矩陣Rα的第n列rn=f(n∶2M-N-1+n),f(p∶q)表示由f的第p個(gè)元素到第q個(gè)元素組成的列矢量．

基于式(12)和(13),矩陣Rα可以寫(xiě)成矩陣相乘的形式:

Rα=

(15)

類似于文獻(xiàn)[13],通過(guò)選擇矩陣J1=[I2M-N-1,02M-N-1],J2=[02M-N-1,I2M-N-1]來(lái)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)不變結(jié)構(gòu)，

(16)

3.3估計(jì)俯仰角

基于式(15),可以得到Uα的估計(jì)矩陣為

(17)

i((cosφncosθnsinγncosηn-

(cosφncosθnsinγncosηn-

(18)

(19)

(20)

i((cosφncosθnsinγncosηn-

sin(M-l)βn)+k(cosφncosθnsinγn

(cosφncosθnsinγncosηn-

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

定義選擇矩陣J3=[I2(M-1),02(M-1)],J4=[02(M-1),I2(M-1)],可得

=diag{ejβ1,ejβ2,…,ejβN}．

(26)

式中: I2(M-1)表示2(M-1)×2(M-1)維單位矩陣; 02(M-1)表示2(M-1)×1維的全零列向量．俯仰角可以由下式估計(jì)得到:

(27)

3.4估計(jì)極化相位差

(28)

=-μnPsnsinθnsinγn(cosηn+jsinηn)．

(29)

因?yàn)棣萵∈[0,π],γn∈[0,π/2],Psn表示第n個(gè)信號(hào)的功率,μn是模糊系數(shù)的模值,所以μnPsnsinθnsinγn非負(fù),極化相位差可以由下式估計(jì)得到:

(30)

3.5估計(jì)方位角和極化輔角

=μn(sinθncosγn+

i(cosφncosθnsinγncosηn-

sinφncosγn)+

kcosφncosθnsinγnsinηn)．

(31)

=cosφncotθntanγncosηn-sinφn/sinθn;

(32)

=cosφncotθntanγnsinηn．

(33)

(34)

(35)

(36)

4仿真實(shí)驗(yàn)

在仿真實(shí)驗(yàn)部分,本文給出了一些仿真結(jié)果來(lái)說(shuō)明所提算法的性能,并與文獻(xiàn)[13]的DRQ-ESP

RIT進(jìn)行了對(duì)比．

實(shí)驗(yàn)1本文的數(shù)據(jù)模型式(4),是陣元空間相移矢量q左乘了極化-角度域?qū)蚴噶喀?而文獻(xiàn)[9-13]所提的數(shù)據(jù)模型式(6),在是陣元空間相移矢量q右乘了極化-角度域?qū)蚴噶喀?本實(shí)驗(yàn)給出一個(gè)例子,來(lái)說(shuō)明這兩種數(shù)據(jù)模型的差異．

為了不失一般性,令極化-角度域?qū)蚴噶康膶?shí)部和三個(gè)虛部均非零,并為

Ψ=-0.38123+1.031i+0.20159j+

0.20159k,

陣元空間相移矢量為

噪聲子空間為

Un=

通過(guò)計(jì)算可得:

qHUn=0.025913-0.065518i-0.16092j+

0.16212k,(Ψq)HUn=0,

(qΨ)HUn=-0.07719-0.06686i+

0.23648j+0.08567k．

可以看出qHUn和(qΨ)HUn均不等于零,在文獻(xiàn)[9]中已經(jīng)證明了q與Un的正交關(guān)系和qΨ與Un的正交關(guān)系等價(jià),說(shuō)明基于式(6)的數(shù)學(xué)模型中,Ψ的信息無(wú)法通過(guò)qΨ與Un的正交關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)．但是(Ψq)HUn卻等于零,也就是說(shuō)q左乘Ψ后,改變了與Un的正交關(guān)系,說(shuō)明基于式(4)的數(shù)學(xué)模型中,Ψ的信息可以通過(guò)Ψq與Un的正交關(guān)系體現(xiàn)出來(lái)．

實(shí)驗(yàn)2假設(shè)極化敏感陣列是由10個(gè)三分量電磁矢量傳感器組成的ULA,陣元間距d等于入射信號(hào)的半波長(zhǎng),信源數(shù)目為2,其方位角、俯仰角、極化輔角和極化相位差分為：信號(hào)1,θ1=70°,φ1=60°,γ1=55°,η1=50°;信號(hào)2,θ1=65°,φ1=45°,γ1=35°,η1=26°.噪聲為彼此獨(dú)立的加性高斯白噪聲．

圖2和圖3分別為小快拍和大快拍下條件下,DOA和極化參數(shù)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差隨信噪比的變化曲線,蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)為500．從仿真結(jié)果可以明顯看出本文所提算法的估計(jì)精度要高于文獻(xiàn)[13]的DRQ-ESPRIT,這是由于: 1) 本文采用的基于式(4)的數(shù)學(xué)模型要優(yōu)于基于式(6)的數(shù)學(xué)模型; 2) 本文利用了Khatri-Rao子空間操作和虛擬對(duì)稱導(dǎo)向矢量,擴(kuò)展了極化敏感陣列的孔徑,增加了陣列的自由度,使得本文的參數(shù)估計(jì)精度均高于文獻(xiàn)[14]．

(a) 信號(hào)1

(b) 信號(hào)2圖2　128快拍,估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差隨信噪比變化曲線

此外,DOA參數(shù)中的俯仰角估計(jì)精度要高于方位角的估計(jì)精度,極化參數(shù)中的極化相位差的估計(jì)精度要高于極化輔角的估計(jì)精度,這是因?yàn)榉轿唤呛蜆O化輔角是基于俯仰角和極化相位差估計(jì)值的基礎(chǔ)上得到的,俯仰角和極化相位差的估計(jì)誤差影響了方位角和極化輔角的估計(jì)精度．

(a) 信號(hào)1

(b) 信號(hào)2圖3　1024快拍，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差隨信噪比的變化曲線

5結(jié)論

傳統(tǒng)的DRQ-ESPRIT存在“四元數(shù)模型相干”和孔徑損失兩個(gè)問(wèn)題．基于四元數(shù)乘法運(yùn)算不滿足交換律,本文指出“四元數(shù)模型相干”問(wèn)題是由極化-角度域?qū)蚴噶亢完囋臻g相移矢量的乘法順序引起的,并通過(guò)修正極化-角度域?qū)蚴噶亢完囋臻g相移矢量的乘法順序解決了“四元數(shù)模型相干”問(wèn)題．為了彌補(bǔ)孔徑損失的問(wèn)題,提出了FVSAEQ-ESPRIT算法,所提算法利用Khatri-Rao子空間方法虛擬擴(kuò)展孔徑,增加了極化敏感陣列的自由度,并通過(guò)導(dǎo)向矢量的虛擬對(duì)稱操作,充分利用了陣元的孔徑信息,不僅增加了可估計(jì)信源的數(shù)目,還提高了參數(shù)估計(jì)精度．

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趙繼超(1989-),男,陜西人,博士研究生,研究方向?yàn)闃O化敏感陣列參數(shù)估計(jì)．

陶海紅(1976-),女,安徽人,西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院教授,博士,博士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)處理與檢測(cè)、高速實(shí)時(shí)信號(hào)處理、陣列信號(hào)處理．

計(jì)茹 (1987-),女,陜西人,碩士,研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理波束形成．

高志奇(1980-),男,內(nèi)蒙古人,博士研究生,研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理．

作者簡(jiǎn)介

中圖分類號(hào)TN958.93

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

文章編號(hào)1005-0388(2016)01-0039-08

收稿日期：2015-04-02

趙繼超, 陶海紅, 計(jì)茹, 等. 基于三分量電磁矢量傳感器的波達(dá)角和極化參數(shù)估計(jì)[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào),2016,31(1):39-46. DOI: 10.13443/j.cjors.2015040203

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資助項(xiàng)目: 國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)(2011CB707001)； 國(guó)家自然科學(xué)基金(60971108)； 西安電子科技大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)(BDY061428)

聯(lián)系人： 趙繼超 E-mail: 13891894124@139.com