基于多項(xiàng)式的擬合推估法在GPS高程轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用

劉瑋,石杏喜

(南京理工大學(xué)土木工程系,江蘇南京 210094)

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基于多項(xiàng)式的擬合推估法在GPS高程轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用

劉瑋,石杏喜

(南京理工大學(xué)土木工程系,江蘇南京 210094)

摘要:對(duì)于GPS道路高程轉(zhuǎn)換問題,常采用多項(xiàng)式擬合、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和平均加權(quán)法進(jìn)行擬合,這些方法都存在一些模型上的缺陷,造成精度降低。文中采用基于多項(xiàng)式的擬合推估法進(jìn)行GPS道路高程轉(zhuǎn)換,并通過工程實(shí)例對(duì)幾種轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行比較分析,證明擬合推估法比單一轉(zhuǎn)換模型具有更高的精度和可靠性。

關(guān)鍵詞:公路;高程轉(zhuǎn)換;多項(xiàng)式擬合推估;高程異常

擬合推估法即最小二乘配置法,是根據(jù)最小二乘原理,集合經(jīng)典測(cè)量平差、濾波、推估于一身,根據(jù)特定的擬合法則,對(duì)隨機(jī)參數(shù)和非隨機(jī)參數(shù)進(jìn)行推估,使其精度更高的一種處理方法。常規(guī)的平面擬合、曲面擬合、多面函數(shù)擬合等都是擬合一個(gè)與大地水準(zhǔn)面相似的趨勢(shì)面,沒有考慮趨勢(shì)面與大地水準(zhǔn)面之間的差值,也就是將全部待定參數(shù)看作非隨機(jī)變量;平均加權(quán)擬合法是將高程異常值與站點(diǎn)平面坐標(biāo)建立函數(shù)關(guān)系,對(duì)地形起伏所引起的噪聲信號(hào)進(jìn)行擬合,也就是將待定參數(shù)看作隨機(jī)變量。無論是只考慮非隨機(jī)變量還是只考慮隨機(jī)變量,在理論上都是不全面的,實(shí)踐中的應(yīng)用也有局限。

1 多項(xiàng)式擬合法原理

多項(xiàng)式擬合法方程為:

式中:x、y分別為點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo);a1,a2,…,a6為擬合系數(shù)。

式(1)中a1,a2,…,a6是6個(gè)待定系數(shù),需要知道至少6個(gè)控制點(diǎn)才能計(jì)算出高程異常。如果式(1)中只有a1,a2,a3前三項(xiàng),即為平面擬合。擬合系數(shù)可以由測(cè)區(qū)里已知點(diǎn)的高程異常,通過最小二乘原理求得。

誤差方程為:

則矩陣形式為:

根據(jù)最小二乘原理可求得:

2 最小二乘配置法的原理

最小二乘配置的一般函數(shù)模型為:

式中:L為觀測(cè)向量;X為濾波參數(shù),即隨機(jī)參數(shù);Y為傾向參數(shù),即非隨機(jī)參數(shù);Δ為觀測(cè)噪聲,Δ～N(0,DΔ)。

設(shè)觀測(cè)點(diǎn)推估信號(hào)為X′,則式(5)可以寫成:

式中:C=[B,0];Z=[X,X′]T。

已知先驗(yàn)信息E(X)=μX,var(X)=DX,E(X′)=μX′,var(X′)=DX′,X與X′的協(xié)方差為DXX′=DX′X,噪聲Δ與X、X′的協(xié)方差是相互獨(dú)立的,即DΔX′=0,DΔX=0。則誤差方程為:

近日，贛州恩菲環(huán)保能源有限公司滲瀝液處理站傳來喜訊：項(xiàng)目自8月調(diào)試完畢后，已成功滿負(fù)荷運(yùn)行，實(shí)現(xiàn)成功投運(yùn)，這標(biāo)志著中國(guó)恩菲自主研發(fā)的滲瀝液處理技術(shù)取得了重大進(jìn)展，也將促進(jìn)公司能源環(huán)境版塊的技術(shù)提升，為公司固廢領(lǐng)域的咨詢?cè)O(shè)計(jì)、工程總包市場(chǎng)開拓提供新的增長(zhǎng)點(diǎn)。

根據(jù)最小二乘原理:

式中:V為觀測(cè)值L的改正數(shù);VZ為Z的先驗(yàn)期望E(Z)的改正數(shù)。

從而得:

設(shè)B=I(單位陣)、μX=0、μX′=0,且不考慮噪聲誤差,則式(9)可表示為:

得到未測(cè)點(diǎn)的平差值為:

3 協(xié)方差函數(shù)

運(yùn)用最小二乘配置模型計(jì)算異常值的過程中要預(yù)先知道各信號(hào)間的協(xié)方差,這是其成敗的關(guān)鍵所在。實(shí)際應(yīng)用中需知道各測(cè)站高程異常這一信號(hào)之間的協(xié)方差等。協(xié)方差陣往往通過協(xié)方差函數(shù)計(jì)算得到。假定協(xié)方差只與i、j兩點(diǎn)間的距離有關(guān),而與點(diǎn)間的點(diǎn)位和方向無關(guān),這就是隨機(jī)函數(shù)。協(xié)方差函數(shù)的確定與選擇將直接影響估計(jì)值的精度。

協(xié)方差函數(shù)的嚴(yán)密表達(dá)式難以準(zhǔn)確獲得,實(shí)際中通常采用經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)根據(jù)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行估計(jì),即預(yù)先選擇一個(gè)符合協(xié)方差函數(shù)條件、形式簡(jiǎn)單的函數(shù)作為協(xié)方差函數(shù),根據(jù)觀測(cè)值采用擬合方法求得所選協(xié)方差函數(shù)中的待定參數(shù)。

確定協(xié)方差函數(shù)的方法有多項(xiàng)式擬合、高斯曲線函數(shù)擬合、一般指數(shù)函數(shù)擬合、多面函數(shù)擬合、希爾沃年函數(shù)擬合等。鑒于一般實(shí)測(cè)中GPS高程測(cè)量和水準(zhǔn)測(cè)量重合點(diǎn)不是很多,采用多面函數(shù)擬合協(xié)方差函數(shù)比較合理。

鑒于擬合區(qū)域小且GPS高程測(cè)量與水準(zhǔn)測(cè)量重合點(diǎn)不多,選取平方根函數(shù)作為協(xié)方差函數(shù),即:

由已知點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)構(gòu)成協(xié)方差矩陣DX:

協(xié)方差矩陣是對(duì)稱方陣,其中主對(duì)角線元素σ21,…,σ2n分別是信號(hào)X的方差,σij=σji是協(xié)方差;由已知點(diǎn)坐標(biāo)和未知點(diǎn)構(gòu)成協(xié)方差矩陣DX′X;求得上述協(xié)方差矩陣即可通過式(10)、式(11)求得未知點(diǎn)的高程異常。

4 模型精度評(píng)定

模型的符合精度是根據(jù)參與擬合的已知點(diǎn)的實(shí)測(cè)高程與擬合高程的差值進(jìn)行計(jì)算的,已知點(diǎn)的擬合精度稱作內(nèi)符合精度,檢核點(diǎn)的符合精度稱作外符合精度。其計(jì)算公式分別為:

式中:n為已知點(diǎn)個(gè)數(shù);m為檢核點(diǎn)個(gè)數(shù)。

5 實(shí)例分析

在南京某標(biāo)段市政道路上設(shè)置測(cè)量點(diǎn),并布置控制網(wǎng),結(jié)合GPS測(cè)量及二等精密水準(zhǔn)測(cè)量分別對(duì)各點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)研究。為了獲得更好的試驗(yàn)結(jié)果,控制點(diǎn)盡量均勻分布,并覆蓋整個(gè)控制網(wǎng)(見圖1)。選取7個(gè)已知點(diǎn)(KZ1～KZ7)參與擬合,7個(gè)點(diǎn)(D1 ～D7)作為檢核點(diǎn),分別計(jì)算其擬合殘差及內(nèi)外符合精度。已知點(diǎn)、檢核點(diǎn)的數(shù)據(jù)見表1、表2。

圖1 控制網(wǎng)中控制點(diǎn)和待測(cè)點(diǎn)分布

本例中高程異常量值變化不大,若要達(dá)到更好的擬合精度,需將測(cè)區(qū)內(nèi)全部已知點(diǎn)的高程異常按一定間距作等高線(見圖2),從中找出已知點(diǎn)的最佳組合。如果個(gè)別高程異常變化量比較明顯,則不適合作為擬合點(diǎn)和檢核點(diǎn)。

在進(jìn)行擬合計(jì)算前,先將各控制點(diǎn)的平面坐標(biāo)減去一個(gè)常數(shù),避免數(shù)據(jù)差異過大產(chǎn)生奇異矩陣,使計(jì)算更加穩(wěn)定。擬合出高程異常ξ后,根據(jù)高程關(guān)系式即可求出正常高。

通過編程計(jì)算,可求得平面擬合法、平面擬合+最小二乘配置法、二次曲面和二次曲面+最小二乘配置法4種方法的擬合高程異常,并計(jì)算出擬合殘差、內(nèi)外符合精度,比較各種方法的優(yōu)劣(見表3、表4和圖3、圖4)。

表1 控制點(diǎn)坐標(biāo)和高程異常

表2 待測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)、擬合高程和高程異常

圖2 高程異常柱狀圖

從表3、表4和圖3、圖4可看出:平面擬合已知點(diǎn)的最大擬合殘差為-1.19 cm,檢核點(diǎn)的最大擬合殘差為-1.36 cm;平面擬合+最小二乘配置法已知點(diǎn)的最大擬合殘差為-0.9 cm,檢核點(diǎn)的最大擬合殘差為-1.10 cm;二次曲面擬合法已知點(diǎn)的最大擬合殘差為0.6 cm,檢核點(diǎn)的最大擬合殘差為0.96 cm;二次曲面+最小二乘配置法已知點(diǎn)的最大擬合殘差為-0.1 cm,檢核點(diǎn)的最大擬合殘差為0.9 cm。二次曲面+最小二乘配置法的內(nèi)外符合精度均高于其他3種方法。

表3 已知點(diǎn)高程異常推估值及擬合殘差

表4 檢核點(diǎn)高程異常推估值及擬合殘差

圖3 已知點(diǎn)擬合殘差

圖4 檢核點(diǎn)擬合殘差

6 結(jié)論

(1)就單一模型而言,二次曲面擬合法的精度高于平面擬合法;增加最小二乘配置的多項(xiàng)式模型的精度高于單一模型,其精度在已知點(diǎn)擬合中表現(xiàn)更為明顯。其原因是單一擬合模型易受到地形和模型的限制而影響其精度;基于多項(xiàng)式的擬合推估法的綜合模型吸收了單一模型的優(yōu)點(diǎn),擬合精度高。

(2)最小二乘配置法中的協(xié)方差函數(shù)是一種統(tǒng)計(jì)函數(shù),在高程異常資料稀少的地區(qū)很難確定。同時(shí)協(xié)方差函數(shù)能否正確反映信號(hào)的相關(guān)性,不僅與所選函數(shù)有關(guān),還與參與協(xié)方差函數(shù)擬合的樣本質(zhì)量及容量有關(guān)。

(3)不同的協(xié)方差函數(shù)會(huì)影響擬合數(shù)據(jù)精度,鑒于一般實(shí)測(cè)中GPS高程測(cè)量和水準(zhǔn)測(cè)量重合點(diǎn)不是很多,采用平方根函數(shù)比較合理、簡(jiǎn)便。

(4)平面擬合法、多項(xiàng)式擬合法及基于多項(xiàng)式的擬合推估法都能滿足精度要求。不過,這與數(shù)據(jù)的質(zhì)量和點(diǎn)位分布的均勻程度有著很大關(guān)系。

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收稿日期:2015-10-20

中圖分類號(hào):U412.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1671-2668(2016)02-0088-04