具有未知模型的隨機(jī)系統(tǒng)最小方差控制性能分析*

高　韻　楊恒占,　錢(qián)富才

(1.西安工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院　西安　710021)(2.西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院　西安　710048)

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具有未知模型的隨機(jī)系統(tǒng)最小方差控制性能分析*

高韻1楊恒占1,2錢(qián)富才2

(1.西安工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院西安710021)(2.西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院西安710048)

摘要針對(duì)參數(shù)未知的隨機(jī)系統(tǒng),從系統(tǒng)辨識(shí)的角度研究最小方差控制問(wèn)題。首先用最小二乘法辨識(shí)參數(shù),繼而系統(tǒng)成為一個(gè)參數(shù)已知的系統(tǒng)。其次,再用最小方差方法設(shè)計(jì)出控制器。最后給出算例并運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行仿真,結(jié)果表明此方法簡(jiǎn)單、可行。

關(guān)鍵詞隨機(jī)系統(tǒng); 最小方差控制; 最小二乘

Performance Analysis of Minimization Variance Control on Stochastic Systems with Unknown Model

GAO Yun1YANG Hengzhan1,2QIAN Fucai2

(1. School of Electronic and Information Engineering, Xi’an Technological University, Xi’an710021)

(2. School of Automation and Information Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an710048)

AbstractThe variance minimization control with the unknown parameters for stochastic systems is studied from the point of system identification. Firstly the unknown parameters are identified with recursive least squares approach to make the system with known parameters. Secondly, a controller is designed with the variance minimization control. Finally, Matlab software is used to simulate the given example and the result shows that the method is simple and feasible.

Key Wordsstochastic systems, minimization variance control, least square

Class NumberTP13

1引言

世界充滿(mǎn)不確定性,從量子系統(tǒng)到工業(yè)系統(tǒng),再到社會(huì)系統(tǒng),無(wú)一例外。不確定性的存在嚴(yán)重影響控制系統(tǒng)性能。目前,對(duì)系統(tǒng)不確定性的研究可粗略的分為隨機(jī)不確定性和有界不確定性[1]。前者以概率論為其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),發(fā)展至今已經(jīng)較為成熟,后者以集員理論為基礎(chǔ)經(jīng)過(guò)40多年的發(fā)展也取得了豐富成果?？刂葡到y(tǒng)的基本理念就是處理系統(tǒng)中的不確定性,通過(guò)對(duì)被控對(duì)象施加特定的輸入信號(hào),使得被控系統(tǒng)朝著期望的目標(biāo)運(yùn)行。如反饋控制、PID控制和自適應(yīng)類(lèi)控制[2~6],控制的基本要求是要實(shí)時(shí)獲取描述系統(tǒng)的狀態(tài)信息。就隨機(jī)噪聲而言,不管用多好的數(shù)學(xué)模型,用多少傳感器,都無(wú)法測(cè)量到狀態(tài)的真實(shí)值,因?yàn)闋顟B(tài)的測(cè)量值受到了噪聲的污染,即使在一段較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi),噪聲的統(tǒng)計(jì)特性已知,但每個(gè)時(shí)刻的噪聲都是未知的。這種情況下,最為有效的處理方法就是用隨機(jī)過(guò)程刻畫(huà)狀態(tài)的演化[7~11]。

不同的不確定性處理的理論框架不同,當(dāng)噪聲的分布函數(shù)已知,或者有足夠的先驗(yàn)知識(shí)能夠確定分布函數(shù)時(shí),無(wú)疑在隨機(jī)理論框架下,探討控制器的性質(zhì)具有良好的基礎(chǔ)。隨著工控機(jī)或者其他芯片技術(shù)的高速發(fā)展,為在工業(yè)控制過(guò)程中進(jìn)行數(shù)據(jù)記錄,提供了方便?，F(xiàn)在獲得現(xiàn)場(chǎng)的大批數(shù)據(jù)幾乎沒(méi)有難度,以這些充足的數(shù)據(jù)為樣本,建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型、確立噪聲的分布也比過(guò)去容易得多。

一旦用數(shù)據(jù)樣本獲得了噪聲的分布,那么隨機(jī)控制就是一個(gè)有力工具。最小方差控制以其數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)便性和工程上的實(shí)用性,已經(jīng)成為隨機(jī)控制理論中最為突出的代表之一[6],然而,傳統(tǒng)的最小方差控制需要系統(tǒng)模型已知,當(dāng)模型未知時(shí),控制器無(wú)法工作。

本文針對(duì)一般過(guò)程控制中缺乏模型的隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題,用最小二乘建立了被控對(duì)象的自回歸滑動(dòng)平均數(shù)學(xué)模型,以此模型為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)出了最小方差控制器,在仿真環(huán)境下分析了控制器的性能,獲得了一些定量結(jié)果。

2問(wèn)題的描述

考慮下列離散時(shí)間動(dòng)態(tài)系統(tǒng):

y(k+1)=f[y(k),y(k-1),…,y(k-n);

u(k),u(k-1),…,u(k-m),e(k+1)]

(1)

其中,k為當(dāng)前時(shí)刻,u(k)、y(k)、e(k)分別為k時(shí)刻系統(tǒng)的標(biāo)量輸入、輸出和噪聲,f(·)為非線(xiàn)性標(biāo)量函數(shù),表示系統(tǒng)模型。系統(tǒng)的復(fù)雜性體現(xiàn)在模型函數(shù)f(·)未知,同時(shí),還有隨機(jī)噪聲的影響,導(dǎo)致控制律難以確定。為使問(wèn)題能夠處理,在工作點(diǎn)本文用自回歸滑動(dòng)平均數(shù)學(xué)模型近似真實(shí)系統(tǒng)(1),具體形式如下:

A(z-1)y(k+1)=B(z-1)u(k)+e(k+1)

(2)

其中,A(z-1)=1+a1z-1+…+anz-n,B(z-1)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bmz-m(m≤n),m與n為系統(tǒng)階次,a1,a2,…,an,b0,b1,…,bm為模型參數(shù);e(k)是k時(shí)刻作用于系統(tǒng)的干擾噪聲,它是均值為0、方差為R的高斯白噪聲,即e(k)~N(0,R);z-1表示單位時(shí)滯,定義z-ix(k)=x(k-i)。

由于隨機(jī)噪聲的影響,用不同的輸入序列{u(k)}對(duì)系統(tǒng)實(shí)施控制,系統(tǒng)輸出必然產(chǎn)生波動(dòng),統(tǒng)計(jì)意義下的最小波動(dòng)即為本文的控制目標(biāo),具體為:minJ=E{[y(k+1)-yr(k+1)]2},其中,yr(k)為給定的目標(biāo)曲線(xiàn),為方便起見(jiàn),本文取yr(k)=0,這并不影響控制器的設(shè)計(jì)。因此,上述控制目標(biāo)可以簡(jiǎn)化為:minJ=E{y2(k+1)}。

對(duì)于隨機(jī)系統(tǒng)而言,控制器在k時(shí)刻除了知道系統(tǒng)的先驗(yàn)信息之外,還知道k時(shí)刻之前施加于系統(tǒng)的控制{u(0),u(1),…,u(k-1)}以及直到k時(shí)刻的測(cè)量{y(1),y(2),…,y(k)},這些信息是控制器在k時(shí)刻進(jìn)行決策所依賴(lài)的基礎(chǔ)。為了書(shū)寫(xiě)方便,這些信息表示為:Ik={u(0),…,u(k-1),y(1),…,y(k)}。

因此,本文解決的問(wèn)題為,對(duì)于動(dòng)態(tài)未知系統(tǒng)(2),求具有下述形式u(k)=fk(Ik)的控制律,使性能指標(biāo)J=E{y2(k+1)}最小。該問(wèn)題也可以寫(xiě)成如下緊湊形式:

s.t.　A(z-1)y(k+1)=B(z-1)u(k)+e(k+1)

3最小方差控制器設(shè)計(jì)

對(duì)系統(tǒng)(2)兩邊去均值可得到如下關(guān)系:

輸出的方差為

var([y(k+1)]=E{[y(k+1)-Ey(k+1)]2}

=E{y2(k+1)}=J

其中第二個(gè)等號(hào)用到了E{y(k)}=0。上式表明對(duì)性能指標(biāo)J的最小化等價(jià)于系統(tǒng)輸出方差的最小化,而方差反映了在隨機(jī)噪聲干擾下,系統(tǒng)的波動(dòng)幅度。因此,使J最小的控制器稱(chēng)為最小方差控制。

當(dāng)系統(tǒng)模型(2)中的參數(shù)已知時(shí),可以用文獻(xiàn)[8]中的方法獲得最小方差控制,為便于閱讀,簡(jiǎn)單給出最小方差控制的設(shè)計(jì)思路。

首先用A(z-1)除以方程(2)的兩邊,可得:

(3)

令:

A(z-1)+z-1F(z-1)=1

(4)

其中F(z-1)為具有如下形式的待定多項(xiàng)式:

F(z-1)=f0+f1z-1+…+fn-1z-(n-1)

把F(z-1)帶入式(4),利用恒等關(guān)系可以求出系數(shù)f0,f1,…,fn-1。獲得了待定多項(xiàng)式F(z-1)之后,利用式(4),則式(3)可以簡(jiǎn)化為

y(k+1)=e(k+1)+F(z-1)y(k)+B(z-1)u(k)

(5)

最小性能指標(biāo)如下:

J=E{y2(k+1)}

=E{[F(z-1)y(k)+B(z-1)u(k)]2}

+E{[e(k+1)]2}

(6)

式(6)推導(dǎo)中完全平方展開(kāi)后的交叉項(xiàng)用到了噪聲的獨(dú)立性與均值為零的條件。要使性能指標(biāo)J最小,則第一項(xiàng)必須等于零。因此有:

利用多項(xiàng)式B(z-1),u(k)可寫(xiě)成如下形式:

+f0y(k)+…+fny(k-n)]

(7)

這樣導(dǎo)出的控制律為Ik的函數(shù),又能使輸出方差最小。

當(dāng)A(z-1)的系數(shù)完全已知時(shí),根據(jù)式(4)可以確定出系數(shù)f0,f1,…,fn。因此,對(duì)于已知的A(z-1)和B(z-1),式(7)確定出了最小方差控制。當(dāng)模型參數(shù)未知時(shí),需要用特定的方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

4系統(tǒng)模型辨識(shí)實(shí)驗(yàn)

對(duì)于參數(shù)未知系統(tǒng)(2),控制器(7)無(wú)法工作。為辨識(shí)模型參數(shù)b1,b2,…,bm和a1,a2,…,an,可以通過(guò)設(shè)計(jì)一定的實(shí)驗(yàn),用最小二乘獲得。最小二乘就是在脈沖激勵(lì)下,能使輸入-輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行最佳匹配的線(xiàn)性模型,然而,現(xiàn)實(shí)中很難獲得脈沖信號(hào),因?yàn)橄到y(tǒng)在無(wú)限短的瞬間要達(dá)到最大-最小,這幾乎是不可能的,一個(gè)實(shí)用的方法就是用偽隨機(jī)序列來(lái)近似脈沖函數(shù)。

4.1偽隨機(jī)序列

理論與實(shí)踐均已表明:偽隨機(jī)序列是一種很好的輸入信號(hào),不僅辨識(shí)效果好,而且易于實(shí)現(xiàn)[9]。

偽隨機(jī)序列就是二位式最大長(zhǎng)度線(xiàn)性反饋移位寄存器的狀態(tài)。它由r個(gè)具有移位功能的觸發(fā)器串聯(lián)而成,(an-1,an-2,…,an-r)構(gòu)成一個(gè)狀態(tài)。可由圖1產(chǎn)生。圖中每個(gè)方框表示一個(gè)觸發(fā)器,方框內(nèi)的數(shù)值表示觸發(fā)器當(dāng)前狀態(tài)0或者1。初始值可以任意設(shè)置,在脈沖的作用下,觸發(fā)器將數(shù)碼向右移一位,最右邊溢出的狀態(tài)便是系統(tǒng)的輸入。

圖1　偽隨機(jī)序列寄存器

圖1中,ci(i=1,2,…,r)是反饋系數(shù),ci等于0或者1,分別表示第i階參與或者不參與邏輯組,所以

(8)

4.2最小二乘

最小二乘是一種經(jīng)典數(shù)據(jù)處理方法,既可用于靜態(tài)系統(tǒng),也可用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。為使用最小二乘,系統(tǒng)模型(2)可改寫(xiě)為

(9)

用上述方法產(chǎn)生N+1個(gè)偽隨機(jī)序列的輸入信號(hào)u(k)(k=0,1,…,N),然后將u(k)依次加入實(shí)際系統(tǒng),測(cè)量相應(yīng)的輸出y(k),可得到如下關(guān)系:

yN=φNθ+eN

其中,

yN=[y(1),y(2),…,y(N)]T

(10)

5性能分析

總結(jié)上述結(jié)果,可以得到解決未知系統(tǒng)最小方差控制問(wèn)題(P)的算法為

Step 1:用式(8)產(chǎn)生輸入信號(hào){u(k)};

Step 2:用式(10)給出模型參數(shù)θ的估計(jì);

Step 3:用式(4)求出多項(xiàng)式F(z-1)的系數(shù);

Step 4:用式(7)給出k時(shí)刻的控制輸入。

下面以一個(gè)單輸入-單輸出系統(tǒng)為例,對(duì)上述算法進(jìn)行仿真分析。

y(k)+a1y(k-1)+a2y(k-2)=

b0u(k-1)+b1u(k-2)+e(k)

其中,e(k)為白噪聲,e(k)~N(0,1),系統(tǒng)參數(shù)的真值為:a1=-1.7,a2=0.7,b0=1,b1=0.5,即,模型(2)中的多項(xiàng)式分別為

A(z-1)=1-1.7z-1+0.7z-2;B(z-1)=1+0.5z-1

求解方程(4),可以得到F(z-1)=1.7-0.7z-1,因此,在模型參數(shù)已知的情況下,最小方差控制為

u(k)=-1.7y(k)+0.7y(k-1)-0.5u(k-1)

(11)

以下為在假定模型參數(shù)未知時(shí),控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程。

首先,用式(8)產(chǎn)生偽隨機(jī)序列,分別為2、5、10、15、30、50階,以15階為例,得到的序列為:1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0。然后,用最小二乘法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí),辨識(shí)結(jié)果如表1所示。

表1　參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

從表1可以看出,隨著辨識(shí)序列長(zhǎng)度的增加,辨識(shí)結(jié)果與真值的偏差逐漸減小,但當(dāng)序列長(zhǎng)度大到一定程度時(shí),對(duì)辨識(shí)效果改善不大。

接著,用式(4)求出F(z-1)=1.7044-0.7033z-1,最小方差控制為

-0.5093u(k-1)

(12)

由式(11)與式(12)的解析表達(dá)式可以看出,用本文方法設(shè)計(jì)出的控制律(12)與真實(shí)控制律(11)非常接近,兩個(gè)控制律的控制效果如圖2、圖3所示。

圖2　參數(shù)未知情況下的輸出y(k)

圖3　參數(shù)已知情況下的輸出y(k)

6結(jié)語(yǔ)

針對(duì)一般復(fù)雜系統(tǒng),本文提出了在每個(gè)工作點(diǎn)用未知參數(shù)的自回歸建模方法,給出了模型參數(shù)辨識(shí)和最小方差控制設(shè)計(jì)方法,分析了控制器性能。本文在系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)階段,設(shè)計(jì)了偽隨機(jī)序列作為系統(tǒng)輸入,這是為搜集數(shù)據(jù)所付出的代價(jià),能否一邊控制一邊搜集數(shù)據(jù),是進(jìn)一步需要完成的工作;另外,在控制目標(biāo)選取時(shí),將一個(gè)多階段優(yōu)化問(wèn)題用多個(gè)單階段優(yōu)化問(wèn)題來(lái)近似,雖然數(shù)學(xué)上簡(jiǎn)單很多,但確定出的控制律不能保證全局方差最小,有短視行為,這也是需要進(jìn)一步完成的工作。

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中圖分類(lèi)號(hào)TP13

DOI:10.3969/j.issn.1672-9722.2016.03.001

作者簡(jiǎn)介:高韻,女,碩士研究生,研究方向:控制理論與控制工程。楊恒占,男,博士,講師,研究方向:故障診斷、隨機(jī)控制、最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制等。錢(qián)富才,男,博士,教授,研究方向:最優(yōu)控制、系統(tǒng)辨識(shí)、自適應(yīng)控制、魯棒控制、故障診斷等。

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金(編號(hào):61273127);高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金(編號(hào):20116118110008)資助。

*收稿日期:2015年9月3日,修回日期:2015年10月27日