淺談分式函數(shù)的不定積分計(jì)算技巧

賈翠

摘 要 分式函數(shù)求解過(guò)程中，分析分式函數(shù)積分的類型，大致遵循“分子迎合分母”原則，采用湊微分法或湊因子法，獲得解題方法。

關(guān)鍵詞 分子迎合分母 湊微分 湊因子 分部積分中圖分類號(hào)：O172.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

積分學(xué)的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練既有利于鍛煉學(xué)生的逆向思維和邏輯思維能力，又提高學(xué)生的發(fā)散思維。因此，在教學(xué)過(guò)程中如何引導(dǎo)學(xué)生掌握不定積分的計(jì)算方法和技巧，尤為重要。對(duì)于上述問(wèn)題，很多文獻(xiàn)對(duì)其研究。下面主要通過(guò)對(duì)常見(jiàn)分式 函數(shù)的求解，引導(dǎo)學(xué)生分析分式函數(shù)，從較復(fù)雜的函數(shù)入手，掌握計(jì)算方法，從而得出處理相應(yīng)函數(shù)的計(jì)算技巧，也為學(xué)生解決難度較大的問(wèn)題提供解題思路。

1幾種類型的函數(shù)的積分

1.1分式函數(shù)

對(duì)于這類函數(shù)，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相除，遵循的原則為”分子迎合分母”，方式大致分為兩種：湊分母中的因子；分子湊分母中的微分。以下以例題的形式，說(shuō)明“分子迎合分母”的方式與技巧。

例1：dx

解法一：通過(guò)加減項(xiàng)，湊分母中的因子

原式=dx=dx€Hadx

=ln|x|€Haln（1+x2）+C

解法二：欲使分母的兩個(gè)因子的次冪一樣，分子分母同乘x，然后湊微分

原式=dx=（€Ha）dx2

=ln+C

注：此題也可運(yùn)用倒代換，三角代換，平方代換，有理函數(shù)的積分方法求解。

1.2帶有根式的有理函數(shù)

若二次根式下為二次多項(xiàng)式時(shí)，先整理平方和或者平方差的形式，再選擇方法計(jì)算：利用基本的積分表計(jì)算；使用三角代換=asect，=atant，=asint；若被積函數(shù)出現(xiàn)多項(xiàng)式減根式，考慮分子或分母有理化簡(jiǎn)化，再化簡(jiǎn)。

若根式下為三次多項(xiàng)式，主要尋找符不符合湊微分的條件，或者采用第二類換元法，直接代換；

原式=2costdt=tan2tdt=tant€Hat+C

=€Haarcsin+C

注：此題也可運(yùn)用倒代換，三角代換，平方代換，有理函數(shù)的積分方法求解。

例2：

解法一：遵循“分子迎合分母”原則，分母中根式下為三次多項(xiàng)式，分子中為二次冪，有（1€Hax3）'=€Ha3x2，從而想到湊分母中的微分，則

原式=€Had（1€Hax3）= =€Ha+C

解法二：可直接代換，令t=，x=（1€Hat2），dx=€Hat=（1€Hat2）-，

原式=·€Hat（1€Hat2）-dt=€Hat+C=€Ha+C

注：此題也可使用如下幾個(gè)代換：t=x3 ，=sint求解。

1.3與其它函數(shù)的組合形式：

組合形式，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的層面，一般認(rèn)為多項(xiàng)式函數(shù)是最簡(jiǎn)單的函數(shù)，從較為復(fù)雜的函數(shù)入手，考察復(fù)雜函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)的關(guān)系：分析簡(jiǎn)單函數(shù)是不是復(fù)雜復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，兩個(gè)函數(shù)的次數(shù)的大小，由此選擇湊微分法，或者分部積分法求解。

例3：

解：直接采用分部積分，選擇反三角函數(shù)作為u，計(jì)算中會(huì)引入反三角函數(shù)，因此要先整理，則

原式=arctanx（€Ha）dx

=€Haarctanx+€Ha（arctanx）2

=€Haarctanx+ln€Ha（arctanx）2+C

2總結(jié)

對(duì)于類似的分式函數(shù)，理清被積函數(shù)的復(fù)雜程度，遵照“分子迎合分母”原則，分析類型，從主要的復(fù)雜函數(shù)入手，尋求復(fù)雜函數(shù)和簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系：簡(jiǎn)單函數(shù)是復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或者兩個(gè)函數(shù)的次數(shù)比較，由此考慮采用考慮湊微分、湊因子或者第二類換元法，再考慮分部積分。不定積分的計(jì)算是需要在多做練習(xí)的基礎(chǔ)上逐漸靈活掌握其計(jì)算方法。在實(shí)際的解題過(guò)程中和教學(xué)過(guò)程中，主要通過(guò)多角度地分析函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清被積函數(shù)的特點(diǎn)，得出解題思路。

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