淺談參數(shù)方程在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性

梁小江

摘 要：隨著我國(guó)教育改革不斷的推進(jìn)，學(xué)生學(xué)習(xí)的效率也逐漸提高；尤其是數(shù)學(xué)習(xí)題中的解題技巧，更是隨著知識(shí)的延展，變得更加簡(jiǎn)潔和優(yōu)化；像數(shù)學(xué)中的參數(shù)方程，對(duì)比傳統(tǒng)的方程解題更加簡(jiǎn)單和明確，對(duì)此參數(shù)方程也受到了師生廣泛的關(guān)注和應(yīng)用；對(duì)此就參數(shù)方程在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性，結(jié)合參數(shù)方程的意義和實(shí)例進(jìn)行分析，并提出相關(guān)的見(jiàn)解，希望對(duì)于國(guó)家教育發(fā)展有促進(jìn)的意義。

關(guān)鍵詞：參數(shù)方程；數(shù)學(xué)；解決問(wèn)題；優(yōu)越性

因?yàn)閰?shù)方程與普通方程具有一定的互換關(guān)系，所以學(xué)生理解參數(shù)方程的內(nèi)容時(shí)，并不是很難接受；但是在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，往往會(huì)受到數(shù)學(xué)思維等多方面的影響，使其參數(shù)方程不能很好地建立和應(yīng)用；對(duì)此學(xué)生應(yīng)不斷注重解題思維的培養(yǎng)，首先要從最基礎(chǔ)的轉(zhuǎn)化、分析、歸納以及建立等基礎(chǔ)的思維鍛煉抓起，然后再逐漸意識(shí)到參數(shù)方程解題的益處和價(jià)值，從而更好地意識(shí)到參數(shù)方程對(duì)于解題的優(yōu)越性。

一、參數(shù)方程解決距離長(zhǎng)度問(wèn)題的優(yōu)越性

很多學(xué)生對(duì)于求距離長(zhǎng)度的問(wèn)題，會(huì)有一定的難度，很多學(xué)生會(huì)利用距離公式或是使其轉(zhuǎn)化為直線間距的方式進(jìn)行求解，但是都沒(méi)有利用橢圓參數(shù)方程，在此說(shuō)明參數(shù)方程在解決距離長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性。

例如，“在橢圓■+■=1，求出橢圓上的點(diǎn)M到直線x+2y-10=0的距離最小值d”；通過(guò)題意設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（4cosα，3sinα），此時(shí)確定該題中的唯一參數(shù)為α，并且α∈[0，2π），此時(shí)得知d=■，整理得■2■cos（α-α0）-10，并且當(dāng)α=α0時(shí)d為最小值，所以此時(shí)可得出4cosα與3sinα的值，再將值帶入直線方程中，就可以求出d的值為■；對(duì)此通過(guò)參數(shù)的確定并進(jìn)而簡(jiǎn)化，從而更好地解決距離長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)習(xí)題。

二、參數(shù)方程解決周長(zhǎng)面積問(wèn)題的優(yōu)越性

例如，“求證圓的內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大”此時(shí)列出寬為2Rsinx，與長(zhǎng)為2Rcosx的參數(shù)方程，可以確定出面積與長(zhǎng)寬之間的關(guān)系，對(duì)此面積S=4R2sinxcosx整理得2R2sin2x，此時(shí)當(dāng)2x為90°時(shí)，則x=45°，S是最大值；當(dāng)用另一種方式，即設(shè)圓的半徑為r，內(nèi)接矩形對(duì)角線的夾角為A，此時(shí)矩形的面積為S=2r2sinA所以只有當(dāng)sinA為1時(shí)，矩形面積最大，所以只有A為90°時(shí)，才能滿足條件，并驗(yàn)證正方形面積最大；這兩種都準(zhǔn)確，但是第二種方法更加需要數(shù)學(xué)思維和邏輯，給學(xué)生增加難度，對(duì)此利用參數(shù)方程不僅可以減少時(shí)間，也能輕松地解決周長(zhǎng)面積等題型。

三、參數(shù)方程解決點(diǎn)軌跡方程的優(yōu)越性

參數(shù)方程是解決軌跡方程的關(guān)鍵途徑，其主要的原則，在于參數(shù)的準(zhǔn)確選擇和引進(jìn)；同時(shí)參數(shù)的選擇，還要堅(jiān)持一定的原則，即動(dòng)點(diǎn)的變化隨著參數(shù)的改變而改變；對(duì)此參數(shù)在題目中，能夠準(zhǔn)確地反映出質(zhì)點(diǎn)的變化規(guī)律，并且與題中給出的變量有一定的聯(lián)系；所以證明出此方程是參數(shù)的軌跡方程，就可以得知參數(shù)方程對(duì)于點(diǎn)軌跡方程的優(yōu)越性。

例如，一架飛機(jī)在距地面500 m高處以100 m/s的速度沿水平作直線飛行，為了保證物資準(zhǔn)確地落在地面上，飛行員應(yīng)當(dāng)如何投放，如圖所示：

利用普通方程很難用滿足于實(shí)數(shù)對(duì)于（x，y）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及不能明確物資的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；對(duì)此利用參數(shù)方程來(lái)解決，首先建立x=100 t與y=500-1/2 gt2的參數(shù)方程，其中t為參數(shù)；可以知道某一時(shí)刻物資所在的位置，而且可以進(jìn)一步知道物資飛行的時(shí)間，即當(dāng)y=0時(shí)，t=500/ 2g，又由于m點(diǎn)的坐標(biāo)x，y由t決定，所以可知當(dāng)t在連續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，x，y也在連續(xù)變化，對(duì)此明確出物資的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；并且此題明顯利用參數(shù)方程，比較簡(jiǎn)單且明確參數(shù)與給出量之間的關(guān)系；對(duì)此說(shuō)明參數(shù)方程對(duì)于點(diǎn)軌跡方程有一定的優(yōu)越性。

綜上所述，通過(guò)對(duì)參數(shù)方程在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性的分析，發(fā)現(xiàn)參數(shù)方程與普通方程存在某種必然的聯(lián)系，可以相互進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但是參數(shù)方程比普通方程更加簡(jiǎn)易和明了，因?yàn)閰?shù)方程和普通方程都是由于參數(shù)與變量x，y有指定的函數(shù)關(guān)系，對(duì)此比較容易列出函數(shù)關(guān)系式。而參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程時(shí)，只要將方程中的參數(shù)去掉就可以了，同時(shí)題中提到的變數(shù)范圍還是固定不變的。

參考文獻(xiàn)：

于文華.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中模式識(shí)別的影響因素研究[D].南京師范大學(xué)，2012.

編輯 喬建梅