帶有攻擊角約束的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律

宋俊紅，宋申民，徐勝利

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；2. 上海航天技術(shù)研究院 上海機(jī)動工程研究所，上海 201109）

帶有攻擊角約束的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律

宋俊紅1，宋申民1，徐勝利2

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；2. 上海航天技術(shù)研究院 上海機(jī)動工程研究所，上海 201109）

針對帶有攻擊角約束的多導(dǎo)彈同時攻擊機(jī)動目標(biāo)問題，提出了一種帶有攻擊角約束的協(xié)同制導(dǎo)律。首先基于平面內(nèi)的導(dǎo)彈-目標(biāo)相對運(yùn)動方程，建立了帶有攻擊角約束的協(xié)同制導(dǎo)模型；其次，把協(xié)同制導(dǎo)律的設(shè)計過程分離為兩個部分：一是基于圖論的有關(guān)內(nèi)容，運(yùn)用有限時間一致性理論設(shè)計沿著視線方向上的加速度指令來保證所有導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對距離在有限時間內(nèi)到達(dá)一致，進(jìn)而保證所有的導(dǎo)彈同時擊中機(jī)動目標(biāo)；二是利用非齊次干擾觀測器對機(jī)動目標(biāo)的加速度進(jìn)行估計，并運(yùn)用滑模控制設(shè)計視線法向上的加速度指令來保證每枚導(dǎo)彈與目標(biāo)間的視線角速率收斂到零和視線角收斂到期望的終端視線角，即每枚導(dǎo)彈以期望的終端視線角成功擊中目標(biāo)；最后，對三枚導(dǎo)彈同時打擊同一機(jī)動目標(biāo)的情況進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果表明本文設(shè)計的帶有攻擊角約束的協(xié)同制導(dǎo)律的有效性和正確性。

協(xié)同制導(dǎo)律；攻擊角約束；非齊次干擾觀測器；滑?？刂?；通信拓?fù)?；有限時間一致性

多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊以調(diào)整作戰(zhàn)理念、適應(yīng)未來環(huán)境為目的，打破作戰(zhàn)過程中各導(dǎo)彈之間沒有任何聯(lián)系與合作的傳統(tǒng)思想，將所有導(dǎo)彈看作一個整體，多導(dǎo)彈之間通過信息共享實(shí)現(xiàn)配合、協(xié)作，共同完成打擊任務(wù)，極大地提高了導(dǎo)彈的殺傷力和突防能力，而且能夠完成單枚導(dǎo)彈無法完成的任務(wù)，因此研究多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊具有非常重要的實(shí)際意義。

文獻(xiàn)[1]提出了一種攻擊時間可控的多導(dǎo)彈時間協(xié)同制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律是在比例制導(dǎo)律基礎(chǔ)上附加攻擊時間的誤差反饋，但是該制導(dǎo)律需要事先指定攻擊時間，然后各枚導(dǎo)彈單獨(dú)采用該制導(dǎo)律進(jìn)行指導(dǎo)，完成同時攻擊的目的。文獻(xiàn)[2]提出了一種基于虛擬領(lǐng)彈的帶有時間限制的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)的方法，是將攻擊時間同時達(dá)到問題轉(zhuǎn)化為各枚導(dǎo)彈-虛擬領(lǐng)彈的彈目相對距離和前置角的跟蹤問題，從而使各枚被領(lǐng)彈都按照虛擬領(lǐng)彈的指定攻擊時間同時攻擊目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)多導(dǎo)彈時間協(xié)同導(dǎo)引。文獻(xiàn)[3]基于動態(tài)面控制理論和干擾觀測器技術(shù)研究了制導(dǎo)與控制一體化的多導(dǎo)彈協(xié)同打擊目標(biāo)問題。文獻(xiàn)[4-5]基于滑?？刂品椒ㄌ岢鰩в泄魰r間控制的制導(dǎo)律。以上文獻(xiàn)所提出的協(xié)同制導(dǎo)方法針對的都是靜止的目標(biāo)，而且需要人為地事先指定攻擊時間，還有在制導(dǎo)過程中各導(dǎo)彈之間沒有動態(tài)的信息交互，不能實(shí)現(xiàn)真正意義上的導(dǎo)彈協(xié)同。

為了實(shí)現(xiàn)真正意義上導(dǎo)彈協(xié)同，文獻(xiàn)[6]基于分布式協(xié)同制導(dǎo)方法，分別設(shè)計了分散化協(xié)同制導(dǎo)律和分布式自適應(yīng)協(xié)同制導(dǎo)律，實(shí)現(xiàn)多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊。文獻(xiàn)[7]研究了固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)鋬煞N情況下同時存在通信時延和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定的多導(dǎo)彈協(xié)同齊射攻擊問題。文獻(xiàn)[8]研究了切換拓?fù)湎麓嬖谕ㄐ艜r延的基于領(lǐng)彈-從彈的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)的一致性問題。以上多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊的目標(biāo)也都是靜止的。針對多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊機(jī)動目標(biāo)的研究還比較少[9-12]，文獻(xiàn)[9-10]在各導(dǎo)彈之間不存在信息交互下的情況下設(shè)計的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律，文獻(xiàn)[11-12]研究了在以通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式來表示導(dǎo)彈之間的信息交互下，提出攻擊機(jī)動目標(biāo)的協(xié)同制導(dǎo)律。

目前，國內(nèi)外學(xué)者針對多導(dǎo)彈存在信息交互并協(xié)同攻擊機(jī)動目標(biāo)的問題研究還非常有限，尤其是帶有攻擊角約束[13]的多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊機(jī)動目標(biāo)問題。在多導(dǎo)彈同時攻擊目標(biāo)時以不同或相同的攻擊角擊中目標(biāo)，不僅能夠提高導(dǎo)彈的突防能力，而且還有進(jìn)一步提高導(dǎo)彈的殺傷力和全方位的攻擊能力。所以，本文基于有限時間一致性理論和滑?？刂评碚?，提出了帶有攻擊角約束的多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊機(jī)動目標(biāo)的協(xié)同制導(dǎo)律，同時滿足各導(dǎo)彈之間具有動態(tài)的信息交互和各導(dǎo)彈以所期望的攻擊角同時擊中目標(biāo)?；趨f(xié)同制導(dǎo)模型，文中設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律分為兩個部分：一是基于非齊次干擾觀測器和滑?？刂圃O(shè)計視線法向上的加速度指令來保證每枚導(dǎo)彈與目標(biāo)間的視線角速率收斂到零，即每枚導(dǎo)彈成功攔截，并且滿足指定的攻擊角約束；二是運(yùn)用有限時間一致性理論設(shè)計沿著視線方向上的加速度指令來保證所有導(dǎo)彈同時擊中機(jī)動目標(biāo)。最后進(jìn)行仿真驗(yàn)證協(xié)同制導(dǎo)律的有效性。

1 協(xié)同攔截的問題描述

針對平面攔截問題，導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動幾何關(guān)系如圖1所示，其中M和T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的質(zhì)心，r代表導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的相對距離，q代表視線角， φm、 φt分別代表導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度方向角，Vm、Vt分別代表導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度。由圖1可導(dǎo)出導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動方程[14]為

圖1 單枚導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動關(guān)系Fig.1 Relative motion of a single missile and the target

對式(1)和(2)分別對時間求導(dǎo)，得到：

式中：ur和wr分別是導(dǎo)彈加速度和目標(biāo)加速度在視線方向上的分量；uq和wq分別是導(dǎo)彈加速度和目標(biāo)加速度在視線法向上的分量。在末制導(dǎo)過程中，目標(biāo)主要在視線法向上進(jìn)行機(jī)動，因此，可以假設(shè)目標(biāo)加速度在視線方向的分量為零，即wr=0。

其中，qd是期望的終端視線角，可獲得：

圖 2給出了多枚導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動幾何關(guān)系，每枚導(dǎo)彈的初始條件可以不同。帶有角度約束的協(xié)同攔截目地是針對每枚導(dǎo)彈設(shè)計制導(dǎo)律，使得所有的導(dǎo)彈在分布式的通信拓?fù)湎峦瑫r擊中機(jī)動的目標(biāo)，并且視線角達(dá)到期望的終端視線角。正如圖 2所示的，每枚導(dǎo)彈的狀態(tài)用對應(yīng)下標(biāo)i(i=1,2,…,n)表示，第i枚導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動方程表示為

基于以上分析，由式(6)可知，在多導(dǎo)彈攻擊單一目標(biāo)的協(xié)同制導(dǎo)問題中，協(xié)同制導(dǎo)律的設(shè)計過程可以分成兩部分：通過設(shè)計視線法向上的加速度指令uqi使彈目相對距離收斂，即使得每枚導(dǎo)彈的視線角收斂到期望的終端視線角和視線角速率收斂到零；通過設(shè)計視線方向上的加速度指令uri，使得多枚導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對距離在有限時間內(nèi)到達(dá)一致，即ri→rj，進(jìn)而保證多導(dǎo)彈同時擊中目標(biāo)。

圖2 多枚導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動關(guān)系Fig.2 Relative motion of the missiles and the target

注 1 傳統(tǒng)的末制導(dǎo)律設(shè)計只是通過設(shè)計視線法向的加速度指令保證視線角速率收斂到零。這是因?yàn)閷?dǎo)彈目標(biāo)相對速度的變化率是很小的，并且初始的相對速度比零小很多，沿著視線方向的加速度指令通常被設(shè)定為零。但是，為了使得導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對距離在有限時間內(nèi)到達(dá)一致，來達(dá)到同時攻擊目標(biāo)的目的，視線方向的加速度指令應(yīng)該被設(shè)計。

注 2 設(shè)計視線方向上的加速度指令需要考慮有限時間一致性，而不是漸進(jìn)一致性，這是因?yàn)槊棵秾?dǎo)彈相對于目標(biāo)的相對距離應(yīng)該在導(dǎo)彈目標(biāo)碰撞時間前達(dá)到一致。

2 協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 視線方向上的加速度指令設(shè)計

在本小節(jié)中，基于二階多智能體系統(tǒng)有限時間一致性原理設(shè)計了視線方向上的加速度指令，來保證所有的導(dǎo)彈同時擊中機(jī)動目標(biāo)。

在多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)中，導(dǎo)彈通過信息交互獲得其它導(dǎo)彈的狀態(tài)信息以完成多導(dǎo)彈協(xié)同一致性問題，這種信息交互可以通過圖論來描述。下面簡單介紹一下圖論的基礎(chǔ)知識。

在本文中，用無向圖G=(v,ζ,C)來代表多導(dǎo)彈之間的通訊拓?fù)潢P(guān)系，其中v描述圖中節(jié)點(diǎn)組成的集合，ζ代表節(jié)點(diǎn)之間的連線，矩陣C=[cij]∈Rn×n代表權(quán)系數(shù)矩陣，節(jié)點(diǎn)vi代表第i枚導(dǎo)彈。圖G中的任意邊可以描述為(vi,vj)，其中(vi,vj)代表無序節(jié)點(diǎn)對，若第i枚導(dǎo)彈和第 j枚導(dǎo)彈之間能夠進(jìn)行信息交換，則，否則cij=0，特別的cii=0, i∈{1,2,…,n}，由于G是無向圖，有cij=cji。若節(jié)點(diǎn)vi和節(jié)點(diǎn)vj之間存在一條通道，則通路上連續(xù)的節(jié)點(diǎn)都是相鄰的。如果無向圖中任意兩個節(jié)點(diǎn)間都存在至少一條通路，則整個圖是連通的。

在設(shè)計視線方向上的加速度指令之前，先給出了一個關(guān)于二階多智能體系統(tǒng)有限時間一致性收斂的引理?？紤]如下二階多智能體系統(tǒng)：

式中，xi表示位移，vi表示速度，ui表示控制輸入，初始條件為xi(0)=xi0，vi(0)=vi0。

引理 1[15]考慮具有n個個體的多智能體系統(tǒng)(7)，在其通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖G無向且連通時，設(shè)計有如下控制輸入：

上述引理給出了二階多智能體系統(tǒng)有限時間一致性收斂的充分條件?；谏鲜鲆?，針對式(6)中前兩個方程描述的子系統(tǒng)：

通過設(shè)計uri來控制所有的導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對距離在有限時間內(nèi)到達(dá)一致，即 ri→rj，以實(shí)現(xiàn)多導(dǎo)彈同時攔截。下面以定理的形式給出視線方向上的制導(dǎo)律設(shè)計。

定理 1 針對系統(tǒng)(9)，在其通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖G無向且連通時，那么視線方向上的加速度指令uri設(shè)計為

證明：定理1的證明很容易由引理1得到。

2.2 視線法向上的加速度指令設(shè)計

在本小節(jié)中，基于滑?？刂坪头驱R次干擾觀測器來設(shè)計視線法向上的加速度指令，使每枚導(dǎo)彈的視線角收斂到期望的終端視線角和視線角速率收斂到零，既保證每枚導(dǎo)彈能夠以期望的視線角成功攔截目標(biāo)。

考慮式(6)中后兩個方程描述的子系統(tǒng)如下：

針對式(11)所示的帶有角度約束的制導(dǎo)系統(tǒng)，通過對每枚導(dǎo)彈的視線法向上的加速度指令uqi進(jìn)行設(shè)計來保證每枚導(dǎo)彈與目標(biāo)間的視線角速率收斂到零和視線角收斂到期望的終端視線角。

注 1[16]在制導(dǎo)過程中，彈目相對距離 r滿足

iri0≤ri≤ri(0)，其中ri0是導(dǎo)引頭存在的最小作用距離，ri(0)代表彈目相對距離的初始值。

在實(shí)際的制導(dǎo)過程中，如果目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動，其機(jī)動加速度是個很難獲得量，把它視為系統(tǒng)的外界干擾，但在制導(dǎo)過程中是有界量。于是有下面的假設(shè)：

為了消除帶有角度約束的制導(dǎo)子系統(tǒng)(11)中由于目標(biāo)機(jī)動帶來的外界總干擾di(t)，利用文獻(xiàn)[17]提出的有限時間收斂的非齊次干擾觀測器來估計系統(tǒng)(11)式中的外界總干擾。針對制導(dǎo)子系統(tǒng)(11)，通過設(shè)計以下形式的非齊次干擾觀測器(12)來估計外界總干擾。

對于帶有角度約束的制導(dǎo)子系統(tǒng)(11)，在外界干擾存在的情況下，設(shè)計視線法向上加速度指令uqi使得視線角速率漸進(jìn)收斂到零和終端視線角漸進(jìn)收斂到期望的攻擊角。同一般的滑?？刂品椒ㄔO(shè)計相似，首先是設(shè)計滑模面，來獲得所期望的控制效果。則選取如下線性滑模面：

式中，ki＞0為設(shè)計常數(shù)。

為了讓制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)快速地從初始狀態(tài)收斂到滑模面(13)，選取以下的快速冪次趨近律：

式中，k1i,k2i＞0，0＜ρi＜1。

在描述定理之前，先給出如下的引理。

引理2[18]假設(shè)存在連續(xù)、正定函數(shù)V(t)滿足如下的微分不等式：

式中，α,β＞0，0＜γ＜1均為常數(shù)，那么系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。到達(dá)平衡點(diǎn)的時間tf滿足下面不等式：

下面給出視線法向上的制導(dǎo)律設(shè)計。

定理2 針對帶有角度約束的制導(dǎo)子系統(tǒng)(11)，如果滑模面設(shè)計為式(13)，趨近律選為式(14)，以及利用非齊次干擾觀測器(12)式對子系統(tǒng)(11)中外界總干擾進(jìn)行估計，在以下設(shè)計的視線法向上的加速度指令(17)的作用下，滑模面在有限時間內(nèi)收斂到零。進(jìn)而可得視線角速率指數(shù)收斂到零，視線角qi指數(shù)收斂到期望的終端視線角qdi，即實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈以期望的攻擊角精確命中目標(biāo)。

證明：選取如下Lyapunov 函數(shù)

對Vi求導(dǎo)，并將式(11)(13)(17)代入其中，可得：

由引理2可得，滑模面si在有限時間內(nèi)收斂到零。

在滑模面si=0上，，即解得，從而即視線角qi(t)指數(shù)收斂到期望的終端視線角qdi，且

即視線角速率也指數(shù)收斂到零，證畢。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所提出的帶有角度約束的協(xié)同制導(dǎo)律(10)和(17)的有效性，下面考慮三枚導(dǎo)彈同時攻擊一個機(jī)動目標(biāo)的情形，進(jìn)行仿真驗(yàn)證。目標(biāo)的初始位置為(0m,0m)，速度為1700 m/s，初始航向角0°，目標(biāo)加速度為2

30cos(t)m/s。三枚導(dǎo)彈的初始條件如表 1所示，各導(dǎo)彈可用過載為30g，g=9.8 m/s2。仿真步長取0.001 s。

三枚導(dǎo)彈之間的通信網(wǎng)絡(luò)如圖 3所示，該通信網(wǎng)絡(luò)是連通的，且對應(yīng)的權(quán)系數(shù)矩陣可以描述為

圖3 三枚導(dǎo)彈之間的通信拓?fù)銯ig.3 Communication topology among three missiles

非齊次干擾觀測器(12)的參數(shù)取為： λ0i=1.1，λ1i=1.5，λ2i=2，μ0i=3，μ1i=6，μ2i=8， Li=100，其中，i=1,2,3。

沿視線方向的加速度指令(10)的參數(shù)選取如下：函數(shù)φk取為φk(x)=x，(k =1,2)；γ1=0.6，γ2=3/4。

視線法向上的加速度指令(17)參數(shù)取為：ki=1，k1i=6，k2i=2，ρi=2/3。

表1 導(dǎo)彈的初始條件Tab.1 Initial conditions of the missile

本文所設(shè)計的帶有角度約束的協(xié)同制導(dǎo)律(10)和(17)作用下的仿真結(jié)果如圖4～圖8和表2所示。

表2 脫靶量、制導(dǎo)時間和角度誤差Tab.2 Miss distance, guidance time and angle error

由表2可見，三枚導(dǎo)彈都以較小的脫靶量0.0774 m精確命中目標(biāo)，并且制導(dǎo)時間一致，從而保證了三枚導(dǎo)彈同時擊中目標(biāo)，并且都以期望的末端視線角打擊目標(biāo)，角度誤差不超過0.002°。

從圖4可以看到，在協(xié)同制導(dǎo)律的作用下，各導(dǎo)彈的彈目相對距離由不同的初始值逐漸趨于一致，大約在7 s時達(dá)到一致，并且最后收斂到零，從而使表2中顯示的三枚導(dǎo)彈最終在25.77 s時同時擊中機(jī)動目標(biāo)。

圖4 彈目相對距離Fig.4 Relative distance between missile and target

圖5顯示了3枚導(dǎo)彈視線方向的加速度指令曲線，由圖可見，三枚導(dǎo)彈的加速度曲線在初始階段有彎曲，這是為了調(diào)整 3枚導(dǎo)彈的彈目相對距離快速趨于一致，實(shí)現(xiàn)對機(jī)動目標(biāo)的快速協(xié)同攻擊，當(dāng)彈目相對距離趨于一致后，過載曲線很快趨于一致并收斂到零。

圖5 視線方向加速度指令Fig.5 Acceleration commands in line-of-sight direction

圖6為導(dǎo)彈的視線法向上的加速度指令曲線，為了能夠使視線角速率收斂到零，制導(dǎo)初期加速度值比較大，但隨著視線角速率收斂到零加速度變的平緩并趨于零附近。

圖6 視線法向加速度指令Fig.6 Acceleration commands in line-of-sight’s normal direction

由圖7可見，相應(yīng)的視線角速率曲線也較彎曲，但隨著彈目距離的接近，視線角速率曲線快速變小趨于零，這保證了導(dǎo)彈能精確命中目標(biāo)。

圖8為三枚導(dǎo)彈相應(yīng)的視線角曲線，可見都收斂到相應(yīng)的期望值。

從圖4～圖8和表2可以看出，本文所提出的帶有攻擊角約束的協(xié)同制導(dǎo)律能夠產(chǎn)生非常好的制導(dǎo)性能，而且應(yīng)該指出設(shè)計視線方向上加速度指令來實(shí)施協(xié)同攻擊是很有必要的。

圖7 視線角速率Fig.7 Line-of-sight angle rate

圖8 視線角Fig.8 Line-of-sight angle

4 結(jié) 論

本文針對多導(dǎo)彈同時攻擊同一機(jī)動目標(biāo)，并且以一定的期望攻擊角擊中目標(biāo)問題進(jìn)行了研究，基于帶有角度約束的協(xié)同制導(dǎo)模型，設(shè)計了一種帶有角度約束的協(xié)同制導(dǎo)律。協(xié)同制導(dǎo)律的設(shè)計過程分為兩方面分別設(shè)計：一是運(yùn)用有限時間一致性理論設(shè)計了沿著視線方向上的加速度指令來保證所有的導(dǎo)彈同時擊中機(jī)動目標(biāo)；二是利用非齊次干擾觀測器和滑模控制理論設(shè)計視線法向上的加速度指令來保證每枚導(dǎo)彈都能以期望的攻擊角成功擊中目標(biāo)。針對三枚導(dǎo)彈同時打擊同一目標(biāo)機(jī)動目標(biāo)情況，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計的帶有角度約束的協(xié)同制導(dǎo)律的有效性。

（References）：

[1] Jeon I S, Lee J I, Tahk M J. Impact-time-control guidance law for anti-ship missiles[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2006, 14(2): 260-266.

[2] Zhao S Y, Zhou R, Wei C, et al. Design of timeconstrained guidance laws via virtual leader approach[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2010, 23(1): 103-108.

[3] Wang X F, Zheng Y Y, Lin H. Integrated guidance and control law for cooperative attack of multiple missiles[J]. Aerospace Science and Technology, 2015, 42: 1-11.

[4] Kumar S R, Ghose D. Sliding mode control based guidance law with impact time constraints[C]//American Control Conference. 2013: 5760-5765.

[5] Cho D, Kim H J, Tahk M J. Nonsingular sliding mode guidance for impact time control[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2016, 39(1): 61-68.

[6] 鄒麗, 孔繁峨，周銳. 多導(dǎo)彈分布式自適應(yīng)協(xié)同制導(dǎo)方法[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2012, 38(1): 128-132. Zou Li, Kong Fan-e, Zhou Rui. Distributed adaptive cooperative guidance for multi-missile salvo-attack[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2012, 38(1): 128-132.

[7] 王青, 后德龍, 李君, 等. 存在時延和拓?fù)洳淮_定的多彈分散化協(xié)同制導(dǎo)時間一致性分析[J]. 兵工學(xué)報，2014, 35(7): 982-989. Wang Qing, Hou De-long, Li Jun, et al. Consensus analysis of multi-missile decentralized cooperative guidance time with time-delays and topologies uncertainty[J]. Acta Armamentarll, 2014, 35(7): 982-989.

[8] Sun X J, Zhou R, Hou D L, et al. Consensus of leaderfollowers system of multi-missile with time-delays and switching topologies[J]. Optik, 2014, 125: 1202-1206.

[9] 周銳, 孫雪嬌, 吳江, 等. 多導(dǎo)彈分布式協(xié)同制導(dǎo)與反步滑?？刂品椒╗J]. 控制與決策, 2014, 29(9): 1617-1622. Zhou Rui, Sun Xue-jiao, Wu Jiang, et al. Multi-missile distributed cooperative guidance integrating backstepping sliding mode control[J]. Control and Decision, 2014, 29(9): 1617-1622.

[10] Guo C, Liang X G. Cooperative guidance law for multiple near space interceptors with impact time control [J]. International Journal of Aeronautical and Space Sciences, 2014, 15(3): 281-292.

[11] Zhang P, Liu H T, Li X B. Fault tolerance of cooperative interception using multiple flight vehicles[J]. Journal of the Franklin Institute, 2013, 350(9): 2373-2395.

[12] Shaferman V, Shima T. Cooperative optimal guidance laws for imposing a relative intercept angle[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2015, 38(8): 1395-1408.

[13] 周慧波, 宋申民, 劉海坤. 具有攻擊角約束的非奇異終端滑模導(dǎo)引律設(shè)計[J]. 中國慣性技術(shù)學(xué)報, 2014, 22(5): 606-618. Zhou Hui-bo, Song Shen-min, Liu Hai-kun. Nonsingular terminal sliding mode guidance law with impact angle constraint[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2014, 22(5): 606-611.

[14] 宋俊紅, 宋申民. 考慮輸入受限和自動駕駛儀延遲的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律[J]. 中國慣性技術(shù)學(xué)報, 2015, 23(3): 339-344. Song Jun-hong, Song Shen-min. Adaptive sliding mode guidance law with input constraints and autopilot lag[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2015, 23(3): 339-344.

[15] Wang X, Hong Y. Finite-time consensus for multi-agent networks with second-order agent dynamics[C]//Proceedings of the IFAC World Congress, 2008: 15185-15190.

[16] He S M, Lin D F, Wang J. Robust terminal angle constraint guidance law with autopilot lag for intercepting maneuvering targets[J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 81: 881-892.

[17] Li P, Peng X F, Ma J J, et al. Non-homogeneous disturbance observer-based second order sliding mode control for a tailless aircraft[C]//Proceedings of Chinese Automation Congress. 2013: 120-125.

[18] Song J H, Song S M. Three-dimensional guidance law based on adaptive integral sliding mode control[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2016, 29(1): 202-214.

Cooperative guidance law for multiple missiles with impact angle constraints

SONG Jun-hong1, SONG Shen-min1, XU Sheng-li2
(1. Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Institute of Shanghai Academy of Spaceflight Technology, Shanghai Electro-mechanical Engineering Institute, Shanghai 201109, China)

To solve the problem in multiple missiles attacking a maneuvering target simultaneously, a novel cooperative guidance law with impact angle constraints is proposed. At first, based on missile-target relative motion equation in plane, the cooperative guidance model with impact angle constraints is constructed. Then, the process of cooperative guidance law design is divided into two parts. In the first part, with the use of the graph and finite-time consensus theory, the acceleration command on the LOS direction is developed to guarantee that all relative distances from the missile to the target reach the agreement in finite time, and all missiles reach the maneuvering target simultaneously. In the second part, based on the sliding mode control and the non-homogeneous disturbance observer employed to estimate the acceleration of the maneuvering target, the acceleration command along the normal direction of the line-of-sight (LOS) is designed to guarantee that the LOS angular rate between each missile and the target converges to zero and the LOS angle converges to the desired terminal LOS angle. Thus every missile can successfully hit the target with the desired terminal LOS angle. Finally, simulation results for the interception scenario of three missiles intercepting a maneuvering target are provided, which demonstrate the effectiveness and superiority of the proposed cooperative guidance law with impact angle constraints.

cooperative guidance law; impact angle constraints; non-homogeneous disturbance observer; sliding mode control; communication topology; finite-time consensus

V448.133

：A

2016-04-12；

：2016-07-27

航空科學(xué)基金（20140177002）；上海航天科技創(chuàng)新基金（SAST201402）；國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新群體項(xiàng)目（61021002）

宋俊紅（1987—），女，博士研究生。E-mail: hitsjh@163.com

聯(lián) 系 人：宋申民（1968—），男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析、魯棒控制、導(dǎo)彈制導(dǎo)與飛行器控制。E-mail: songshenmin@hit.edu.cn

1005-6734(2016)04-0554-07

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.04.023