圓錐曲線的一組性質(zhì)

■陜西省柞水中學(xué)黨顯武

圓錐曲線的一組性質(zhì)

■陜西省柞水中學(xué)黨顯武

圓錐曲線問題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，每年的高考都會(huì)涉及，然而由于出題形式多有變化，加之其系統(tǒng)性和綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)，很多學(xué)生會(huì)在此失分.因此教師應(yīng)特別注意圓錐曲線問題的教學(xué).在教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，圓錐曲線有如下幾條相互聯(lián)系的性質(zhì)，在此進(jìn)行歸納總結(jié)、分析論證，愿與大家共享.

性質(zhì)1：在圓錐曲線C中，點(diǎn)F與直線l是曲線C相應(yīng)的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，點(diǎn)M是準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn).過點(diǎn)M作曲線C的兩條切線MA、MB，切點(diǎn)分別為A、B；直線MA、MB、MF的斜率分別為k1、k2、k0.

則：k1+k2=2k0.

以橢圓為例證明.

消去y得：

因?yàn)橹本€MA、MB與曲線C相切，所以在方程①中，Δ=0.即

從而，k1，k2是方程②的兩根.

所以k1+k2=2k0.

三點(diǎn)A、F、B不共線.若考慮三點(diǎn)A、F、B共線，即直線AB過曲線C的焦點(diǎn)F時(shí)，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)圓錐曲線具有另一個(gè)相類似的性質(zhì).

性質(zhì)2：圓錐曲線C中，點(diǎn)F與直線l是曲線C相應(yīng)的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，點(diǎn)M是準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn).過焦點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn).直線MA、MB、MF的斜率分別為k1、k2、k0.則：k1+k2=2k0.

以拋物線為例證明.

證明：設(shè)拋物線C:y2=2px（p＞0）

由題意可知，過焦點(diǎn)F的直線AB的斜率不為0.

，消去x，得到y(tǒng)2-2pky-p2=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2是方程的兩個(gè)根，

從而，Δ=4p2k2+4p2＞0，

所以：y1+y2=2pk，y1·y2=-p2.

所以k1+k2=2k0.

進(jìn)一步考慮點(diǎn)M的位置對(duì)∠AMF與∠BMF大小關(guān)系的影響，再得到圓錐曲線的一個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)3：圓錐曲線C中，點(diǎn)F與直線l是曲線C相應(yīng)的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，點(diǎn)M是準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn).過焦點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)M是曲線C的準(zhǔn)線l與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，則直線MF平分∠AMB；

（2）若直線MF平分∠AMB，則點(diǎn)M是曲線C的準(zhǔn)線l與對(duì)稱軸的交點(diǎn).以雙曲線為例證明.

由性質(zhì)2得，k1+k2=2k0，

所以k1+k2=0.

所以：直線MA、MB關(guān)于x軸對(duì)稱.

所以∠AMF=∠BMF，即直線MF平分∠AMB.

（2）若直線MF平分∠AMB，即∠AMF=∠BMF，

則tan∠AMF=tan∠BMF.

根據(jù)直線l1到l2的角的計(jì)算公式，得

化簡(jiǎn)，得k02（k1+k2）+2k0-2k0k1k2-（k1+k2）=0.

由性質(zhì)2知，k1+k2=2k0，代入、化簡(jiǎn)，得：

因?yàn)閗1≠k2（否則直線MA、MB重合），

所以k0=0.

所以y0=0.因此

則點(diǎn)M是曲線C的準(zhǔn)線l與對(duì)稱軸的交點(diǎn).

總之，由于圓錐曲線問題的教學(xué)難度比較大，教師在平時(shí)的教學(xué)中，要注意把握住重點(diǎn)，循序漸進(jìn)地進(jìn)行滲透，切不可急于求成，造成知識(shí)“擁堵”的現(xiàn)象.對(duì)于學(xué)生提出的問題，教師在進(jìn)行耐心解答的同時(shí)，還要讓學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理和總結(jié)，這樣才能融會(huì)貫通，從而提高教學(xué)效率.

編輯/王一鳴

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