橫看成嶺側(cè)成峰——對一競賽試題多種解法的賞析

黃國超

(諸暨市草塔中學(xué)　浙江 紹興　311812)

?

橫看成嶺側(cè)成峰——對一競賽試題多種解法的賞析

黃國超

(諸暨市草塔中學(xué)浙江 紹興311812)

摘 要：本文以一道運(yùn)動學(xué)題為例,談?wù)劇耙活}多解”在物理教學(xué)中的應(yīng)用,通過一題多解的教學(xué)設(shè)計(jì)激發(fā)學(xué)生興趣,開拓學(xué)生思路,培養(yǎng)邏輯推理能力和想象力,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.并結(jié)合例題探討了在一題多解教學(xué)中應(yīng)該遵循的一些原則.

關(guān)鍵詞：一題多解物理教學(xué)

一題多解對于培養(yǎng)學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面去分析問題、解決問題很有益處，它有利于調(diào)動學(xué)生思維的積極性，鍛煉學(xué)生思維的靈活性，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性．但一題多解的最終目的不是用來展示本題有多少種解決問題的途徑，也不是所有的題目都需要用多種方法去解決，而是要靈活運(yùn)用解題方法，尋找一種最佳、最近的途徑，也就是說，掌握“一題多解”的最終目的是為了“拓展思維空間，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣”．

【題目】如圖1，海島城市A離海岸120km，海濱城市B離C點(diǎn)160km，已知路上汽車速度是海上輪船速度的2倍，要使A和B兩城市之間運(yùn)輸時(shí)間最少，轉(zhuǎn)換碼頭D建在何處最佳？

圖1

解析：該題的關(guān)鍵是尋找一條用時(shí)最短的路徑，我們可以用幾何方法來確定運(yùn)輸?shù)目赡苈窂剑?/p>

第一條路徑：碼頭建在B城市，直接入水以v2速度在海上運(yùn)輸．此路程最短，但海上運(yùn)輸速度較岸上小．

第二條路徑：碼頭建在C點(diǎn)，先沿岸以速度v1到C點(diǎn)，再垂直岸路線到A城市，此路徑利用了岸上速度較大，但路程最長．

第三條路徑：碼頭建在BC之間某點(diǎn)D，先沿岸到D，再沿與岸成θ角的路線到達(dá)A城市．

上述哪條路徑用時(shí)最短呢？我們不防先通過比較來說說哪種路徑用時(shí)會比較短．

如圖2所示，一條路徑BB′A，點(diǎn)B′是靠近B左面的一點(diǎn)，所以Δθ很小，與岸的夾角為θ+Δθ，設(shè)所需時(shí)間t1．另一條路徑BA，設(shè)與岸成θ角，所需時(shí)間t2．

圖2

過B′作輔助線B′N，使AN=AB′，由于Δθ很小，可近似認(rèn)為B′N⊥AB，則BN=BB′cosθ，那么兩路徑所需時(shí)間差即為分別通過BN與BB′所用時(shí)間的差值

現(xiàn)在的問題就在于具體的B′在哪里？與岸邊線的夾角多大？下面我們就介紹幾種求解方法來分析這一問題．

解法1：圖像解析法

如圖3所示，設(shè)運(yùn)動總時(shí)間為Δt，在岸上運(yùn)動時(shí)間為Δt1，在海中運(yùn)動時(shí)間為Δt2．若直接在B點(diǎn)下水，則Δt=Δt2，能到達(dá)的最前方位置將是以B為圓心，v2Δt為半徑的一個(gè)圓周位置；若將所有時(shí)間都用在了岸上，則在海上已無時(shí)間再前進(jìn)，能到達(dá)的最前方是以B為圓心，v1Δt為半徑的圓周位置，岸邊即圖中的B1位置．若在岸邊的其他任意一點(diǎn)D下水，能到達(dá)的最前方位置是以D為圓心，v2Δt2為半徑的圓周．若下水點(diǎn)從B到B1，由于總時(shí)間確定，則岸上運(yùn)動時(shí)間將線性增加，而海中運(yùn)動時(shí)間將線性減小，所以水中前進(jìn)的半徑變化是線性的，這樣的許許多多的圓組成的最前方的界線為一直線，即圖中的NN′為入水后的與前進(jìn)范圍圓相切的直線(實(shí)為無數(shù)個(gè)圓弧的包絡(luò)線)．要想到達(dá)最前面的邊界線的時(shí)間最短，海中運(yùn)動方向DA必須垂直包絡(luò)線(如圖3)，此時(shí)，運(yùn)動方向與岸邊直線的夾角即為本題前面所要尋找的θ角．

圖3

已知條件v1=2v2，結(jié)合圖像可求得θ=60°

點(diǎn)評：這種解法新穎、直觀、簡便，構(gòu)思巧妙；但由于技巧性較強(qiáng)，一般學(xué)生較難想到．

解法2：微元極值法

從B點(diǎn)出發(fā)，先沿岸運(yùn)動到D，再下水到達(dá)A城市，設(shè)∠CDA=θ時(shí)的路徑所需時(shí)間為最短，這種方法中只要時(shí)間取極小值即可．如圖4所示.

圖4

若有一條路徑在D點(diǎn)前方很短距離的H點(diǎn)下水，這條路徑與D下水相比，只是在岸上多運(yùn)動了DH距離，而在海上少運(yùn)動DI距離(作輔助線HI，取AH=AI，因?yàn)镈H取非常小，可近似認(rèn)為HI⊥DI，DI=DHcosθ)．

設(shè)DH距離用時(shí)Δt1，DI距離需時(shí)間Δt2，則

DH=v1Δt1DI=v2Δt2

兩路徑的時(shí)間差

而另一條路徑是在D點(diǎn)后方很短距離的K點(diǎn)下水，這一路徑將在岸上少運(yùn)動DK距離，但在海中多運(yùn)動了KM距離．(與前面一樣，這里可近似認(rèn)為KM=JD=DKcosθ)

所以兩路徑的時(shí)間差

點(diǎn)評：微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法．用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化．在使用微元法處理問題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個(gè)“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問題求解．使用此方法會加強(qiáng)我們對已知規(guī)律的再思考，從而引起鞏固知識、加深認(rèn)識和提高能力的作用．

解法3：函數(shù)解析法

如圖5所示 ，設(shè)碼頭建在D點(diǎn)，AD與岸的夾角為θ，所需時(shí)間為t，可列式得

圖5

有數(shù)學(xué)萬能公式可得

代入上式，可得到當(dāng)θ=60°時(shí)t取最小值．則

所以

點(diǎn)評：解析法是幾何問題的代數(shù)處理．這種方法思路清晰、解法簡捷，利用了數(shù)學(xué)的函數(shù)取極值方法．這里運(yùn)用了三角函數(shù)代換公式，其實(shí)也可利用對函數(shù)求導(dǎo)取極值的方法來求解θ值．

解法4：等效替代法

如圖6所示 ，先從B城市出發(fā)沿岸到D點(diǎn)用時(shí)Δt1，再下水到A城市用時(shí)Δt2．則有

BD=v1Δt1DA=v2Δt2

圖6

點(diǎn)評：掌握等效替代法及應(yīng)用，體會物理等效思想的內(nèi)涵，有助于提高考生的科學(xué)素養(yǎng)，初步形成科學(xué)的世界觀和方法論，為終身的學(xué)習(xí)、研究和發(fā)展奠定基礎(chǔ)．新高考的選拔愈來愈注重考生的能力和素質(zhì)，其命題愈加明顯地滲透著物理思想、物理方法的考查，等效思想和方法作為一種迅速解決物理問題的有效手段．

解法5：費(fèi)馬原理法

把CB設(shè)想為空氣和水的分界面，光在空氣中的速度為v1，在水中的速度為v2，則當(dāng)A發(fā)出的光以θ人射到界面上，根據(jù)費(fèi)馬原理可知A→D→B是光線由A傳到B的費(fèi)時(shí)最小的路徑，即光從A傳到D后，在界面上發(fā)生折射，折射光線為DB時(shí)所用時(shí)間為最短，所以滿足

可見，要使A，B兩城市之間運(yùn)輸時(shí)間最少，轉(zhuǎn)換碼頭D與海島城市A的連線與海岸的夾角θ為60°，則

所以

點(diǎn)評：直接利用原理，最易被學(xué)生所接受．

一題多解是以培養(yǎng)學(xué)生多解意識，拓展學(xué)生解題思路，激發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維，誘導(dǎo)學(xué)生積極開展思維為主要目的．不同層次的學(xué)生可以選擇不同的方法去思考．

(收稿日期：2015-10-22)