時滯位置反饋對一類靜電微傳感器的吸合不穩(wěn)定的控制研究

尚慧琳， 宋書峰， 文永蓬

(1.上海應用技術大學 機械工程學院，上海　201418；2.上海工程技術大學 軌道交通學院，上?！?01620)

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時滯位置反饋對一類靜電微傳感器的吸合不穩(wěn)定的控制研究

尚慧琳1， 宋書峰1， 文永蓬2

(1.上海應用技術大學 機械工程學院，上海201418；2.上海工程技術大學 軌道交通學院，上海201620)

摘要：針對微結(jié)構在靜電力作用下的吸合不穩(wěn)定問題，考慮一類典型的單自由度靜電驅(qū)動微傳感器振動系統(tǒng)，將時滯位置反饋施加在系統(tǒng)的直流偏置電壓上，研究引起微結(jié)構的動態(tài)吸合和吸合不穩(wěn)定的系統(tǒng)參數(shù)條件，以及時滯反饋對吸合不穩(wěn)定的抑制機理。運用Melnikov函數(shù)法得到時滯受控系統(tǒng)中引起結(jié)構吸合不穩(wěn)定的交流電壓的臨界幅值。并基于時滯受控系統(tǒng)的安全域隨控制參數(shù)的演變，定量上研究時滯反饋對吸合不穩(wěn)定的控制。數(shù)值結(jié)果和理論分析均表明：在正的反饋增益系數(shù)和較小的時滯量下，時滯位置反饋能夠有效地抑制靜電驅(qū)動微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象。

關鍵詞：安全域；時滯；吸合不穩(wěn)定；微機電系統(tǒng)；分形

靜電驅(qū)動是微機電系統(tǒng)中最常見的驅(qū)動方式[1]。靜電力作用下微結(jié)構常出現(xiàn)靜電吸合現(xiàn)象和吸合不穩(wěn)定問題，這引起了微電子學、空氣動力學、摩擦學和振動學等多學科領域的廣泛關注[2-4]。其中，微結(jié)構的靜電吸合在靜電驅(qū)動微器件的設計中尤為重要，如在設計微開關時往往要利用微結(jié)構的靜電吸合來實現(xiàn)微開關的閉合[2-3]，而在設計微傳感器時則需要避免發(fā)生微結(jié)構的靜電吸合，以免導致其功能失效[5]。微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定是指不改變微器件的設計參數(shù)，僅僅只有初始條件的微小擾動就導致微結(jié)構從原本的不吸合狀態(tài)變?yōu)槲系默F(xiàn)象。這種不同于混沌的初始條件敏感性問題會降低微器件的安全性和可靠性，因此成為微器件的設計中所要避免的現(xiàn)象。

目前對微結(jié)構的吸合現(xiàn)象的力學研究大多是在半靜態(tài)前提下進行的，即將微結(jié)構間的吸合歸因于其靜態(tài)平衡條件的破壞[3]或者靜態(tài)加載下的微結(jié)構撓度過大[6-7]，通過平衡條件或靜態(tài)撓度微分方程計算出的吸合電壓專指直流驅(qū)動電壓的吸合臨界幅值。然而，實驗研究發(fā)現(xiàn)[8]，在交流電壓和直流偏置電壓共同驅(qū)動下，微結(jié)構可以在比靜態(tài)吸合電壓低得多的直流電壓幅值下發(fā)生吸合。這種驅(qū)動電壓的動態(tài)載荷引起的吸合被稱為動態(tài)吸合。從動力學的角度看，動態(tài)吸合屬于非線性系統(tǒng)中的廣義不穩(wěn)定，即振動超過一定幅度產(chǎn)生的逃逸(escape)；微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定則可以理解為其振動系統(tǒng)的安全域侵蝕問題[5,8]，屬于全局動力學范疇。其中，安全域被定義為有界解的吸引域的集合；安全域一旦出現(xiàn)分形邊界，則初始狀態(tài)稍有改變就可能引起無界運動使得系統(tǒng)崩潰，這種現(xiàn)象被稱為安全域侵蝕，常用來解釋船舶的傾覆[9]，大型結(jié)構的破壞[10]和電力系統(tǒng)崩潰等問題[11]，并于近年來被推廣應用到對微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定問題的研究中[5,8,12-13]。

為了提高靜電驅(qū)動微器件的性能，對微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定的控制研究正逐漸成為MEMS 領域的熱點問題。然而，對于微器件，很難如同對宏觀設備或器件一樣在結(jié)構上實施振動控制：一方面結(jié)構尺寸的微小造成控制裝置的加載難度，另一方面集中加載也容易引起微結(jié)構的變形。為此，對微結(jié)構無接觸的驅(qū)動電路控制引起了人們的關注。如對于一類單邊電容型微傳感器，Alsaleem等[12-13]和Shao等[14]分別提出在其驅(qū)動直流偏置電壓上施加時滯位移反饋和時滯速度反饋來控制結(jié)構的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象，通過數(shù)值模擬其振動系統(tǒng)的安全域隨控制參數(shù)的演變和實驗驗證了一定初始條件下控制的效果。其中，時滯反饋是非線性動力系統(tǒng)中控制混沌[15-17]和安全域侵蝕[18]等問題的常見方法。目前時滯反饋對靜電微器件振動系統(tǒng)的吸合不穩(wěn)定的控制機理并不明確，因此，針對靜電力作用下微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定問題，本文研究一類典型的靜電驅(qū)動微傳感器，將時滯位置反饋施加在其直流偏置電壓上，通過考察時滯反饋對其振動系統(tǒng)的同宿分岔和安全域侵蝕的抑制作用研究時滯反饋對微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象的控制機理和效果，從而為微傳感器的設計提供一定的理論參考。

1動力學模型

考慮一類典型的靜電驅(qū)動單邊電容式微傳感器，對其施加時滯位置反饋。在直流偏置電壓和交流電壓驅(qū)動下的結(jié)構振動模型可以簡化為一類單自由度彈簧-質(zhì)量-電容-阻尼振動系統(tǒng)[12-14]，其簡化模型如圖1所示，其中時滯位置反饋被施加在直流偏置電壓上[12]。由于微傳感器本身有傳感信號輸出，容易獲取相應的反饋信號，這就為利用時滯反饋對微傳感器振動系統(tǒng)實施控制提供了可行性。在圖1中，根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)的動力學方程可表示為

(1)

式中:z表示微結(jié)構的位移，m表示微結(jié)構的等效質(zhì)量，c，k和FE分別表示系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù)，等效剛度系數(shù)和靜電驅(qū)動力；基于平行板電容理論，在不計平行板電容的邊緣效應的情況下，式(1)中的靜電驅(qū)動力為

(2)

式中:ε0為真空介電常數(shù)，A為平行板電容的極板交疊面積，d為兩極板間的初始距離，Vb和VAC分別表示直流偏置電壓和交流電壓的幅值，且滿足VAC?Vb,Ω為交流電壓的頻率，τ為反饋控制中的時滯量，而G則表示反饋增益系數(shù)，時滯位置反饋作為一個單通道控制方法,其反饋增益系數(shù)和時滯量是兩個獨立的控制參數(shù)。當式(2)中的τ=0或G=0時，有時滯位置反饋控制項G(z(t-τ)-z)=0，時滯受控系統(tǒng)式(1)退化成為無控制的原始的靜電微傳感器振動系統(tǒng)。對式(1)，若存在某一時刻t0，有z(t0)≥d，則圖1中的左側(cè)結(jié)構會吸合到右側(cè)定極板上。

為表述簡單和研究微結(jié)構吸合不穩(wěn)定的控制機制方便，引入如下無量綱參數(shù)

(3)

將式(1)變換為無量綱化系統(tǒng)

(4)

對于式(4)，如果存在T0>0使得x(T0)≥1，則表示圖1中的結(jié)構發(fā)生靜電吸合。

圖1　一類時滯反饋控制下典型靜電驅(qū)動微傳感器振動系統(tǒng)簡化模型Fig.1 Diagram of the delay controlled system of a typical electrostatically actuated sensor

在式(1)中，若阻尼較小，時滯量小且驅(qū)動電壓滿足VAC?Vb，則無量綱化系統(tǒng)式(4)中參數(shù)μ,β和τ均為小參數(shù)，可引入一個小參數(shù)ε重新標度系統(tǒng)參數(shù)

(5)

(6)

2時滯反饋控制機理

2.1無擾動系統(tǒng)分析

無量綱系統(tǒng)式(4)的無擾動方程，即ε=0時的式(6)為哈密頓系統(tǒng)

(7)

根據(jù)式(7)，式(4)的平衡點個數(shù)，有無勢阱，以及勢阱的具體位置和形態(tài)均取決于參數(shù)α。

證明：設

(8)

那么滿足

F(a)=0

(9)

limx→1-F(x)=+∞,F(0)=α>0,

(10)

因此式(9)存在這樣兩個根xc和xs, 滿足

(11)

式(7)的平衡點的特征方程可表示為

(12)

(13)

因此根據(jù)式(12)，式(7)的平衡點(xc,0)有一對純虛特征根，因此為中心；而平衡點(xs,0)則為鞍點。

(14)

(15)

式中

(16)

圖2　系統(tǒng)式(4)的無擾動相平面圖Fig.2 Unperturbed phase portraits of the system (4)

(17)

結(jié)構才可能不發(fā)生吸合，以及存在不吸合的安全域。

2.2時滯位移反饋控制下的吸合不穩(wěn)定臨界條件

在微結(jié)構振動系統(tǒng)中，振幅超過一定限度(如式(4)中x(T)≥1)被統(tǒng)稱為引起結(jié)構吸合的逃逸解。給定系統(tǒng)參數(shù)，如果系統(tǒng)的初始條件處在逃逸解的吸引域內(nèi)，則會導致吸合現(xiàn)象。這里可將不會引起式(4)的動態(tài)吸合的安全域定義為所有滿足x(T)<1的解的吸引域集合。安全域的分形侵蝕意味著式(4)的初始條件的微小變化就可能導致微結(jié)構的吸合。因此，式(4)的安全域侵蝕可以用以表征微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定。本節(jié)討論導致時滯受控系統(tǒng)式(4)的安全域侵蝕的臨界條件，以解釋時滯位置反饋對微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定的控制機理。

由于在非線性系統(tǒng)中安全域的侵蝕通常可歸因于同/異宿軌道的破裂，因此這里可以利用研究全局分岔問題的Melnikov方法來預測安全域侵蝕的臨界條件。對于重新標度過的時滯受控系統(tǒng)式(6)，如果其無擾動系統(tǒng)的同宿軌線能夠表示成時間T的顯函數(shù)，則通?？梢灾苯訉⑼捃壘€表達式代入Melnikov函數(shù)積分，從而得到同宿分岔條件的解析形式，然而由于式(6)的無擾動系統(tǒng)的同宿軌線并不能表示為時間T的顯函數(shù)，因此這里根據(jù)式(16)反過來將時間T表示為x的函數(shù)

(18)

在0<τ<1/ω0的小時滯量下，可將式(6)中的時滯反饋項看成攝動項，對其進行泰勒展開，忽略ε2及其更高階項，則受控系統(tǒng)式(6)成為

(19)

將ε的一次項均看作攝動項，則系統(tǒng)相應的Melnikov函數(shù)可表示為

-μL1-2αγω0τL2-2αβL3sinωT0

(20)

式中

(21)

盡管式(21)中Li(i=1,2,3)均不能將解析形式直接積分出來，卻可以結(jié)合式(15)，式(16)和式(18)在給定系統(tǒng)參數(shù)值的情況下計算得到，因此算是半解析形式，依賴于原系統(tǒng)式(1)的參數(shù)ε0,A,Vb,k,d,m和Ω的取值，而獨立于阻尼系數(shù)c以及控制參數(shù)G和τ的取值。且由式(16)可知，L1和L2均為正數(shù)。因此，當

(22)

Melnikov函數(shù)式(20)存在簡單零點，式(4)出現(xiàn)同宿軌道破裂，這意味著系統(tǒng)安全域侵蝕。將上式用原系統(tǒng)式(1)的參數(shù)來表示，則微結(jié)構吸合不穩(wěn)定的式(1)的參數(shù)條件為

(23)

(24)

由式(23)和(24)可知，交流電壓幅值越高越容易發(fā)生吸合不穩(wěn)定；同時，系統(tǒng)阻尼系數(shù)越大，交流電壓臨界幅值越高，也就越不容易發(fā)生微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象，這與經(jīng)典非線性系統(tǒng)中[11,18]阻尼系數(shù)的增大能夠抑制安全域侵蝕的結(jié)論相一致。而對比式(23)和(24)容易發(fā)現(xiàn)，當G>0時交流電壓臨界幅值會隨著時滯量而增大，即時滯量的增大能夠抑制吸合不穩(wěn)定。給定式(1)的參數(shù)取值見文獻[12]，即

m=2.1×10-4kg,c=0.001 4 N·s/m,

k=320 N/m,ε0=8.85×10-12F/m,

d=38 μm,A=39.6 mm2,

Vb=40.2 V,Ω=189.5 Hz,G=80 Vs/m

(25)

圖3　時滯受控系統(tǒng)式(1)中隨時滯量的變化Fig.3 of the delayed controlled system (1) versus time delay

3數(shù)值算例

圖4　不同VAC取值下時滯受控系統(tǒng)式(4)的安全域隨時滯量的演變Fig.4. Sequences of safe basins of the delayedcontrolled system (4) with variation of the delay under different values of VAC

為了方便解釋說明，仍以原系統(tǒng)式(1)中的參數(shù)，即交流電壓幅值和時滯量，為變化參數(shù)。由圖4(a)～4(c)，當τ=0時，即系統(tǒng)無控制情況下，安全域的尺寸會隨著交流電壓幅值的增大而逐漸減小，其邊界的分形也越來越明顯。圖4(a)～4(c)中的安全域侵蝕也說明在相應的電壓下無控制系統(tǒng)的微結(jié)構均存在吸合不穩(wěn)定問題。對于τ≠0的情況，即時滯位置反饋控制下(見圖4(d)～4(i))，安全域仍會隨著交流電壓幅值的增大而被侵蝕，這一點與無控制系統(tǒng)是一致的，也驗證了上一節(jié)的定性結(jié)論。在圖4中，隨著時滯量的增大，在同等電壓下，受控系統(tǒng)安全域變大，侵蝕程度也有所減輕。其中對比圖4(a),4(d)和4(g)可以看出，對于VAC=4.5 V，當時滯量增大到1 ms時，系統(tǒng)的安全域邊界已變得光滑，這說明安全域侵蝕完全得到抑制，相應地，微結(jié)構也不會發(fā)生吸合不穩(wěn)定；當時滯量繼續(xù)增大到1.8 ms時，系統(tǒng)安全域邊界同樣光滑，并且面積繼續(xù)增大。對于VAC提高到6 V(見圖4(b),4(e)和4(h))，時滯量增大到1.8 ms時系統(tǒng)的安全域侵蝕得到完全抑制。而當VAC提高到9 V，盡管時滯量從0增大到1.8 ms，安全域邊界始終分形，但安全域有明顯增大，這同樣說明其侵蝕得到一定程度地抑制。由圖4可知，當反饋增益系數(shù)大于零時，時滯量的增加能夠抑制安全域的侵蝕。其中，不同的時滯量所對應的吸合不穩(wěn)定的交流電壓臨界幅值的數(shù)值結(jié)果與上節(jié)的半解析結(jié)果的對比如圖3所示，可以看出二者非常接近，這也驗證了理論分析的有效性。由此可見，在正的反饋增益系數(shù)下，時滯量的增大能夠明顯提高引起吸合不穩(wěn)定的交流電壓門檻值和吸合行程。文獻[12]中通過實驗對比無控制和時滯位置反饋控制微結(jié)構在初始狀態(tài)為平衡狀態(tài)下的振動響應，發(fā)現(xiàn)前者吸合而后者不吸合，也驗證了這一點。綜上所述，時滯位置反饋能夠有效地抑制系統(tǒng)微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定。

4結(jié)論

本文以一類時滯位置反饋靜電驅(qū)動電容型微傳感器振動系統(tǒng)為研究對象，考察施加在驅(qū)動電壓上的時滯反饋對于微傳感器結(jié)構的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象的控制。利用全局分岔理論和Melnikov方法分析了時滯反饋對于微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象的控制機理。并以時滯受控系統(tǒng)的安全域侵蝕程度來描述系統(tǒng)微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象，從而通過定量研究時滯受控系統(tǒng)的安全域隨系統(tǒng)參數(shù)的演變來驗證理論預測的有效性。研究發(fā)現(xiàn)，直流偏置電壓的增大容易引起微結(jié)構的靜態(tài)吸合，而阻尼的增大有利于抑制微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定；在正的反饋增益系數(shù)和較短的時滯量下，時滯量的增大能提高結(jié)構吸合不穩(wěn)定的交流電壓臨界幅值和吸合行程，從而有效抑制微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定。事實上，文中無時滯反饋控制的非線性參數(shù)激勵系統(tǒng)不僅能夠描述一類單自由度微諧振器或微加速度計振動模型，還可以描述兩自由度微陀螺振動系統(tǒng)的驅(qū)動模態(tài)[19-20](微陀螺振動系統(tǒng)的驅(qū)動模態(tài)中檢測方向產(chǎn)生的科氏力極微弱，往往忽略不計)。因此，研究結(jié)果在提高基于此的靜電微加速度計的性能穩(wěn)定性和優(yōu)化微結(jié)構的設計方面有著潛在的應用價值，也為進一步研究其它靜電微慣性傳感器的振動控制機理奠定理論基礎。

關于直流偏置電壓和交流電壓共同作用下微結(jié)構的動態(tài)吸合實驗目前主要是檢測初始狀態(tài)為平衡狀態(tài)時微結(jié)構的振動響應，如吸合或不吸合[12-14]。而實驗驗證微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象則需要涉及初始條件的更多種情況，例如考察微結(jié)構初始狀態(tài)在零平衡態(tài)時吸合與否，以及與初始狀態(tài)在零平衡態(tài)附近擾動時吸合情況是否一致，情況更為復雜，國內(nèi)外對于微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象的研究大多仍是通過數(shù)值模擬來開展[5,8,12-14]。為此，實驗驗證時滯控制方法對微結(jié)構的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象的抑制和吸合行程的提高將是作者下一步工作的重點。

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Controlling pull-in instability of a typical electrostatically actuated microsensor with time-delay position feedback

SHANGHui-lin1,SONGShu-feng1,WENYong-peng2

(1. School of Mechanical Engineering, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418, China; 2. College of Urban Railway Transportation, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China)

Abstract:In order to study pull-in instability of a microstructure under electrostatical force, a typical single-DOF electrostatically actuated MEMS sensor was considered. The time delay position feedback was exerted on the DC bias voltage of the system. The conditions of system parameters to reduce the pull-in instability of the microstructure were studied. The mechanism of the time delay position feedback to improve the pull-in stability of the microsensor was investigated in detail. The threshold of AC voltage amplitude for pull-in instability in the controlled system with time delay position feedback was obtained with Melnikov method. Based on the evolution of the safe basin of the controlled system versus control parameters, the effects of the time delay feedback on suppressing the pull-in instability were studied quantitatively. The numerical results and theoretical analysis showed that the time delay position feedback can effectively suppress the pull-in instability of the electrostatically actuated MEMS structure under a positive feedback gain and a smaller time delay.

Key words:safe basin; time delay; pull-in instability; micro electro-mechanical system (MEMS); fractal

中圖分類號:O322;TP202

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.013

收稿日期：2015-06-16修改稿收到日期：2015-09-08

基金項目：國家自然科學基金面上項目(11472176);上海自然科學基金項目(15ZR1419200)

第一作者 尚慧琳 女，博士，副教授，1983年3月生