基于磁力等效原理的剛性磁懸浮轉子系統(tǒng)高精度在線動平衡

劉　超 ， 劉　剛， 蓋玉歡

(1.北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京　100191； 2. 北京航空航天大學 慣性技術重點實驗室，北京　100191；3. 北京航空航天大學 新型慣性儀表與導航系統(tǒng)技術國防重點學科實驗室，北京 　100191)

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基于磁力等效原理的剛性磁懸浮轉子系統(tǒng)高精度在線動平衡

劉超1,2,3， 劉剛1,2,3， 蓋玉歡1,2,3

(1.北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京100191； 2. 北京航空航天大學 慣性技術重點實驗室，北京100191；3. 北京航空航天大學 新型慣性儀表與導航系統(tǒng)技術國防重點學科實驗室，北京 100191)

摘要：針對磁懸浮飛輪轉子不平衡振動問題，提出了一種在線動平衡方法。其基于磁軸承控制作用力與轉子不平衡離心力之間的等效原理，通過檢測磁軸承的控制作用力解算轉子不平衡校正質(zhì)量。設計了零位移控制器，使轉子繞幾何軸旋轉，此時磁軸承的控制作用力與控制電流呈線性關系，通過測量控制電流來準確獲得磁軸承的控制作用力。該方法消除了傳統(tǒng)方法由動力學模型過度簡化帶來的誤差，尤其適用于強陀螺效應的扁平型剛性磁懸浮轉子系統(tǒng)。實驗驗證了該方法的有效性，對提高磁懸浮轉子系統(tǒng)的動平衡精度具有實際意義。

關鍵詞：剛性轉子；主動磁軸承；不平衡振動；在線動平衡

主動磁軸承(簡稱磁軸承)通過可控電磁力對轉子進行懸浮支承，具有無摩擦、無需潤滑、容許轉子轉速高等特點，在高速旋轉機械中得到大量應用[1]。

旋轉機械中轉子質(zhì)量不平衡是機械振動故障的重要來源[2-4]。在磁懸浮轉子系統(tǒng)中，轉子質(zhì)量不平衡不僅產(chǎn)生振動、噪聲，還會引起額外的響應電流，增加系統(tǒng)功耗，使功放提前飽和，降低磁軸承控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[5]。針對磁懸浮轉子系統(tǒng)的不平衡振動問題，主要有兩種解決途徑：自動平衡控制和轉子動平衡。自動平衡控制通過消除磁軸承對轉子不平衡的響應，使轉子繞慣性主軸旋轉，適用于對轉子幾何軸跳動無嚴格要求的旋轉機械[6-7]。轉子動平衡通過對轉子不平衡進行校正，使轉子的慣性主軸與幾何軸重合，有效降低轉子的不平衡振動。對于磁懸浮轉子系統(tǒng)，除了在動平衡機上進行離線動平衡外，還有一種現(xiàn)場動平衡方法：在線動平衡[8]。在線動平衡利用磁軸承控制系統(tǒng)自身集成的傳感器單元和電磁力控制單元，根據(jù)轉子的不平衡響應解算轉子的不平衡量。Li等[9]應用傳統(tǒng)的影響因數(shù)法實現(xiàn)轉子的在線動平衡，需要多次試重，動平衡效率低。韓輔君等[10]根據(jù)磁軸承轉子系統(tǒng)的不平衡響應直接計算轉子不平衡量，雖然不需試重，但是受磁軸承轉子系統(tǒng)模型的非線性影響，動平衡精度受限。王英廣等[11]通過對轉子進行零位移控制消除了磁軸承控制力的非線性，但是，其基于陀螺力學方程的推導需要忽略陀螺效應項，只適用于細長軸轉子，對于磁懸浮飛輪、磁懸浮控制力矩陀螺等具有強陀螺效應的扁平型轉子無法直接應用。本文以磁懸浮飛輪為研究對象，提出了基于磁力等效原理的剛性轉子在線動平衡方法。對轉子實施幾何軸的零位移控制，通過檢測磁軸承控制電流得到磁軸承控制作用力，將磁軸承控制作用力等效為磁軸承平面上的虛擬不平衡校正質(zhì)量，再經(jīng)過換算得到校正平面上的不平衡校正質(zhì)量。本方法不需試重，可用于強陀螺效應剛性磁懸浮轉子系統(tǒng)的動平衡。

1磁力等效原理與磁力表達式

1.1磁力等效原理

轉子的動不平衡是指轉子質(zhì)量分布不均勻?qū)е聭T性主軸與理想旋轉軸不重合，而通常這個理想的旋轉軸為轉子幾何軸。轉子的動不平衡可進一步分解為靜不平衡和偶不平衡[12]。靜不平衡是指轉子質(zhì)心相對于旋轉中心的偏移；偶不平衡是指慣性主軸相對于幾何軸的偏轉。在剛性磁懸浮轉子系統(tǒng)中，當磁軸承控制轉子繞幾何軸勻速轉動時，磁軸承對轉子的控制作用力與轉子的動不平衡之間具有某種特定的關系，本文提出兩個論斷：① 控制轉子繞某點轉動的外部作用力等于轉子相對于該點的靜不平衡校正質(zhì)量的離心力；② 控制轉子繞某固定軸做勻速轉動的外力矩等于轉子相對于該軸的偶不平衡校正質(zhì)量的離心力矩。將其稱為磁力等效原理，并基于此等效原理進行轉子的在線動平衡。

1.2磁軸承磁力表達式

實際的磁軸承系統(tǒng)中，磁軸承都采用差動形式輸出電磁力，磁力表達式為[1]

(1)

式中：N0為線圈匝數(shù)，A0為磁極面積，μ0為真空磁導率，i0為偏置電流，i為控制電流，x0為單邊氣隙長度，x為轉子位移。將式(1)在平衡位置i=0、x=0處泰勒展開得

famb≈kii+kxx

(2)

式中：ki為電流剛度，kx為位移剛度。ki、kx表達式為

(3)

由式(1)可知磁軸承磁力是控制電流和轉子位移的強非線性函數(shù)，式(2)所示的線性化公式的準確度與轉子所處的位置有關。當控制轉子繞幾何軸旋轉時，即x=0，根據(jù)式(1)得

famb=kii

(4)

此時磁軸承磁力是控制電流嚴格的線性函數(shù)，這就意味著可以通過控制電流準確獲得磁軸承磁力。

2校正質(zhì)量的解算

假設轉子在A、B兩端磁軸承的控制作用下繞幾何軸旋轉，磁軸承A和磁軸承B對轉子的控制力可以簡化為一個過質(zhì)心的合力和一個合力偶。根據(jù)磁力等效原理，此合力與轉子的靜不平衡校正質(zhì)量的離心力等效；此合力偶對轉子的力矩與轉子的偶不平衡校正質(zhì)量的離心力矩等效。根據(jù)剛性轉子動平衡原理[12]，轉子的靜不平衡和偶不平衡可以等效為兩個動平衡面上的不平衡。選擇磁軸承A、B平面為動平衡面，由于不平衡量的分解合成與磁力的分解合成過程相同，因此可以將磁軸承A、B的磁力直接等效為磁軸承平面上的虛擬校正質(zhì)量。然后由虛擬校正質(zhì)量解算校正面上的校正質(zhì)量的大小與相位。

圖1是磁懸浮轉子二平面動平衡示意圖。轉子幾何軸從左到右依次穿過校正面Ⅰ、磁軸承A平面、轉子質(zhì)心、磁軸承B平面和校正面Ⅱ。校正面Ⅰ、磁軸承A平面、磁軸承B平面和校正面Ⅱ到質(zhì)心的距離分別為l1、la、lb和l2，相鄰兩個平面的距離分別為L1、L2、L3。校正面Ⅰ和校正面Ⅱ的距離為L。磁軸承A、B的控制力矢量分別為fa、fb，轉子旋轉角速度為ω。

圖1　轉子動平衡示意圖Fig.1 Schematic of rotor balancing

磁軸承A、B平面上的等效不平衡校正量為

(5)

將磁軸承A、B平面上的不平衡校正量轉換為校正面Ⅰ、校正面Ⅱ上的不平衡校正量為

(6)

設校正面Ⅰ、Ⅱ上校正質(zhì)量所在圓的半徑分別為r1、r2，則由校正質(zhì)量大小及所在相位構成的矢量為

(7)

將式(5)、式(6)代入式(7)得

(8)

其中，磁軸承控制力fa、fb根據(jù)式(4)由磁軸承控制電流計算獲得；K為轉換矩陣，可以表示為

(9)

3零位移控制器設計

轉子幾何軸的零位移控制是實現(xiàn)基于磁力等效原理的轉子動平衡的基礎。國內(nèi)外對零位移控制方法有大量的研究，本文采用通用陷波器[13]的原理，在傳統(tǒng)穩(wěn)定控制器的基礎上增加零位移控制器，實現(xiàn)轉子繞幾何軸旋轉。

3.1磁軸承控制系統(tǒng)模型

對于理想的磁懸浮轉子，轉子幾何軸與慣性主軸重合，在轉子慣性主軸固定坐標系中，結合陀螺技術方程可以得到控制系統(tǒng)模型為

(10)

式中:q=[x,-β,y,α]T為轉子慣性主軸廣義坐標向量，qs為幾何軸的廣義坐標向量；M=diag(m,Jr,m,Jr)，m為轉子質(zhì)量，Jr為轉子赤道轉動慣量；Ki=diag(kiax,kibx,kiay,kiby)，Kx=diag(kax,kbx,kay,kby)，其元素分別為A、B兩端磁軸承磁力線性化后的電流剛度和位移剛度；

式中:H=Jzω，為轉子沿Z軸的角動量，Jz為轉子極轉動慣量；

其元素為電流環(huán)傳遞函數(shù)，假設各路磁軸承參數(shù)相同，kf為電流環(huán)放大倍數(shù)，L為線圈電感，R為線圈電阻；ctrl(·)為磁軸承閉環(huán)控制器。系統(tǒng)的控制框圖如圖2所示。

圖2　磁軸承控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of AMB control system

當磁懸浮轉子具有動不平衡時，轉子幾何軸與慣性主軸的關系可以近似表示為

q=qs+qe

(11)

式中，qe為不平衡偏移向量。qe可表示為

(12)

式中，e為轉子質(zhì)心相對于幾何中心偏移的大小，φ為偏移的初始相位；egi為轉子慣性主軸相對于幾何軸偏轉角位移的大小，γ為偏轉的初始相位。

將式(11)代入式(10)得

(13)

由式(13)可知，轉子的動不平衡可以等效為一個附加同頻擾動?；谑?10)所描述的理想轉子模型設計的控制器ctrl(·)不能完全克服同頻擾動，轉子的幾何軸含有同頻位移響應。因此，需要設計零位移控制器實現(xiàn)轉子幾何軸的零位移控制。

3.2零位移控制器設計

為消除幾何軸廣義坐標向量qs的同頻擾動響應，在四路反饋信號進入控制器ctrl(·)前各增加一個基于通用濾波器的零位移控制器，實現(xiàn)同頻反饋增益的無窮大。

圖3　零位移控制器結構框圖Fig.3 Block diagram of zero-displacement controller

圖3為一路零位移控制器的結構框圖。它由一條同頻濾波器Nf通路與一條單位前向通路并聯(lián)組成，ε為深度控制參數(shù)。Nf對輸入信號的同頻成分具有積分累加作用，其輸出可以看作同頻信號發(fā)生器，用于克服同頻擾動。只要系統(tǒng)閉環(huán)漸進穩(wěn)定，則Nf輸入信號中一定不含同頻成分，即實現(xiàn)零位移控制。

為證明系統(tǒng)穩(wěn)定性，將四路零位移控制器寫成向量的形式，并參照文獻[13]的證明思路將控制系統(tǒng)寫成如圖4的形式。

(14)

圖4　靈敏度函數(shù)與濾波器閉環(huán)Fig.4 Close loop of sensitivity S(s) and filter Nf(s)

S(s)為由給定誤差到實際誤差的傳遞函數(shù)矩陣，由控制器ctrl(.)保證其是穩(wěn)定的，即特征根都有負實部。系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式為

det(I+εNf(s)S(s))=0

(15)

將式(14)代入式(15)得

(16)

(17)

當ε=0時，有s(0)=±jω。定義T=TR+jTJ，則U(jω)=TS(jω)。對式(17)在s=jω，ε=0處求偏導得

(18)

4實驗驗證

利用圖5所示的北京航空航天大學研制的基于磁懸浮支承的反作用飛輪FW68樣機進行實驗驗證。磁軸承控制系統(tǒng)采用TMS320C31+FPGA數(shù)字控制系統(tǒng)，采樣周期為150 μs，功放采用PWM調(diào)制，載波頻率為20 kHz。轉子的絕對位置參考相位由外加光電傳感器給出。實驗樣機的主要設計參數(shù)如表1所示。

圖5　磁懸浮反作用飛輪FW68Fig.5 Magnetically suspended reaction flywheel-FW68

參數(shù)量值參數(shù)量值ω/(r·min-1)±5000H/(N·ms)68m/kg9.35Jr/(kg·m2)0.0748kx/(N·m-1)6.68×105Jz/(kg·m2)0.129ki/(N·A-1)300L1/m0.0095L2/m0.045L3/m0.0095r1/m0.1445r2/m0.1445

為方便實驗進行，在不抽真空條件下轉子轉速為3 000 r/min時進行動平衡實驗。對轉子進行零位移控制后，待轉子位移收斂到零，求得同頻控制電流為

ia=(0.087 4-j0.021 0)A

ib=(0.067 9+j0.080 9)A

由式(8)解得校正質(zhì)量為

m1=(1.778-j0.124)g

m2=(1.489+j1.384)g

圖6　動平衡前后轉子位移Fig.6 Rotor displacements before and after dynamic balancing

對轉子進行加重配平后，再次進行升速實驗。圖6、圖7為在額定轉速5 000 r/min時動平衡前后轉子位移和控制電流變化對比圖，轉子同頻位移跳動峰峰值由動平衡前的80 μm降低為動平衡后的15 μm，降低了81.3%；控制同頻電流變化峰峰值由動平衡前的0.18 A降低為動平衡后的0.022 A，降低了87.8%。轉子動平衡效果顯著。

圖7　動平衡前后控制電流Fig.7 Control currents before and after dynamic balancing

5結論

本文提出了一種基于磁力等效原理的剛性轉子動平衡方法。通過在傳統(tǒng)控制器基礎上增加零位移控制器，實現(xiàn)了轉子幾何軸的零位移控制。在零位移控制狀態(tài)下，磁軸承的電磁力與控制電流成線性關系。通過檢測控制電流獲得磁軸承的電磁力，根據(jù)質(zhì)量校正公式解算校正質(zhì)量。最后通過實驗驗證了本方法的有效性。本方法的特點可以概括為以下幾點：

(1) 基于磁力等效原理的剛性磁懸浮轉子動平衡方法可以用于強陀螺效應的扁平型轉子的在線動平衡。

(2) 零位移控制容易實現(xiàn)，通過檢測控制電流獲得磁軸承力，檢測精度高不需要力傳感器。

(3) 一次啟車，不需要試重，動平衡效率高。

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Field balancing for a magnetically suspended rigid rotor based on magnetic forces equivalence principle

LIUChao1,2,3,LIUGang1,2,3,GEYu-huan1,2,3

(1. School of Instrument Science and Opto-electronic Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China;2. Science and Technology on Internal Laboratory, Beihang University, Beijing 100191, China;3. Fundamental Science on Novel Inertial Instrument & Navigation System Technology Laboratory, Beihang University, Beijing 100191, China)

Abstract:A field balancing method was proposed to solve rotor unbalance vibration problems in a magnetically suspended flywheel (MSFW). Based on the equivalence principle between magnetic control force and unbalance centrifugal force, the rotor unbalance was calculated and corrected by measuring the magnetic forces. A zero-displacement controller was designed to make a rotor rotate around its geometric axis. Then the controlling force of the magnetic bearing was obtained by measuring the control current since the former was a linear function of the latter. This method eliminated the errors introduced by the oversimplification of dynamic model in conventional methods and it was especially applicable for a high-gyroscopic-effect-pancake magnetically suspended rigid rotor. The experiment results demonstrated that the method is effective to improve the balancing accuracy for a magnetically suspended rigid rotor system.

Key words:rigid rotor; active magnetic bearing; unbalance vibration; field balancing

中圖分類號:TH133.7

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.011

通信作者劉剛 男，博士，教授，1970年3月生

收稿日期：2014-08-07修改稿收到日期：2015-02-10

基金項目：國家自然科學基金(61374029)

第一作者 劉超 男，博士生，1987年9月生