高職院校初等數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)對(duì)策探究

黃梅花

南通開放大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院（南通　226000）

高職院校初等數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)對(duì)策探究

黃梅花

南通開放大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院（南通226000）

高職院校的數(shù)學(xué)教學(xué)與此前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有諸多重疊，尋找新的視角并進(jìn)行教學(xué)思路的重構(gòu)，是教學(xué)對(duì)策研究的重要思路。三角函數(shù)是初等函數(shù)中的基礎(chǔ)性知識(shí)，高職院校的教學(xué)需要，決定了該知識(shí)構(gòu)建需要從函數(shù)視角重新認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的定義，需要抓住同角三角函數(shù)這一核心，以完成對(duì)三角函數(shù)的整體認(rèn)知的構(gòu)建。此過程中，還需要關(guān)注數(shù)學(xué)與專業(yè)的需要，以在提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)提升專業(yè)素養(yǎng)，以充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性作用。

初等數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；教學(xué)對(duì)策

學(xué)生進(jìn)入高職院校之后，初等數(shù)學(xué)是基本學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，其中的三角函數(shù)知識(shí)作為描述周期性現(xiàn)象的重要模型，一直以來都受到廣泛重視。相比較而言，學(xué)生在三角函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，無論是最終的學(xué)習(xí)結(jié)果還是此前的學(xué)習(xí)過程，都會(huì)表現(xiàn)出普遍性的學(xué)習(xí)困難。為了解決這一困難，就必須尋找到有效的教學(xué)對(duì)策。筆者以為，在尋求教學(xué)對(duì)策的過程中，要緊緊抓住學(xué)生這一關(guān)鍵，要從高職院校學(xué)生的角度去確定、評(píng)估教學(xué)對(duì)策的實(shí)施。下面筆者提出三點(diǎn)教學(xué)對(duì)策，并分別舉例說明。

1　培元固本：重視三角函數(shù)定義

在義務(wù)教育階段，由于應(yīng)試的需要，在職高階段由于對(duì)包括學(xué)科在內(nèi)的文化學(xué)科的相對(duì)忽視，使得數(shù)學(xué)教學(xué)出現(xiàn)了一種不良的傾向，那就是對(duì)數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的忽視，其具體表現(xiàn)就是不重視數(shù)學(xué)概念是如何通過定義來理解的。三角函數(shù)本身就是抽象的知識(shí)，而根據(jù)筆者對(duì)進(jìn)入高職學(xué)生的學(xué)業(yè)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有近八成的學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的定義幾乎完全說不出來（與之相對(duì)應(yīng)的是，學(xué)生能夠舉出三角函數(shù)的一些簡單例子甚至是一些具體的習(xí)題），這說明高職之前的數(shù)學(xué)教育重知識(shí)應(yīng)用而忽視概念建構(gòu)，筆者以為這是一種本末倒置的行為。同時(shí)，這也意味著高職階段的初等數(shù)學(xué)教育中，要重新重視三角函數(shù)的概念建構(gòu)與定義過程。

通常情況下，初等函數(shù)范疇中的三角函數(shù)有多種定義方式。如在直角三角形中，以角度（實(shí)用弧度表示）作為自變量，以角度所對(duì)應(yīng)的兩條邊的比值作為因變量的函數(shù)；又如在單位圓中也有類似的定義（事實(shí)上三角函數(shù)與平面幾何知識(shí)本身就有著千絲萬縷的聯(lián)系）。這種定義的理解有兩種途徑：一是基于純粹數(shù)學(xué)的途徑，即通過數(shù)學(xué)圖形的呈現(xiàn)，然后通過直接的定義來完成對(duì)三角函數(shù)的理解，這一途徑對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生來說比較好，相比較而言如果學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)偏弱，那理解起來就有困難?；《戎葡聦?duì)三角函數(shù)的定義實(shí)際上與直角坐標(biāo)系以及單位圓中的定義是相通的，因此本文不贅述，下面的闡述更多的以前者為例。

高職院校的學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般都不太好，因此第二條途徑更值得嘗試。二是通過具體的生活實(shí)例來建構(gòu)函數(shù)概念，例如可以向?qū)W生呈現(xiàn)出具體的房梁結(jié)構(gòu)、塔吊結(jié)構(gòu)，通過已知與未知關(guān)系的構(gòu)建，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到必須在某個(gè)直角三角形或單位圓中形成邊與邊的比例與等量關(guān)系，才能完成求解，這個(gè)時(shí)候?qū)W生對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)就會(huì)有一個(gè)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，在這個(gè)基礎(chǔ)上再進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，將實(shí)物模型抽象成數(shù)學(xué)模型，然后通過數(shù)學(xué)定義認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的概念，就可以讓學(xué)生在記憶與理解的時(shí)候相對(duì)難度更小。

同樣，在初等函數(shù)的范疇中，六種三角函數(shù)的理解需要基于分析與綜合以形成統(tǒng)一的理解，即在平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中，確定了角的頂點(diǎn)即坐標(biāo)系的原點(diǎn)，并以x軸的正半軸作為角的始邊，于是看似沒有直接關(guān)系的六種三角函數(shù)就被統(tǒng)一到了平面直角坐標(biāo)系上了，區(qū)別只在于終邊所在的區(qū)間而已。更重要的是，在這樣的統(tǒng)一理解當(dāng)中，某個(gè)區(qū)間內(nèi)的一個(gè)角的集合表示、不同象限角的表示等，都會(huì)成為學(xué)生自然而然地需要面對(duì)并解決的問題。從學(xué)習(xí)心理的角度來看，其實(shí)就是不同的知識(shí)自然形成了一個(gè)知識(shí)組塊，這是非常有利于學(xué)生的記憶與理解的。

2　由點(diǎn)及面：研究同角三角函數(shù)

初等三角函數(shù)當(dāng)中，同角三角函數(shù)的關(guān)系是一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，在此前的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生更多的是進(jìn)行一些基本的記憶與運(yùn)用，很少基于聯(lián)系的觀點(diǎn)研究同角三角函數(shù)。而事實(shí)上從聯(lián)系的觀點(diǎn)來研究三角函數(shù)的關(guān)系，很有利于學(xué)生更好地建構(gòu)對(duì)三角函數(shù)的整體認(rèn)知，同時(shí)借助于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，還可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中生成由點(diǎn)及面的學(xué)習(xí)策略，從而遷移到其它知識(shí)的學(xué)習(xí)當(dāng)中去。

梳理初等函數(shù)范圍中的同角三角函數(shù)關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)有這樣的三種關(guān)系，即平方關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系與比例關(guān)系。其分別是sin2α+cos2α=1、tan2α+1=sеc2 α、cotα2+1=csc2α；tanαcotα=1；tanα=sinα/cos α。那么，基于聯(lián)系觀點(diǎn)如何確定這幾種關(guān)系的點(diǎn)與面呢？筆者以為關(guān)鍵在于教學(xué)中兩個(gè)重心的確定：

一是“點(diǎn)”的確定。同角三角函數(shù)關(guān)系的構(gòu)建中，什么是點(diǎn)？筆者以為，這需要從高職學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)來考慮。高職學(xué)院的數(shù)學(xué)教學(xué)定位，應(yīng)當(dāng)是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中生成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)為學(xué)生的專業(yè)素養(yǎng)提升提供知識(shí)儲(chǔ)備與能力基礎(chǔ)。三角函數(shù)知識(shí)在諸多專業(yè)中都有相對(duì)廣泛的應(yīng)用，但從不同專業(yè)的不同情境中進(jìn)行提取，即會(huì)發(fā)現(xiàn)終點(diǎn)仍然落到數(shù)學(xué)意義的數(shù)與形上，因此，學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)意義上的三角函數(shù)認(rèn)識(shí)就是這個(gè)“點(diǎn)”。同時(shí)，同角三角函數(shù)本身也是一個(gè)相對(duì)發(fā)散的，也確實(shí)需要一個(gè)點(diǎn)以帶動(dòng)知識(shí)本身這個(gè)面。研究可知，同角三角函數(shù)建立點(diǎn)的認(rèn)知，可以在上面提到的平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)之上，通過對(duì)邊的關(guān)系的梳理與分類，得到同一象限內(nèi)終邊相同的角（集合）、終邊關(guān)于x、y軸以及關(guān)于直線y=x對(duì)稱的角、終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的角三種情況，這三者可以形成建立三角函數(shù)的“點(diǎn)”的認(rèn)知的三個(gè)支點(diǎn)，有此三“足”，三角函數(shù)之“鼎”則可立。而此三個(gè)支點(diǎn)如果要濃縮成一個(gè)認(rèn)識(shí)的話，那就是“某一個(gè)角的三角函數(shù)值，最終只決定于這個(gè)角的終邊”。這一點(diǎn)看似抽象，但實(shí)際上卻是對(duì)六種三角函數(shù)的高度概括，在此基礎(chǔ)上再將思維發(fā)散到不同的具體三角函數(shù)當(dāng)中，這便如一顆種子發(fā)芽之后生成不同植株一樣。

二是“面”的確定。同角三角函數(shù)關(guān)系的構(gòu)建中，什么是面？基于上一段的分析，同角三角函數(shù)在不同專業(yè)視角下的實(shí)際應(yīng)用可以視作面，這個(gè)時(shí)候就需要建立數(shù)學(xué)與不同專業(yè)之間的聯(lián)系，事實(shí)上對(duì)于高職院校的數(shù)學(xué)教學(xué)來說，這也是一種重要的教學(xué)策略，讓不同專業(yè)的實(shí)際知識(shí)成為該專業(yè)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)知識(shí)背景，不僅有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也有利于學(xué)生更有效地構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)。譬如在三角函數(shù)教學(xué)中可以引入具體的測量實(shí)例（測量是諸多專業(yè)中都必須培養(yǎng)的技能之一，不同專業(yè)有著不同的測量情境，限于篇幅這里不具體舉例），職業(yè)視角下，測量不是簡單的測量工具的運(yùn)用，更指測量方法的確定，而測量方法往往是需要數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為支撐的。當(dāng)將某一個(gè)測量需要與三角函數(shù)建立聯(lián)系的時(shí)候，學(xué)生一般會(huì)將思路確定在測量本身之上，這對(duì)于高職學(xué)院的學(xué)生來說，既是一種職業(yè)直覺，又是一種注意力的轉(zhuǎn)移。對(duì)于后者而言，這樣的轉(zhuǎn)移極具教學(xué)價(jià)值，因?yàn)楫?dāng)學(xué)生將注意力從抽象的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)移到形象的測量之上時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)心理會(huì)有很大的轉(zhuǎn)變，因?yàn)槌橄蠖a(chǎn)生的畏懼性的學(xué)習(xí)心理，有可能變成積極的解決問題的心態(tài)，而在積極解決問題的過程中，三角函數(shù)的知識(shí)又確實(shí)得到了運(yùn)用，對(duì)于三角函數(shù)的知識(shí)也確實(shí)進(jìn)行了建構(gòu)，這種隱性的建構(gòu)往往對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升來說，更具意義，也更符合高職院校數(shù)學(xué)教育基礎(chǔ)性作用的發(fā)揮。高職院校學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是基于專業(yè)背景進(jìn)行的數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，恰恰是符合這一思路的。需要指出的是，這三個(gè)支點(diǎn)的形成以及以之為“點(diǎn)”向“面”擴(kuò)散，可以引導(dǎo)學(xué)生自己去形成認(rèn)識(shí)，也就是說通過學(xué)生的自主學(xué)習(xí)過程來完成對(duì)點(diǎn)和面的認(rèn)識(shí)，是必要的教學(xué)策略

3　數(shù)學(xué)思維：建構(gòu)三角函數(shù)認(rèn)知

初等函數(shù)作為高職數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)基本內(nèi)容，其教學(xué)目標(biāo)除了以之為基礎(chǔ)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與職業(yè)素養(yǎng)之外，就數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建本身而言，三角函數(shù)本身作為一個(gè)認(rèn)知對(duì)象，其實(shí)也具有培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要價(jià)值，而發(fā)掘這個(gè)價(jià)值的過程，也可以視作有效的教學(xué)對(duì)策。

數(shù)學(xué)的最高價(jià)值就是培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維，思維能力作為智力的核心，又是高職學(xué)校培養(yǎng)學(xué)生的重要基礎(chǔ)，沒有思維能力的支撐，專業(yè)技能是不可能有質(zhì)的提升的，培養(yǎng)高素質(zhì)的技能性人才也容易成為一句空話。在筆者看來，三角函數(shù)在抽象著孕育著形象，而這恰恰又是思維的兩個(gè)重要維度，如果能夠?qū)崿F(xiàn)形象思維與抽象思維的積極轉(zhuǎn)換，并努力讓學(xué)生形成有效的直覺思維，那就是對(duì)三角函數(shù)的有效認(rèn)知了，學(xué)生的思維能力也就真正得到培養(yǎng)了。在利用三角函數(shù)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的過程中，筆者認(rèn)為可以關(guān)注如下兩點(diǎn)：

第一點(diǎn)，三角函數(shù)的函數(shù)視角。函數(shù)是學(xué)生接觸過六年的知識(shí)點(diǎn)，到了高職院校重新建構(gòu)初等三角函數(shù)，關(guān)鍵不在于知識(shí)的重現(xiàn)，而在于尋找新的學(xué)習(xí)視角。函數(shù)（function）作為一個(gè)基本數(shù)學(xué)概念，最初由數(shù)學(xué)家李善蘭的著作《代數(shù)學(xué)》所給出。其解釋是，“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”。由此可見，函數(shù)是描述事物之間的一種規(guī)律性關(guān)系的，是借助于自變量和因變量來描寫這種關(guān)系的，從這種規(guī)律性的對(duì)應(yīng)關(guān)系的角度來理解三角函數(shù)，學(xué)生會(huì)有不同的認(rèn)識(shí)。因?yàn)檫@個(gè)階段的學(xué)生對(duì)于事物之間的普遍聯(lián)系已經(jīng)有了相當(dāng)程度的認(rèn)識(shí)，而當(dāng)這種聯(lián)系變換成數(shù)學(xué)語言的時(shí)候，就吻合了學(xué)生內(nèi)心所用主觀世界的語言描述客觀世界的需要。因此實(shí)際教學(xué)中，在呈現(xiàn)單位圓之前，可以給出一個(gè)具體實(shí)例，譬如一個(gè)城市中以市中心為圓心，描述不同建筑所在的位置，或者描述一輛出租汽車一天的行駛位置。學(xué)生自然就會(huì)將這個(gè)形象的問題抽象成數(shù)學(xué)圖形，進(jìn)而用角和邊的關(guān)系去描述相應(yīng)的位置，這就是形象事物與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，就是函數(shù)思想的自然體現(xiàn)。

第二點(diǎn)，三角函數(shù)背后的幾何直觀。初等數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)認(rèn)知，離不開對(duì)其背后的幾何直觀的認(rèn)識(shí)。如果暫不考慮三角函數(shù)中“數(shù)”的關(guān)系，而從“形”的角度來認(rèn)識(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)其實(shí)就是一個(gè)平面直角坐標(biāo)系上的單位圓，以及圓的半徑與弦的關(guān)系。這是一個(gè)很好的認(rèn)知切入點(diǎn)，因?yàn)楦鶕?jù)筆者的研究發(fā)現(xiàn)，高職學(xué)院的學(xué)生一般來說在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更擅長形象思維，而幾何恰恰是形象思維的良好載體，因此從幾何的角度切入三角函數(shù)，也是一個(gè)很重要的教學(xué)策略。而且，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這樣的抽象，可以幫學(xué)生搭建對(duì)三角函數(shù)認(rèn)識(shí)的多重梯度，從而實(shí)現(xiàn)該知識(shí)的層次性建構(gòu)。當(dāng)然，三角函數(shù)還隸屬于更為廣泛的三角學(xué)范疇，對(duì)于少數(shù)優(yōu)秀的學(xué)生而言，教師可以適當(dāng)滲透，也算是因材施教策略的具體運(yùn)用。當(dāng)然需要說明的是，三角函數(shù)的圖像雖然是以圖像的形式存在，卻不是幾何的產(chǎn)物，需要厘清。

綜上所述，所謂教學(xué)對(duì)策，無非是針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要所采用的教學(xué)思路與措施。高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于隸屬初等數(shù)學(xué)的三角函數(shù)的教學(xué)，既需要關(guān)注學(xué)生的已有基礎(chǔ)，同時(shí)更需要建立新的視角，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)這一知識(shí)的重新構(gòu)建。只有基于三角函數(shù)定義，并抓住同角三角函數(shù)這個(gè)核心，才能完成學(xué)生對(duì)三角函數(shù)認(rèn)知的有效構(gòu)建。

［1］趙韜.三角函數(shù)在高職高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［J］.四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，21（2）：108-110.

［2］周益峰.高職電子專業(yè)學(xué)生三角函數(shù)學(xué)習(xí)困難的研究［D］.蘇州大學(xué)，2011.

（責(zé)任編輯：興安）

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10.19469/j.cnki.1003-3319.2016.03.0050