基于最小破產(chǎn)概率的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)策略

曹玉松

(許昌學(xué)院 信息工程學(xué)院，河南 許昌 461000)

基于最小破產(chǎn)概率的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)策略

曹玉松

(許昌學(xué)院 信息工程學(xué)院，河南 許昌 461000)

在資本價(jià)格服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，假定保險(xiǎn)公司通過(guò)購(gòu)買比例再保險(xiǎn)降低風(fēng)險(xiǎn)，以破產(chǎn)概率最小作為最優(yōu)衡量標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)建了相應(yīng)的Hamilton-Jacobi-Bellman 方程及最優(yōu)再保險(xiǎn)決策模型，通過(guò)求解相應(yīng)的方程，得出了破產(chǎn)概率最小下的最優(yōu)再保險(xiǎn)比例.

布朗運(yùn)動(dòng)；Hamilton-Jacobi-Bellman方程；破產(chǎn)概率；比例再保險(xiǎn)

再保險(xiǎn)是分散風(fēng)險(xiǎn)的一種有效方法，不同目標(biāo)函數(shù)下的最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題一直是保險(xiǎn)研究中的熱門問(wèn)題，這里我們選擇破產(chǎn)概率最小作為最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn).許多學(xué)者以效用期望最大化作為最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)保險(xiǎn)問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究，Xiao和Yi[1]給出了有限時(shí)間內(nèi)的破產(chǎn)概率的上下界；Young 和 Zhang[2]討論了基于跳擴(kuò)散過(guò)程的最優(yōu)投資問(wèn)題；Promislow和Young[3]討論了基于比例再保險(xiǎn)和投資的破產(chǎn)概率的大小問(wèn)題；Pergamenshchikov和Zeitouny[4]給出了破產(chǎn)概率的下上界；Azcue和Muler[5]在資本服從Cramer-Lundberg過(guò)程的前提下，討論了最小破產(chǎn)概率問(wèn)題，其它的結(jié)果可以參考Gajek (1979)，Daykin (1993), Fleming and Soner (1993)[6-8].與上述文獻(xiàn)不同的是本文我們?cè)谫Y本服從布朗運(yùn)動(dòng)的前提下，我們采取破產(chǎn)概率最小作為最優(yōu)衡量標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)購(gòu)買比例再保險(xiǎn)來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn).基于上述假設(shè)我們利用漂移布朗運(yùn)動(dòng)和哈密爾頓-雅克比-貝爾曼理論討論破產(chǎn)概率最小化問(wèn)題，通過(guò)對(duì)相應(yīng)的哈密爾頓-雅克比-貝爾曼方程求解，給出了最優(yōu)比例再保險(xiǎn)決策.論文的安排如下，第一部分，我們建立保費(fèi)的隨機(jī)過(guò)程，在保費(fèi)和投資過(guò)程服從布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)下，通過(guò)引入再保建立相應(yīng)的動(dòng)態(tài)模型.本文的主要結(jié)論破產(chǎn)概率的最小值以及如何購(gòu)買比例再保險(xiǎn)將在第二部分介紹，第三部分，我們將給出一些相關(guān)的說(shuō)明.

1 模型介紹

根據(jù)Promislow and Young (2005)，我們通過(guò)漂移布朗運(yùn)動(dòng)刻畫保費(fèi)過(guò)程C如下：

dC(t)=adt-bdW0(t).

(1)

這里，a和b均為正整數(shù)，W0(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng). 顯然，用布朗運(yùn)動(dòng)刻畫的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程是實(shí)際情況的一個(gè)近似，假設(shè)保費(fèi)以固定的速率c0=(1+θ)a連續(xù)支付，這里θ>0為安全系數(shù).設(shè)I:I+→I+表示再保險(xiǎn)函數(shù)，我們假設(shè)保險(xiǎn)人通過(guò)購(gòu)買比例再保險(xiǎn)來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn)，設(shè)Y表示所有的風(fēng)險(xiǎn),R(Y)表示再保險(xiǎn)函數(shù)，I(Y)=qY這里q表示再保險(xiǎn)的比例.與保費(fèi)支付給保險(xiǎn)公司類似，再保險(xiǎn)保費(fèi)以固定的速率c1=(1+η)aq支付給再保險(xiǎn)公司，R(Y)=qY，顯然η越大，再保險(xiǎn)保費(fèi)越高，剩余資金越少.

根據(jù)(1)，剩余過(guò)程為

dR(t)=c0dt-dC(t)-c1=(θ-η)adt+b(1-q)dW0(t).

(2)

此外，我們還假設(shè)保險(xiǎn)人將剩余的資金投到風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)(銀行等)中去以獲得最大利潤(rùn).設(shè)S0(t)表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)的價(jià)格過(guò)程則:

dS0(t)=r0S0(t)dt,r0>0.

決策α用隨機(jī)過(guò)程0≤q(t)≤1來(lái)描述，這里q(t) 表示在t時(shí)刻再保險(xiǎn)的比例，X(t) 表示將決策α應(yīng)用到(2)后資金的過(guò)程X(t)的動(dòng)態(tài)過(guò)程為

dX(t)=[r0X(t)+((θ-ηq(t))a)]dt+b(1-q(t))adW0(t).

(3)

決策α認(rèn)為是可行的，當(dāng)滿足0≤q(t)≤1. 定義所有的可行決策組成的集合為αs.

2 最小破產(chǎn)概率

ψ(x)=infα∈αsψα(x).

(4)

我們的目標(biāo)是得到最小破產(chǎn)概率ψ(x)及其最優(yōu)的決策q*(t) 使得

ψ(x)=ψq*.

(5)

且邊界條件為

ψ(0)=1，ψ(∞)=0.

(6)

下面我們求解帶有邊界條件(6)的式子(5)的解以及其相應(yīng)的值函數(shù).

首先我們給出下面引理，該引理在求解式子(5)和(6)中起著重要的作用.

引理1 定義ψ(x)如式子(3). 則:

(7)

相應(yīng)的最優(yōu)決策q*=1.

(8)

注意q0(x)<1，若q0(x)≥0 則取q*(x) 等于q0(x), 若q0(x)<0, 令q*(x)=0.

上述討論過(guò)程可得下面兩個(gè)引理，這兩個(gè)將在求解方程(5)中用到.

(9)

證明 顯然，在區(qū)間A1上，式子(5)關(guān)于變量q的最小值在q0(x) 如式子(8)處取得. 將它們帶入到式子(5)可得式(9)的左部.

(10)

由于引理3的證明過(guò)程和引理2的證明過(guò)程類似，這里我們不再給出其證明過(guò)程.

下面我們根據(jù)上述兩定理求解帶有邊界條件(6)的式子(5)的解.

設(shè)q*(x) 為式子(5)左端取得最小值的決策. 對(duì)于q*(x), 這里有兩種可能，即 0

若 0

(11)

(12)

為了求解帶有邊界條件(6)的式子(5)的解，引理2 要求式子(12)的q*(x) 在區(qū)間(0,1)上, 即

(13)

式子(10)的解為

(14)

這里

(15)

這里常數(shù)C2將在隨后給出.

根據(jù)函數(shù)ψ(x)在x=β1處連續(xù)，下面我們確定式子(11)中的常數(shù)C1和式子(14)中的常數(shù)C2.得

(16)

(17)

總結(jié)上述討論結(jié)果可得如下定理.

定理1 對(duì)于邊界條件為式子(6)的方程(5)的問(wèn)題，存在連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)ψ(x) 及其相應(yīng)的最優(yōu)再保險(xiǎn)決策如下q*(x):

3 結(jié)語(yǔ)

在資本過(guò)程服從布朗運(yùn)動(dòng)的前提下，以破產(chǎn)概率最小作為最優(yōu)衡量標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)求解相應(yīng)的哈密爾頓-雅克比-貝爾曼方程，得出了破產(chǎn)概率最小下的最優(yōu)再保險(xiǎn)比例.然而從保險(xiǎn)公司的角度出發(fā)，保險(xiǎn)人不可能時(shí)刻調(diào)整自己的決策，但是所得結(jié)果在政策改變的任何時(shí)刻，都可以作為決策的依據(jù).由于保險(xiǎn)公司收取保費(fèi)后，一般并不需要立刻提供理賠，而是在未來(lái)時(shí)間，當(dāng)保險(xiǎn)標(biāo)的發(fā)生保險(xiǎn)事故后才會(huì)理賠，因此保險(xiǎn)公司在此期間會(huì)將剩余資本投資到風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)如貨幣、證券、基金等多個(gè)市場(chǎng)開展業(yè)務(wù)用來(lái)增強(qiáng)經(jīng)濟(jì)實(shí)力，保險(xiǎn)在各個(gè)市場(chǎng)的資產(chǎn)配置直接影響到公司的收益和風(fēng)險(xiǎn)，如何將資本進(jìn)行資源分配和利用，如何選擇再保險(xiǎn)函數(shù)的形式，使得風(fēng)險(xiǎn)最小，效用最大，因此基于風(fēng)險(xiǎn)和效用的多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略是下一步將要討論的問(wèn)題.

[1] Xiao W, Yi J H. Ruin probabilities for discrete time risk models with stochastic rates for Interest[J]. Statistics and Probability Letters, 2008, 78(6): 707-715.

[2] Young H L, Zhang L H, Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process[J]. Insurance Mathematics and Economics, 2005, 37(2):615-634.

[3] Young, Promislow D S, Young V R. Minimizing the probability of ruin when claims follow Brownian motion with drift[J].North American Actuarial Journal， 2005, 9(3): 109-128.

[4] Pergamenshchikov S, Zeitouny O. Ruin probability in the prensence of risky investments[J]. Stochastic Processes and their Applications, 2006, 116(2): 267-278.

[5] Azcue P, Muler N, Optimal investment strategy to minimize the ruin probability of an insurance company under borrowing constraints[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009,44(1): 26-34.

[6] Gajek L, Zagrodny D. Insurer's optimal reinsurance strategies[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2000, 27(3): 105-112.

[7] Daykin C D, Pentikainen T, Pesonen M. Practical Risk Theory for Actuaries[M]. London: Chap man&Hall, 1993.

[8 ] Fleming H U, Soner H M.Controlled markov processes and viscosity solutions[M]. New York: Springer, 1993.

責(zé)任編輯：趙秋宇

Optimal Proportional Reinsurance Strategies Under Minimum Probability of Ruin

CAO Yu-song

(SchoolofInformationEngineering,XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

On the basisthat capital price follows standarded Brownian motion, we supposed that a insurance company lowers risk by purchasing proportional reinsurance.The proportion of optimal reinsurance under minimum probability of ruin was gotten by constructing Hamilton-Jacobi-Bellman equation and strategic model of optimal reinsurance under minimum probability of ruin, an optimal measure standard.

Brownian motion, Hamilton-Jacobi-Bellman equation, probability of ruin, proportional reinsurance

2015-11-13

河南省科技廳基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(132300410323)；河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(15A110041)；2016許昌市科技局基礎(chǔ)與前沿項(xiàng)目

曹玉松(1981—)，女，河南濮陽(yáng)人，副教授，碩士，研究方向：應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì).

1671-9824(2016)02-0028-04

O211.6

A