非線性濕氣遷移方程的類Wilson非協(xié)調(diào)元的超收斂分析

王芬玲，樊明智

(許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 許昌 461000)

非線性濕氣遷移方程的類Wilson非協(xié)調(diào)元的超收斂分析

王芬玲，樊明智

(許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 許昌 461000)

在半離散格式下研究了非線性濕氣遷移方程的類Wilson非協(xié)調(diào)有限元逼近問題.利用該元的相容誤差在能量模意義下可以達(dá)到O(h2) 比其插值誤差高一階的特殊性質(zhì)，并結(jié)合協(xié)調(diào)部分的高精度分析和平均值技巧導(dǎo)出了O(h2)階的超逼近性，進(jìn)而運(yùn)用插值后處理技術(shù)得到了超收斂結(jié)果.

非線性濕氣遷移方程；類Wilson元；超逼近；超收斂

考慮如下的非線性濕氣遷移方程[1]

(1)

(ii)g(u，X)關(guān)于u滿足Lipschitz條件.

本文將類Wilson非協(xié)調(diào)元應(yīng)用于非線性濕氣遷移方程，進(jìn)行了超逼近和超收斂分析.借助于雙線性元的高精度分析和類Wilson元的非協(xié)調(diào)部分與雙一次多項(xiàng)式在某種意義下的正交性導(dǎo)出了重要結(jié)論(見引理3)，在此基礎(chǔ)上，再結(jié)合該元的相容誤差在能量模意義下可以達(dá)到O(h2)階，利用平均值技巧得到超逼近性.進(jìn)而，借助于插值后處理技術(shù)給出了超收斂結(jié)果.

1 類Wilson元構(gòu)造和重要引理

其中

(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4)=(-1,1,1,-1),(η1,η2,η3,η4)=(-1,-1,1,1)，

則相應(yīng)的插值函數(shù)為

類Wilson有限元空間可定義為

問題(1)的相應(yīng)變分問題為：

(2)

問題(2)的離散問題為：

求uh∈Vh，使得對(duì)任意vh∈Vh滿足

(3)

下面給出三個(gè)重要的引理.

引理1[8]對(duì)任意vh∈Vh，有

(4)

(5)

其中Q1(K)是雙一次多項(xiàng)式空間，C為與h無關(guān)的正常數(shù).

引理2[10]令η=u-Ihu，設(shè)u∈H3(Ω)，?vh∈Vh，則有

(6)

(7)

引理3 設(shè)u∈H3(Ω)，?vh∈Vh，則

(8)

證明 依據(jù)文獻(xiàn)[11]有

(9)

根據(jù)文獻(xiàn)[5]得

(10)

由(10)和插值理論得

同理有

再借助于式(9)，引理3得證.

2 超逼近和超收斂分析`

首先給出超逼近結(jié)果.

定理1 設(shè)u,uh分別為(2)和(3)的解，u,ut∈H3(Ω)，則

證明 記uh-Ihu=θ，?vh∈Vh， 由(1)和(3)得

a(t)(hθt,hvh)h+b(t)(θt,vh)h+(f(X,t)hθ,hvh)h

(11)

在(11)中取vh=θt得

(12)

下面對(duì)A1～A9逐項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).

根據(jù)假設(shè)(i)和引理2中的(6)得

由Cauchy-Schwartz不等式和插值理論得

下面的結(jié)論在文獻(xiàn)[11]中可見

(13)

利用(13)和引理2中的(6)得

根據(jù)假設(shè)(i)和引理2中的(6)得

根據(jù)(4)得

(14)

再借助于(14)和假設(shè)條件(ii)得

由假設(shè)(i)和插值理論得

根據(jù)引理3得

由假設(shè)(i)得

(15)

將A1～A9的估計(jì)和(15)代入到(12)得

(16)

對(duì)(16)的兩端從0到t積分，并注意到θ(X,0)=0得

因此，由Gronwall引理得

定理1得證.

(17)

(18)

(19)

定理2 設(shè)u,uh分別為(2)和(3)的解，u,ut∈H3(Ω)，則

證明 根據(jù)定理1和(17)～(19)得

定理2得證.

[1] 施明德.非線性濕氣遷移方程的初邊值問題[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1990，13(1):31-38.

[2] 陳 寧，李崇新.具Sobolev-Galpern型濕氣遷移方程解的漸近性和Blow-up[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002，17(3):305-310.

[3] 涂 慧，劉 超，江成順.一類二維濕氣遷移模型的理論分析及數(shù)值模擬[J].信息工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，6(1):19-22.

[4] 許 超，周家全，張永勝.Sobolev-Galpern型濕氣遷移方程各向異性非協(xié)調(diào)有限元分析[J]. 西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，47(1):34-37.

[5] 裴麗芳，亢金軒，許 超.非線性濕氣遷移方程Carey非協(xié)調(diào)元逼近[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32(6):81-84.

[6] 江金生,程曉良.二階問題的一個(gè)類Wilson非協(xié)調(diào)元[J].計(jì)算數(shù)學(xué),1992,14(3):274-278.

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[9]TaylorRL,BeresfordPJ,WilsonEL.Anonconformelementforstressanalysis[J].IntJNumerMeth.Engrg,1976,10:1211-1219.

[10]ShiDY,WangFL，ZhaoYM.SuperconvergenceanalysisAndextrapolationofquasi-WilsonnonconformingfiniteelementmethodfornonlinearSobolevequations[J].ActaMathematicaeApplicataeSinica,2013,29(2):403-414.

[11] 林 群, 嚴(yán)寧寧.高效有限元構(gòu)造與分析[M].保定:河北大學(xué)出版社,1996.

責(zé)任編輯：周 倫

Superconvergence Analysis of Quasi-Wilson Nonconforming Element for Nonlinear Moisture Migration Equation

WANG Fen-ling,FAN Ming-zhi

(SchoolofMathematicsandStatistics，XuchangUniversity，Xuchang461000,China)

Superclose of Quasi-Wilson nonconforming finite element for nonlinear moisture migration equation is discussed under the semi-discrete scheme.By using the special property of the element (the consistency error of which attained O(h2) order in energy model, one order higher than its interpolation error. Combined with high-precision analysis of the conforming part and average value technique), the superclose property of order is derived. Furthermore, the superconvergence result is obtained through the interpolation postprocessing technique.

nonlinear moisture migration equation; Quasi-Wilson element; superclose; superconvergence

2015-11-02

河南省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(14A110009)；許昌市科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(1504004)

王芬玲(1968—)，女，河南鄢陵人，教授，碩士，研究方向：有限元方法及其應(yīng)用.

1671-9824(2016)02-0001-05

O242.21

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